一次函數背景下的存在性問題

摘 要：一次函數是八年級數學的學習內容，在平面直角坐標系中，研究點和直線的動態特征，以及在動態情境下產生的幾何圖形存在性問題，是考察學生思維能力的有效載體，已成為考試的重難點.本文將結合具體題目，從不同方面探討存在性問題的解法.

關鍵詞：一次函數;存在性;對稱;兩圓一線;弦圖

中圖分類號：G632????? 文獻標識碼：A????? 文章編號：1008-0333（2021）02-0017-02

收稿日期：2020-10-15

作者簡介：王帥兵（1988.7-），男，河南省魯山人，本科，從事數學教學研究.

一、兩定一動型，注意好“一上一下”

兩定一動型，是指在給定兩個點的情況下，另一點在一條線上運動所產生的面積問題，解決這類問題，要做好題目分析，有一邊與坐標軸平行時直接求解;沒有邊與坐標軸平行時，用好“鉛錘法”（或“割補法”），同時注意好“一上一下”.

例1 如圖1所示，一次函數y=2x+4的圖像與坐標軸分別交于點A、B，在一次函數的圖象上是否存在一點P，使得△AOP的面積為3？

思路分析 由題設條件，易求出點A和點O坐標分別為（-2，0）和（0，0），點P為直線上一動點，不妨設其坐標為（x，y），當點P位于x軸上方時，S△AOP=2×y2=3，解得y=3，代入表達式y=2x+4可得點P坐標為（-1/2，3）.由于坐標系中的對稱性，點P也可以位于x軸下方，此時可求出點P的坐標為

（-7/2，-3）.綜上，點P坐標為（-1/2，3）或者（-7/2，-3）.例2 如圖2所示，直線y=1/2x與直線y=-x+3相交于點A，點B是直線y=1/2x上的一個點，且橫坐標為4.如果點P是直線y=-x+3上的一個動點，且滿足△ABP的面積為9，那么點P的坐標為.

思路分析 如圖2，易求出點A和點B坐標分別為（2，1）和（4，2）.如圖3，過點P向x軸做垂線交直線AB于點F，設點P（a，-a+3），那么點F坐標為（a，12a） ，則△ABP的面積為：PF×（xB-xA）2=（3-a-12a）（4-2）2=9.解得a=-4，點P的坐標為（-4，7）.同理，如圖4時，可得點P的坐標為（8，-5）.綜上，點P的坐標為（-4，7）或（8，-5）.

二、等腰三角形，用好“兩圓一線”

在一次函數的背景下，等腰三角形的存在性問題可以借助圖形的基本性質來解，利用同端點、等長度作圓和線段垂直平分線.

例3 如圖5所示，直線y=x+4與坐標軸交于點A和點B，在x軸上是否存在點P，使得△ABP為等腰三角形？若存在，求出所有滿足條件的點P的坐標.

思路分析 如圖6所示，分別以點A和點B為圓心作圓，同時作出線段AB的垂直平分線，可得與x軸的4個交點：P1、P2、P3和P4.分別求解，可得其坐標分別為

P1（-4-42，0）、P2（0，0）、P3（42-4，0）、P4（4，0）.

三、直角三角形，利用頂點來分類

對于直角三角形的存在性，可以利用頂點來分類，然后結合具體條件求解.

例4 如圖7所示，在平面直角坐標系xoy中， 三角板的直角頂點P的坐標為（2，2）， 一條直角邊與x軸的正半軸交于點A，另一直角邊與y軸交于點B， 三角板繞點P在坐標平面內轉動的過程中，當△POA為直角三角形時，請求出所有滿足條件的點B的坐標.

思路分析 分析題設條件可得，∠POA=45°，不可能為直角，△POA的另兩個角可以是直角.如圖8，當OA⊥AP時，可求出點B的坐標為（0，2）;如圖9，當OP⊥PA時，點B和點O重合，點B坐標為（0，0）.綜上所述，點B的坐標為（0，2）或（0，0）.

四、等腰直角三角形，借助弦圖輕松解

等腰直角三角形的分類問題，可以在構造基本直角的情況下，借助弦圖求解.

例5 如圖10所示，直線y=-2x+4與坐標軸交于點A和點B，在第一象限內是否存在點P，使得△ABP為等腰直角三角形？

思路分析 由題設條件易得，A（2，0）、B（0，4），OA=2，OB=4.利用Rt△AOB作弦圖，如圖11所示，其中P1、P2、P3是滿足條件的點.利用弦圖中的全等三角形的性質，以及線段長與坐標的相互轉化，可得三點的坐標分別為：P1（4，6）、P2（6，2）、P3（3，3）.

五、全等三角形，對應后綜合求解

全等三角形的存在性問題，要注意好頂點的對應，然后借助多種基本方法解題.

例6 如圖12所示，在平面直角坐標系中作矩形OABC，點B坐標為（4，8），將△ABC對折，使點A與點C重合，折痕交AB于點D，坐標系內是否存在點P（除點B外），使△APC與△ABC全等？若存在，直接寫出符合條件的點P的坐標;若不存在，請說明理由.

思路分析 由題設條件易得點A與點C的坐標分別為（4，0）、（0，8），直線AC表達式為：y=-2x+8.由矩形性質可得△AOC△CBA，此時點P與點O重合，坐標為（0，0）.由翻折性質可得△ADB′△CDB′，此時，如圖13，可以延長CP，過點A作CP⊥AP于點P，利用等面積法可得點P坐標為（325，165）.如圖14，作△ABC關于直線AC的對稱圖形，此時，過點P作PQ⊥y軸于點Q，利用等面積法可得點P坐標為（-125，245）.? 六、等距離軌跡問題，借助坐標軸三角形構造相似

在一次函數背景下的等距離軌跡問題，可以借助一次函數圖像與坐標軸的交點，構造相似圖形，求出點的坐標，進而找到點所在直線的表達式.

例7 如圖15所示，直線y=2x+6與坐標軸分別交于點A和點B，在平面直角坐標系中是否存在一點，使得點P到直線AB的距離等于25，若存在，請求出點P所在軌跡的表達式;若不存在，請說明理由.

思路分析 到直線AB距離等于25的點的集合是與直線AB平行的兩條直線.由題設條件易得，點A和點B的坐標分別為（-3，0）和（0，6）.如圖16，過點B作直線AB的垂線l1，在直線l1上分別截取BP1=BP2=25，再分別過點P1和點P2作垂直于直線l1的直線l2和l3，直線l2和l3即為點P的軌跡.因為直線l2和l3與直線AB平行，要求其表達式，只要求出點P1和點P2的坐標即可，此時，過點P1作P1Q1⊥y軸于點Q1，則△P1Q1B∽△BOA，可得P1Q1=4，BQ1=2，可得點P1坐標為（4，4），可求出l2：y=2x-4.同理可求出l3：y=2x+16.

綜上，解決一次函數的存在性問題，一定要研究好背景圖形，調用基本技巧和方法，構圖確定位置，畫圖解答.

? 參考文獻：

[1]王玉新.學好一次函數，善于梳理總結是關鍵[J] 數學學習與研究，2019（19）：135.

[2]王淑艷.一次函數解初中幾何動點問題[J]理科愛好者，2019（4）：147.

[責任編輯：李 璟]