教學中間的化零為整，知識整合

李銘杰

【摘要】條件的運用是解題的關鍵，在面對條件的時候不知道如何處理，知識的整合不足，分析能力弱，導致學生解題能力偏弱，在面對難題時缺乏自信心。因此要注重學生對于條件的分析，幫助學生整理知識點，搭建知識點的聯系，構建知識網絡，讓學生在面對題目時有的放矢，提高解題的技巧和能力，培養學習的興趣。

【關鍵詞】條件整合;一題多解;思路辨析

基于初中階段知識點的繁多，在教學過程中間不能再一味地強調用當前所學知識去解決問題，對于現有條件的發散性思考，多角度的分析條件，更深層次的聯想，對于已有知識的整合運用就尤為關鍵，讓知識點不再是零碎在學生腦袋中間，應該是一個知識網絡呈現，從而幫助學生提高解題技巧和速度，提高學生學習數學的興趣，培養數學的思維和素養。

1.原題呈現

如圖，在△ABC中，∠C=90°，D是邊BC上的一點，以DB為直徑的經過AB的中點E，交AD的延長線于點F，連接EF。

試題分析

本道試題是在圓知識里面，在學習完圓周角后出現的例題。這到題目非常好的向學生呈現出了圓在作為背景的情況下是如何體現其工具性的。同時也非常緊密的聯系了之前所學的知識點，全方位的將知識點擺在學生面前，如何聯系并整合所學知識是現在解決問題的關鍵。

2.解法研究

問題1：求證：∠1=∠F;

此題中間的主要條件非常清晰，①以BD為直徑，②E為AB 的中點。這兩個條件都是可以進一步延伸的，直徑BD可以延伸到其所對圓周角為180°，在圖中就可以進一步添加輔助線幫助解題，E為AB中點的運用也是相當廣泛。兩者結合之下就會呈現出很多新的內容。

解法1：連接ED，∵BD為的直徑，∴∠DEB=90°，所以DE⊥AB，∵E為AB中點，∴DE垂直平分AB，易知∠1=∠B，由，∴∠B=∠F，故∠1=∠F。

解法2：連接BF，∵BD為的直徑，∴∠DFB=90°，∵E為AB的中點，∴EF=AE=EB

所以∠1=∠F。

分析：這兩條連線主要基于BD為直徑這個條件，得到直角，再與中點之間的聯系，初中階段中點和直角的聯系基本是兩類：①等腰三角形中三線合一，②直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半，根據題目的條件的關聯就比較容易想到。

在此基礎上，對于中點的知識可以繼續挖掘，中點還可以和哪些知識點聯系。學生對于中位線的運用較之前兩種解法還是比較薄弱的。當E為中點時，我們可以尋找其他中點連接得到中位線，圓中間較為常見的中點就是圓心，當連接EO之后，對于圓中的半徑又易得等腰三角形，方便求解。

反思：對于已有知識要進行充分的挖掘，在教授解題時更要注重知識點之間的聯系和整理，本題第一問中著重對于中點進行了分析，向學生整理后得中點的一些常見的聯想

當然中點的延伸還可以向構造全等或者相似出發。

分析：當題目條件中間出現直角，在求邊長時自然會聯想到直角三角形的勾股定理，這一種方法對于學生來說只需要將未知邊表示出來即可，在求解時也不會有很大難度。

分析：這種方法是通過求BD的長間接去求CD。對于三角形的相似，學生習慣于找到圖中已出現的相似三角形，現階段已知Rt△ABC，如何通過圓背景去構造相似成了這道題目的關鍵，抓住圓中間常出現的兩個直角，①直徑所對的圓周角，②切線與過切點的半徑所成的直角，這兩個主要要素去構造。

反思：在求解線段長度時，首先還是要將線段安家，放在相應的三角形中間求解。當出現直角時自然是放置在直角三角形中通過勾股定理求解，學生對于找直角三角形是比較熟練的。當需要出現轉換邊長求解時，學生對此不容易想到。轉換后仍舊可以先將線段安家，此時需要找的三角形應該是以已知的三角形為基礎來尋找或者構造，通過兩者之間的聯系來求解。學生在此常會出現的錯誤是任意找一個三角形去求解，導致已知條件的無法運用。解決求線段長度的一般思路可以得

