汲取源頭活水 深挖基本事實

殷美喬

摘 要：初中幾何求最值問題是比較常見的題型，基于課堂教學的有效性，本文針對初三中考復習時如何在自己的課堂教學中深挖“兩點之間，線段最短”的基本事實求，通過利用旋轉、對稱和三角函數等來轉化求最小值問題的題型分析，以達到培養學生直觀想象和數學建模等核心素養之目的。本文對初三中考復習時如何在自己的課堂教學中深挖“兩點之間，線段最短”的基本事實求最小值的題型分析，請各位同行和專家不吝賜教。

關鍵詞：核心素養;最值;將軍飲馬;核心知識

初中幾何的最值問題一直以來都是各地中考的熱門考點和難點，最值問題往往會涉及到動點、軌跡，又可以結合函數和幾何圖形，問題錯綜復雜，學生處理起來難度很大。“兩點之間，線段最短”是初中數學課程標準中界定的九大基本事實之一[1]，這個看似最簡單，最清楚不過的數學原理，往往是部分初中幾何求最值問題的一個重要的依托點和核心知識的來源。把握核心知識，汲取源頭活水，讓學生游刃有余的解決此類問題。

一、課本出發

1.初識“將軍飲馬”

浙教版教科書七年級上冊P149頁第六章《圖形的初步認識》6.3《線段的長短比較》這一節中學習了“兩點之間線段最短”這個基本事實。

浙教版教科書八年級上冊P5頁第一章《三角形初步知識》1.1《認識三角形》這一節中學習了“三角形兩邊之和大于第三邊”這個性質。

浙教版教科書八年級上冊P50頁第二章《特殊三角形》2.1《圖形的軸對稱》中例2第一次提出了“將軍飲馬”的模型。

“三角形兩邊之和大于第三邊”的性質是由“兩點之間線段最短”這個初中數學課程標準中界定的九大基本事實之一直接得到的，兩者實際上完全相通的，學習了軸對稱以后“將軍飲馬”的數學模型就順理成章了。

現在我們反過來思考“將軍飲馬”模型的建立的要點有二：首先要找到其中一個點的對稱點，即化同側為異側;其次是三點共線運用“兩點之間，線段最短”來解決。圍繞核心知識點逐層深入，引導學生認真研習教材，我們不難發現這其實也很清晰的提出一條幾何學習的思路和方法。要想做到這一點，關鍵還在于多研習教材，拓展思維，并且對核心知識做到心領神會。

2.將軍二次飲馬

了解將軍飲馬的基本模型構建，能在不同的背景比如三角形、四邊形、圓和坐標平面內運用，是為善也;如果能及時總結經驗，將此模型加深拓展，根據不同情境和自身實際選擇調整解題方法和策略，則善莫大焉。作為初三的復習課，下面的題學生可能見過，但是是否與上面所講的知識點自己主動聯系過呢，或者是否主動將此類題歸類過呢？

例題：如下圖，∠AOB=45°，P是∠AOB內一定點，且OP=3，點Q，R分別在OA，OB上，則?PQR的最小周長是 ? ? ? ? ? ? ?.

解析：定角∠AOB內一定點，OA、OB兩定邊類似兩河流，求?PQR的最小周長，即將軍兩次河邊飲馬回營總路程。由此，分別作點P關于OA，OB的對稱點P與P’’，如上圖：當P、Q、R、P’’四點在一條直線上，即“兩點之間，線段最短”，有周長最小。

反思：以上習題是將軍飲馬的變式，舉一而反三，化兩動為兩靜。基本上都轉化為三點共線或四點共線，“兩點之間，線段最短”，只要對核心知識和關鍵的模型掌握好，學生應該都不難想到解決問題的辦法。

二、構建相似

例題：【2019·臺州一模】如下圖，在扇形O-CD中，∠COD=90°，OC=3，點A在OD上，AD=1，點B為OC的中點，點E是弧CD上的動點，則AE+2EB的最小值是________。

解析：該連接EO，得△OBE;延長OC到F，使CO=CF，連接EF，得△OEF，易證△OBE∽△OEF，得EF=2EB，當A、E、F三點共線時，即“兩點之間線段最短”，AE+2EB有最小值.

反思：該題以扇形為背景，涉及到動點，題目要求AE+2EB的最小值，即求a+kb，線段前面有系數，最容易想到的是相似，相似就是我們的“縮放尺”。那么，構造相似三角形就是解決這類題目的關鍵了。找公共角，兩邊夾角，利用“母子相似”是比較常見的構造法。順著這個思路，不難發現兩動線之和為兩點定之間的距離。

三、巧用旋轉

例題：【2019·武漢】問題背景：如圖1，將△ABC繞點A逆時針旋轉60°得到△ADE，DE與BC交于點P，可推出結論：PA+PC=PE.

問題解決：如圖2，在△MNG中，MN=6，∠M=75°，MG=.點O是△MNG內一點，則點O到△MNG三個頂點的距離和的最小值是_________.

解析：將△MOG繞點M逆時針旋轉60°得到△MED，由旋轉的性質有OG=ED。又易知△MOE為等邊三角形，有MO=ME=OE。這樣點O到△MNG三個頂點的距離和，就轉化為NO+OE+ED之和，“兩點之間，線段最短”，當N、O、E、D四點共線時和最小。過D作DF⊥NM，交NM延長線于F，通過勾股定理即可求得最小值為.

反思：以上習題一個以三角形為背景以旋轉為切入口或思維的發散點去思考，讓學生學以致用。如果我們平時的教學中貫徹了數學建模的思想，那么學生解決起來應該也是方便的。此題在分析和講解的過程中還可以涉及到“費馬點”這個概念，結合數學發展史，與古人的思維碰撞，提高學習數學的信心并發現數學的美。在解決這個問題時，數學家費馬也是運用旋轉的方法轉化為四點共線，利用“兩點之間，線段最短”求解。由此可見，只要對核心知識和關鍵的模型掌握好，學生應該都不難想到解決問題的辦法。

結束語

我國著名的數學家蘇歩青先生談怎樣學好數學時曾說過：“在中學的數學課本里，一些基本的概念是逐步地被引導進來的，既不要以為基本的概念很抽象，不易理解，就干脆把它放過去，又不要以為它很容易懂而不去深入理解。[2]”只有對基本概念（事實）的深入理解才能在遇到不同情境時能融會貫通。“兩點之間，線段最短”這一基本事實在初中幾何的各個階段學習中都有機的融合，成為部分求最值問題的基本原理。從課本出發，精心設計每一個問題，環環深入，揭露本質，通過教師的步步引導，學生在細膩中見扎實，在體驗中增素養。對稱、相似、旋轉等是方法是手段，是模型的來源，而基本事實則是問題的本質。看透本質、掌握方法和手段，也就是遵循了認識事物的一般規律，隨之而來的便是學生的高效學習！

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.1：31

[2]蘇步青.談談怎樣學好數學[M].上海：上海教育出版社，1964-02：17