梳理知識(shí) 滲透方法 深度學(xué)習(xí)

王輝

高三一輪復(fù)習(xí)，承載著知識(shí)的再現(xiàn)與深化，方法的總結(jié)與凝練，思想的感悟與提升. 復(fù)習(xí)課堂更是學(xué)生參與數(shù)學(xué)基本活動(dòng)生成經(jīng)驗(yàn)，提高解決問題能力所在. 下面談?wù)勛约簩σ惠啅?fù)習(xí)的嘗試與思考.

1.梳理模塊知識(shí)，構(gòu)建知識(shí)體系

1.1梳理模塊知識(shí)

數(shù)學(xué)知識(shí)是能力的根基，是思想方法的載體，是解決問題的工具. 因此，高三第一輪復(fù)習(xí)需要系統(tǒng)構(gòu)建高中數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò). 學(xué)生進(jìn)入高三第一輪復(fù)習(xí)，知識(shí)遺忘率較高或者對過往所學(xué)知識(shí)仍然一知半解. 這時(shí)通過對教材概念、定理、例題、習(xí)題進(jìn)行補(bǔ)缺，掃清知識(shí)的盲點(diǎn)，使學(xué)生對數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和運(yùn)用上升到一個(gè)新高度，這是高三一輪復(fù)習(xí)的重要環(huán)節(jié).

例如 復(fù)習(xí)“解三角形”時(shí)，可以先設(shè)置一些問題串來引領(lǐng)學(xué)生對知識(shí)進(jìn)行回憶與建構(gòu)：

（1）請用兩種方法證明余弦定理. 其目的是回顧余弦定理的證明過程.

（2）證明角平分線性質(zhì). 其目的是重現(xiàn)教材例題，回顧此結(jié)論，變于以后解題所需.

（3）設(shè)置開放型問題. 你能寫出解三角形中的一些常用結(jié)論嗎？預(yù)設(shè)會(huì)得到;在三角形中，若，則等等.

這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)目標(biāo)明確，易于進(jìn)行提煉總結(jié)，課堂師生互動(dòng)，生生互動(dòng)增多，復(fù)習(xí)課堂高效. 知識(shí)的系統(tǒng)化使得知識(shí)間建立起了結(jié)構(gòu)關(guān)系、邏輯關(guān)系，讓知識(shí)不再孤立. 對知識(shí)的系統(tǒng)化要從全局著眼，跨越不同章節(jié)，甚至要聯(lián)系初中數(shù)學(xué)內(nèi)容.

1.2構(gòu)建知識(shí)體系

對知識(shí)的系統(tǒng)化，可以是要點(diǎn)串聯(lián)，梳理重要的定理的研究模式，也可以是相關(guān)問題比較，還可以是題型歸類，等等.

例如對于比較簡單的內(nèi)容，如集合，可以通過要點(diǎn)串聯(lián)——三個(gè)特征，四種表示，兩種關(guān)系，六個(gè)特殊數(shù)集（將復(fù)數(shù)集前移），三種運(yùn)算，一個(gè)遷移（對研究對象的表征及分類）. 對于內(nèi)容多且雜的內(nèi)容，宜分幾條主線，如三角函數(shù)，可圍繞三角函數(shù)概念、三角公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角函數(shù)的應(yīng)用等主線，而其中的三角函數(shù)的應(yīng)用則要體現(xiàn)應(yīng)用的廣泛性，設(shè)計(jì)的例題、習(xí)題要覆蓋三角在不同數(shù)學(xué)分支及實(shí)際中的應(yīng)用.

概念是極其重要的基礎(chǔ)知識(shí)，應(yīng)重視對它的整合性復(fù)習(xí). 一方面，概念是數(shù)學(xué)理論的“基石”，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)、抽象性和嚴(yán)密性;另一方面，對概念的把握深刻影響著解題.例如，函數(shù)單調(diào)性這條主線貫穿于函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、不等式這些重要內(nèi)容之中，比較各種特殊函數(shù)的單調(diào)性，運(yùn)用多種方法判斷單調(diào)性，廣泛應(yīng)用單調(diào)性，真正發(fā)揮單調(diào)性概念縱橫聯(lián)系知識(shí)、方法的作用.

2.精選例題，滲透思想方法，提高能力

例題可以選擇近年的高考試題（或模擬題），明確高考考什么，怎么考，可能會(huì)有哪些變形，激發(fā)學(xué)生挑戰(zhàn)欲望，培養(yǎng)學(xué)生解題能力. 教師要把培養(yǎng)學(xué)生的解題思維放在首位，精選有利于“模式化”解題總結(jié)的例題，多選貼近高考的典型題，多角度、有計(jì)劃的啟發(fā)和調(diào)動(dòng)學(xué)生去進(jìn)行積極的思維活動(dòng).

