等差法解答一類走走停停行程問題

摘 要：本文研究了某一類走走停停行程問題，用等差數列的思想處理復雜的追及點判斷，在初始路程差不是休息路程整數倍的題型解答中具有優越性.在判斷最終追及點和計算第一次追及時間上做了深入研究和詳細解釋，總結出更具有通用性的解法.

關鍵詞：走走停停;時間差;追及

中圖分類號：G632 ? ? ?文獻標識碼：A ? ? ?文章編號：1008-0333（2021）02-0031-02

收稿日期：2020-10-15

作者簡介：蘇蕤軒（1991.2-），男，四川省成都人，本科，從事小學數學教學研究.

一、引入

在很多小學畢業考試、小學杯賽或初中數學考試中常出現行程問題，它是普遍學生的弱項，同時也成為命題者偏愛的題型之一，在奧數競賽中擁有非常顯赫的地位.走走停停行程問題屬于難點題型，它并不能直接用基本行程公式解決，需要經過復雜的判斷和計算，已有文獻給出了路程差是休息路程整數倍時的解答方法，但是該方法并不能解決路程差不是休息路程整數倍的題型.本文重在于探索一種更具有通用性的方法.

二、難點突破

此類問題的難點在于如何判斷最終狀態，本文通過等差數列和斜率來突破難點，通過平移快者的路程來計算追及時間.

1.最終狀態判斷

本文把題目給定的路程差用S表示，休息路程用ΔS表示，休息時間用ΔT表示，快者的速度用vk表示，慢者的速度用vm表示.

我們把快者行進到S的時間視為“首項”，此后每行完ΔS，快者增加了時間，慢者也增加了時間，但是慢者增加的時間更多，所以相差了ΔSvm-ΔSvk，這也就是“公差”.每行進ΔS，首項就會減少一個“公差”，直到減少到0，或者減少到小于公差（這是多數情況）.所以休息次數的本質就同于等差數列求項數，對于快者而言，全部的休息次數還要加上“首項”計算時經歷的休息次數.

最終追及點判斷需要明確到底是快者追及上行進中的慢者還是休息中的慢者.本文將結果分為如下三類：

（1）快者最后一次休息后的行進中，第一次追及上行進中的慢者;

（2）快者最后一次休息后的行進中，第一次追及上休息中的慢者;

（3）快者最后一次休息前的行進中，第一次追及上行進中的慢者.

根據斜率和余數可以判斷到底屬于哪種類型.如圖2，主要就是判斷參考點到底在a的右下方還是左上方，通過比較斜率即可.若b斜率小于a，必在右下方;若b斜率大于a，必在左上方;若b斜率等于a，則可任意看待.b的斜率為k快=ΔS′余數+ΔS′v快，（ΔS′表示快者的當次休息區跟慢者的前一個休息區的距離），a的斜率就是慢者的速度k慢=v慢.

判斷好斜率后，如果b斜率小于a，就還要判斷追及點會不會在慢者的休息區，因為排除了類型（3），還得鎖定到底是（2）還是（1），所幸這比較容易，比較下一個休息區的時間差即可.

如果是類型（2），那么：公差-余數<休息時間，如果是類型（1），那么：公差-余數>休息時間，見圖3，標注的橫線部分就是“公差-余數”.

2.追及時間計算

如果是類型（1）和類型（3），可優先使用平移快者的方法，快速得到連續追及的時間，我們假定追及上時快者比慢者多休息Δn次，那么連續追及時間為S+Δn×ΔT×vk÷vk-vm，這個時間恰好等于慢者的連續行進時間，外加慢者的休息時間即為總的追及時間.

如果是類型（2），直接通過慢者計算即可.假定慢者一共休息了n次（含最后一次），因為最后一次沒有休息完，離休息結束還有“公差-余數”，所以直接當成n次計算總時間，然后減去“公差-余數”即可.

三、典例分析

例1 快慢兩人分別從相距550米的兩地同時出發同向而行，他們每走200米都會停1秒，已知快者的速度是100米每秒，慢者的速度是40米每秒.求快者第一次追上慢者的時間.

解答：快者行至路程差的時間外加休息時間550÷100+2×1=7.5秒

公差20040-200100=3秒

次數7.5÷3=2次……1.5秒

斜率501.5+50100=25小于40

（50是快者的休息區跟慢者前一次休息區的距離，因為200的倍數減去550，最小值為50）

下一次的余數3-1.5=1.5秒，大于1秒

屬于類型①，接下來平移快者，直接計算追及時間

快慢者休息次數差為3，連續追及時間為550+100×3×1÷100-40=1416秒

總時間為1416+2×1=1616秒

答：甲第一次追上乙的時間是1616秒.

例2 快慢兩人分別從相距550米的兩地同時出發同向而行，他們每走200米都會停1秒，已知快者的速度是100米每秒，慢者的速度是60米每秒.求快者第一次追上慢者的時間.

解答：快者行至路程差的時間外加休息時間為：550÷100+2×1=7.5秒

快者已經休息2次

公差為20060-200100=43秒

次數為7.5÷43=5次……56秒

斜率為5056+50100=37.5小于60

下一次的余數：43-56=12秒，小于1秒

屬于類型②，接下來用慢者直接計算時間，慢者在第5+1=6個休息區，距離休息結束還有12秒

6×20060+1-12=2512秒

答：快者第一次追上慢者的時間是2512秒.

例3 快慢兩人分別從相距500米的兩地同時出發同向而行，他們每走200米都會停1秒，已知快者的速度是100米每秒，慢者的速度是60米每秒.求快者第一次追上慢者的時間.

解答：快者行至路程差的時間外加休息時間500÷100+2×1=7秒

公差20060-200100=43秒

次數7÷43=5次……13秒

斜率10013+100100=75大于40

屬于類型③，接下來平移快者，直接計算追及時間

快慢者休息次數差為2，連續追及時間為500+100×2×1÷100-60=1712秒

總時間為1712+5×1=2212秒

答：快者第一次追上慢者的時間是2212秒.

處理此類休息路程相同的走走停停行程問題可以按照如下思路解決：

其一、通過兩者行進休息路程的時間差計算休息次數;

其二、通過斜率判斷屬于哪種類型;

其三、直接計算（類型②）或通過平移法計算（類型①或類型③）追及時間.

?參考文獻：

[1]黃佳琴.中小學數學競賽中的行程問題[J]科技信息，2010（13）：129+145.

[2]趙玉春，陳旻.一類走走停停行程問題的解答[J]中學數學，2012（12）：77-78.

[責任編輯：李 璟]