將線段安家 等方法

基于以上兩問的練習，不難看出，數學題目的解題方向，主要入手點還是對于條件的分析和圖形的認識理解，已知條件的拓展延伸為題目的多解提供了基礎，圖形中線段的載體圖形的尋找和構造是根基。將之前所學與現在的知識整合，有條理的進行問題的解答。

3.拓展提升

如圖，AB是的直徑，弦AD平分∠BAC，過點D的切線交AC于點E。

（1）DE與AC有怎樣的位置關系;

對于（1）來說較為簡單，只需連接OD后，通過角平分線和等腰三角形的角相等就可以得到內錯角相等，兩直線平行，得到同旁內角互補，∠DEA=90°，所以DE⊥AC。現在重點探究第2小問，結合前面思路進行研究探討。

思路1：可以知道若直接求AE，可以將其安置在Rt△AED中，此時可以可以發現連接BD之后就有Rt△ABD，條件集中在此三角形中，有利于計算。

思路2：將線段AE進行轉化，本題中間沒有相等邊的轉化，通過條件發現有角平分線，通過角平分線的性質來幫助AE進行轉化。

過點D作AB的垂線，垂足為H，連接BD

反思：在這題的解題過程中間，學生對于構造直角三角形證相似解題是比較熟練的，同時也是比較容易想到的，對于角平分線構造全等的掌握比較薄弱，構造出來之后如何去計算也是有著難易的差別，有學生會陷入到如何用勾股定理直接求解，這是以往解題經驗和直觀思考將學生帶入到的誤區，需要及時的調整和改變策略。

4.教學思考

4.1條件的發散思考，尋求多解可能性

在解題教學過程中間，老師不能在自己的經驗上面直接灌輸式的進行題目的講解，忽視學生在解題時遇到的阻礙，如何清理這些阻礙就為解題做了鋪墊，在題目中間，最直觀的阻礙就是條件給學生設置的。例如在原題中間，學生就中點的如何運用有問題，這也是很多題目中常給出的條件。我們通過對中點的發散思考，在以往的解題經驗中尋找中點的運用，并結合本題中的一些已知條件，很快的解決阻礙，找到了解決問題的方法。在教學中要不斷的給學生滲透這種思維的發散，拓寬學生解題的思維寬度，多角度的挖掘內涵條件，學生才不會因為相同條件在不同情境下的不同運用而束手無策，能夠做到胸有成竹。這樣的積累可以提高學生的學習興趣和數學素養，是學生提高數學水平的必要基礎。

4.2知識的梳理整合讓解題變得更有條理

在學生發散思考的同時，也要做好知識整合的工作，不能讓學生發散所得到的知識僅僅是碎片化的知識點，這對于解題是沒有幫助的，反而會起到反作用。因此需要幫助學生強化思路，提煉精華和主旨，建立思維導圖，總結一些重要的解題思路和方法。當學生看到陌生題目是可以理清頭緒，轉化為已知的知識點去解決。結合題目背景，特別是一些常用的幾何模型的構造，要讓學生去熟悉，從不同的切入點聯想到不同的幾何模型，可以有助于學生提高解題思路和技巧。

4.3內涵數學思想，提高數學素養

數學思想蘊藏在數學知識的形成、發展和應用的過程中間。數學解題的本質就是抓住數學知識的內在之間的聯系，將條件回歸到數學的基本概念和思維上去。通過條件的不斷挖掘和探索，讓學生慢慢積累和掌握不同知識點帶來的碰撞、組合，通過思維的發散、知識的整合，一題多解，相同條件帶來的不同變化，來體會數學的精彩，讓學生養成數學思維，內化數學思想，促進學生學習興趣的提升，進一步培養學生的核心素養。

（江蘇省蘇州市高新區通安中學校）