例如（高考模擬題） 橢圓長軸的兩個(gè)頂點(diǎn)與橢圓上異于這兩頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)連線的斜率乘積等于_______.

探究：類比以上結(jié)論，寫出雙曲線具有類似結(jié)論的性質(zhì).

考慮到學(xué)生的層次，為了降低題目的難度，減少抽象感，設(shè)計(jì)如下過程：

已知點(diǎn)P是橢圓上異于長軸的兩頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P與長軸兩頂點(diǎn)連線的斜率乘積等于_______.

方法1：通過設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)，利用橢圓方程再去參數(shù)，得到結(jié)果，大多數(shù)采用這種方法.

方法2：考慮結(jié)果是定值，采用特殊值完成，比如設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，2）.

思考：觀察所得結(jié)果與題目中的兩個(gè)分母之間有何聯(lián)系？這種聯(lián)系是必然還是巧合？

讓學(xué)生自己設(shè)計(jì)一道類似的題目，比如橢圓方程是，檢測一下自己的猜測是否正確？

有了前面的鋪墊，學(xué)生可以歸納猜想到：答案是，并完成證明. 大膽類比出探究的答案：

雙曲線實(shí)軸的兩個(gè)頂點(diǎn)與雙曲線上異于這兩頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)連線的斜率乘積等于定值.

引導(dǎo)學(xué)生反思：學(xué)習(xí)過程，是由一般性結(jié)論得到特殊性結(jié)論的過程，也是從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)邏輯規(guī)則推出一個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦硇运季S過程.

例題的選擇要著眼于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，體現(xiàn)“典型性、針對性、層次性.”選取例題的主要途徑有：（1）教材上的典型例題習(xí)題;（2）易錯(cuò)題;（3）近年的高考真題或模擬題. 因此，高三第一輪復(fù)習(xí)應(yīng)以一些經(jīng)典例題為載體，由淺入深，由表及里，使學(xué)生站在解題的最高點(diǎn)上，這樣在以后獨(dú)立面對高考題時(shí)，就有“一覽眾山小” 的感覺.

3.加強(qiáng)變式訓(xùn)練，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)

深度學(xué)習(xí)是指在理解學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)者能夠批判性地學(xué)習(xí)新的思想和事實(shí)，并將它們?nèi)缛缭械恼J(rèn)知結(jié)構(gòu)中，能夠在眾多思想間進(jìn)行聯(lián)系. 學(xué)會(huì)站在命題者的角度去揣摩試題意圖. 打通方法之間的內(nèi)在聯(lián)系，通過對問題本質(zhì)、解法本質(zhì)的理解培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.

例如（教材習(xí)題） 已知，0<α<π，求的值.

本題主要考查的是兩角差的余弦公式，解題時(shí)套用公式即可，但為了研究三角函數(shù)恒等變換的一般規(guī)律，借助此題進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兪接?xùn)練.

變式1：已知，，求cosα的值.

學(xué)生求解本題時(shí)，會(huì)把展開成，再聯(lián)立，解方程組即可求得. 但是這種方法有復(fù)雜的運(yùn)算，本題可以把未知角轉(zhuǎn)化為已知角和特殊角，即，再利用和角公式展開即可求得cosα的值.

變式2：已知，，求的值.

研究“已知角”和“未知角”的關(guān)系，發(fā)現(xiàn). 因此，可得，再利用和角公式展開即可求得的值.

變式3：已知，，，，求的值.

把未知角轉(zhuǎn)化為已知角，觀察已知角與未知角間的關(guān)系，即，利用誘導(dǎo)公式及和角公式展開即可求得的值.

高三第一輪復(fù)習(xí)為了提高學(xué)生的解題能力，會(huì)設(shè)計(jì)相關(guān)的變式訓(xùn)練教學(xué)，在此過程中教師應(yīng)重視對學(xué)生分析、觀察、聯(lián)想、類比等能力的培養(yǎng). 通過變式訓(xùn)練，讓學(xué)生對知識(shí)理解更全面，方法選擇更合理.

數(shù)學(xué)中的概念和命題，或是問題和方法，實(shí)際上都應(yīng)被看成一種具有普遍意義的模式. 分為三步走：一是通過一些基本問題的解決，如教材例題、課后習(xí)題，歸納解決一類問題的特征和方法;二是通過一類問題的反復(fù)訓(xùn)練，如變式訓(xùn)練，提高解決一類問題的可辨別性和穩(wěn)定性;三是通過綜合問題的分解回歸，發(fā)展各類問題之間的銜接和聯(lián)系，提高解題能力，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).