小概率事件的原理及應用

張寧 陳龍 姜雁 彭穎 智慧

摘 要：小概率事件原理是概率論中的核心原理之一，該核心原理具有豐富的實踐意義和廣泛的適用范圍。文章結合小概率事件的內涵、原理以及推斷方法的分析、驗證，并且在這一原理分析的基礎上，通過幾個實例，包括在假設檢驗，彩票，經濟學、醫療，體育和考試等領域，論述其在日常生活中的作用，旨在引導人們進一步了解與客觀看待小概率事件，進而在平時趨利避害，使得事物演變的趨勢逐漸向好而并非不小心落入圈套。

關鍵詞：小概率;小概率事件原理;假設檢驗

一、引言

當下，概率論和數據統計的相關理論逐漸在交通、氣象、經濟和醫療等眾多關乎民眾日常生活的行業達到了大范圍地運用與普及。小概率事件，是指事件發生的可能性（或概率）較小的事件，通常覺得出現的概率極低或不可能會出現的事件[1]。分析小概率原理的核心任務是更為高效地運用此原理，通過各種控制手段引導其朝著理想的趨勢發展，避免破壞性小概率事件的出現，由此提升日常生活的便捷度。

小概率事件原理，是一種極富實用性的基礎概率理論，也是概率論中的核心理論之一[2]。本文結合平時生活中較為普遍且具有代表性的實例，分析了小概率事件的主要特質，總結了其與不可能事件兩者的不同和關聯性、小概率事件出現的必然性等，在小概率事件原理分析的基礎上分析解決此類問題，并通過幾個實例介紹了小概率事件原理在日常生活中、假設檢驗等幾個方面的應用，了解小概率事件的本質，走進小概率事件，從而為日常生活提供指導和幫助。

二、小概率事件的定義及原理的介紹

（一） 小概率事件的定義

概率是衡量隨機事件出現可能性的定量參數。概率論設定為0.01和0.005;認為小概率事件，即為出現的概率不足0.01或0.005的事件，此時的0.01、0.005即為小概率的評價標準[1]。通常來說，研究者設定小概率事件發生的概率不足0.05。然而在部分特殊的情況下，如果事件將會造成極大的損失或傷害，應選的小一些，如0.0001，甚至要更小些;否則可適度上調。小概率事件，僅僅是出現的可能性極低，然而并不意味著不會出現，無論概率多小，都是有可能發生的，即小概率事件發生的概率永遠大于0。

（二） 小概率事件的原理

小概率事件原理，又名似然定理，是概率論領域一種富有實踐價值的常用理論，其出現的概率約等于經過大量反復的論證所得到的出現頻率[3]。換而言之：倘若事件A是小概率事件，如果經過一次或少量事件，居然出現了該事件，則可判定此種情形是反常的，事件A本不應出現。

小概率事件并非不可能出現的情況。因此人類在平時的生活與工作中應重視小概率事件。能否忽略小概率事件，主要取決于實際的情形特點。諸如，任何小概率事件對航天飛機均可能引發重大的后果，而某一批商品中存在0.01的不合格品則是并無大礙的[5]。遇到比較復雜的情形，小概率事件原理有助于人類進一步了解小概率事件出現的根本成因。

三、小概率事件原理在日常生活中的應用

小概率原理無形中對人類的生活與生產帶來了諸多的啟發。現階段，在醫療、經濟、氣象、體育和交通等平時生活中常見的領域，小概率原理都存在著諸多有待探究的問題。對此，主要結合彩票，通過假設檢驗的方式，綜合探討小概率事件原理的作用和價值。

四、小概率事件原理在假設檢驗中的應用

假設檢驗手段是基于小概率原理而設計的，確切來說，如果對某一問題設計原假設H0和備選假設H1，同時需驗證H0的可信度時，可先假設其是成立的。基于此假設開始抽樣，倘若出現了一個小概率事件，那么可基于小概率原理，推斷原假設H0不成立，由此得到拒絕原假設H0的結論。相反，倘若并未出現小概率事件，則沒有理由拒絕H0，從而認可H0。

案例1 某一工廠生產了200件商品，通過質檢才可以出庫，現限定商品的不合格率應該控制在0.01以內，從200件商品中隨機抽出5件，當中存在不合格品，問此批商品能否出庫？

解：假定此批商品的不合格率是p，則上述問題即為，怎樣結合抽樣的情況以推斷不等式“p ≤0.01”是否成立？

要檢驗的假設是“p ≤0.01”。首先我們假定 p ≤0.01 成立，此時 200 件中最多有 2 件次品，從中任取 5 件，令 A 為沒有取到次品，有古典概型

顯然，。從而從中任意抽取5件出現次品的概率 1- P（A）≤1- 0.95=0.05。

上述計算表明，倘若“p ≤0.01”，則在每百次實驗中，事件=“任取5件產品出現次品”，發生的次數小于等于5次。換而言之，每次試驗，事件出現的可能性極低。基于小概率事件原理，在單次試驗中，小概率事件是不可能出現的。倘若在某次試驗得到了小概率事件，則判定其屬于不正常的情形。但是對于此案例，在某一實際抽樣過程中，事件A居然出現了，其屬于違背情理的。此種情形發生的原因是什么？主要是由于預先假設 p ≤0.01，所以“p ≤0.01”這一假設條件無法成立。由此反映出此批次商品的不合格率大于0.01，因此認為其不能出庫。因為在單次測試中，小概率事件事實上是可能會出現的，因此以上的方式存在出錯的風險。假定測試可能出現下述兩種錯誤。第一種是，如果 H0 事實上是正確的，而經過推斷認定其為錯誤的，即為出現了“棄真”的問題。顯而易見，出現“棄真”問題的概率，即為顯著性水平α。另一種則是，如果 H0事實上是錯誤的，相反經過推論認定其是正確的，便出現了“采偽”的問題。主觀層面而言，人們是想要力求上述兩種情形出現的概率盡可能低，兩者均為小概率事件。但是研究表明，對于固定的樣本量，無法同時降低出現上述兩種問題的概率，減小其中一個，另一個就會增大。如果要他們同時減小，就只有增加樣本的容量。在實際問題中，由于一般來說，人們更為注重“棄真”，通常會限定出現第一種錯誤的概率α，即為數理統計學定義的“顯著性檢驗”[6]。

案例2 一工廠在產品的重復抽樣檢驗中，在200件產品中找到了4件不合格品。由此能否推斷出此工廠產品的不合格率在0.005之內？

解：假設H0=“該廠的次品率不超過0.005”，A=“一共取了200件中發現有4件次品”。則

那么我們由以上可以知，當該廠的次品率為0.005時，抽查200件就已經出現了4件次品的事件，是個小概率事件，這時卻發生了，那么我們就拒絕原假設H，也就是說該廠的次品率是0.005是不能相信的。

結合以上的分析可知，假設檢驗的主要方式是，基于樣本總量，觀察在單次測試中，特定“小概率事件”是否會出現，由此推測之前對總體X的猜測（即為原假設）是否成立。主要步驟為：為了論證固有假設H0是否正確。先認為 H0正確，倘若隨后得出了一個小概率（低于顯著水平α，一般α設定為0.05 ，0.01 等）情形出現，則認定為“反證法”得到了矛盾，由此推斷出 H0 不成立，否則接受H0[7]。

五、總結

在單次試驗中，小概率事件出現的概率近乎為零。然而倘若人們過于看重部分十分極端的小概率情況，便無法完成平時的衣食住行等各種活動。綜上所述，小概率事件原理是極為普遍和常見的，是概率論的核心，也是統計學不斷發展的根基，當人類對海量信息數據進行分析與推斷的過程中，運用該原理，可以結合實際推理結果得出正確的結論，為各種統計推論提供充分的數據理論參考[8]。所以，進一步了解小概率事件是人類解決生活工作中各種問題的基礎。我們如果可以自如地運用各種概率原理分析問題，深入地了解小概率事件的發生與轉變原理，便能夠拓寬小概率原理的適用面，推動人類生活工作的進步。

參考文獻：

[1] 魏宗舒等;概率論與數理統計教程（第二版）[M].高等教育出版社，2008

[2] 茆詩松;程依明;濮曉龍;概率論與數理統計教程[M].北京：高等教育出版社，2004

[3] 孫榮恒;應用數理統計（第2版）[M].北京：科學出版社，2003

[4] 王梓坤;馬爾可夫過程和今日數學[M].長沙：湖南科學技術出版社，1999

[5] 甘媛;生活中的小概率事件[J].赤峰學院學報，2008，5（1）：5-6

[6] 王福和;論管理中的小概率事件[J].遼寧工程技術大學學報（社會科學版），2004，6（6）：636

[7] 安國玲;淺談小概率事件的原理及應用[J].河南電高等專科學校學報，2010，18（4）：256-260

[8] 張紅玉;楊紅梅;小概率事件的原理分析及應用[J].承德石油高等專科學校學報，2008，10（6）：112-115