完全平方公式的推導及應用

蒙潔 周凱文

中圖分類號：A ?文獻標識碼：A ?文章編號：（2021）-18-296

教學目標：知識技能1、經歷探究完全平方公式的過程，并歸納總結完全平方公式;2、能運用完全平方公式進行簡單的計算。

教學難點：經歷探索完全平方公式的過程，并從推導過程中，培養學生觀察、發現、歸納、概括、猜想等探究創新能力。

教具：多媒體

教學步驟：

活動一：創設情境導入新課

【課堂引入】更大的生日蛋糕大家都知道老師有兩個孩子，有一天他們找我。請兩個同學來表演一下：兒子：去年我和妹妹的生日蛋糕都是面積只有a2的正方形，太小了。女兒：是啊！我長大一歲了，生日蛋糕要再多出一個。兒子：我也長大一歲了，要求把蛋糕邊長增加b，變為（+b）。女兒：那不是一樣大嗎？兒子：不對，我的蛋糕會更大。同學們認為哥哥說的對嗎？為什么？通過實際情境讓學生產生興趣，調動學生學習積極性。

活動二：實踐探究交流新知

【探究1】（a+b）2=a2+2ab+b2

問題1：如圖，你能用代數式表示哥哥想要蛋糕的面積嗎？由圖可以看出哥哥比妹妹的蛋糕多了兩塊。因此（a+b）2≠a2+b2

問題2：那么（a+b）2等于什么呢？請同學們小組交流，得出結果。學生展示，得出公式（a+b）2=a2+2ab+b2由于兩個代數式都表示同一圖形的面積，因此相等。

問題3：你能用多項式乘多項式來驗證兩個代數式相等嗎？學生交流展示。

【探究2】（a-b）2=a2-2ab+b2問題1：老師還有一個公式沒有完成，同學們能幫老師完成嗎？（a-b）2=？學生思考，交流展示。問題2：你能自己設計一個圖形解釋這一公式嗎？問題3：分析完全平方公式的結構特點，并用語言來描述完全平方公式。（a+b）2=a2+2ab+b2;（a-b）2=a2-2ab+b2。結構特點：左邊是二項式（兩數和或差）的平方;右邊是兩數的平方和加上（減去）這兩數乘積的2倍。語言描述：兩數和（或差）的平方，等于這兩數的平方和加上（或減去）這兩數積的2倍。

經過探索，引入完全平方公式，再讓學生自己舉例加深對公式的體會。而在計算圖形的面積時，通過對比這些表示方式可以使學生對于公式有一個直觀的認識。同時在古代人們也是通過類似的圖形認識了這個公式。通過自主探究和交流學到了新的知識，學生的學習積極性和主動性得到大大的激發。問題1是讓學生從代數運算的角度，推導出兩數差的完全平方公式，培養學生有條理的思考和語言表達能力。問題2使學生再次從幾何的角度來驗證兩數差的完全平方公式。從而學生經歷了幾何解釋到代數運算，再到幾何解釋的過程，學生的數形結合意識得以培養，并且從不同的角度推導出了公式，并且加以鞏固。處理方式：此環節的設計符合學生的認知水平和認知過程，問題1教學中學生采用了不同的方法：①運用多項式的乘法法則;②把兩數差看作兩數和，再運用兩數和的公式。教師應重視學生對于算理的理解，讓學生嘗試說出每一步運算的道理，有意識地培養他們有條理的思考和語言表達能力。（多媒體出示，同時給學生半分鐘時間反思體會）（a-b）2=（a-b）（a-b）=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2。（a-b）2=[a+（-b）]2=a2+2a（-b）+（-b）2=a2-2ab+b2。問題2用幾何解釋驗證兩數和的完全平方公式的鞏固，同時也是對于學生數形結合意識的一種培養，絕大多數學生能夠通過交流合作得以掌握。通過幾個活動學生能夠初步地掌握了完全平方公式，并在推導過程中培養了數學的基本能力。（a-b）2=a2-ab-b（a-b），即（a-b）2=a2-2ab+b2。問題3在前面的基礎上，加以總結，使得學生從形式上初步地認識了完全平方公式。

活動三：開放訓練體現應用

【應用舉例】例1，利用完全平方公式計算：（1）（2x-3）2;（2）（4x+5y）2;（3）（mn-a）2。處理方式：教師引導學生利用公式特點寫出解答過程。規范解答過程。

【變式訓練】計算：（1）（12x-2y）2;（2）（2xy+15x）2;（3）（n+1）2-n2。處理方式：三個學生到黑板板書，其他同學計算。讓學生進一步鞏固公式，熟練應用公式。進一步熟悉公式。并通過小組交流，自我檢驗，鞏固反饋。

【拓展提升】例2，閱讀下列材料并解答后面的問題：利用完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2，通過配方可對a2+b2進行適當的變形，如a2+b2=（a+b）2-2ab或a2+b2=（a-b）2+2ab，從而使某些問題得到解決。例：已知a+b=5，ab=3，求a2+b2的值。解：a2+b2=（a+b）2-2ab=52-2×3=19。問題解決：（1）已知a+b=6，則a2+b2=________;（2）已知a-b=2，ab=3，分別求a2+b2，a4+b4的值。觀察公式特點：（a+b）2=a2+2ab+b2→a2+b2=（a+b）2-2ab;（a-b）2=a2-2ab+b2→a2+b2=（a+b）2-2ab;（a+b）2-（a-b）2=4ab。進一步提高學生靈活運用所學知識，解決實際問題的能力。

【當堂訓練】

1. 指出下列各式中的錯誤，并加以改正：（1）（2a-1）2=2a2-2a+1;（2）（2a+1）2=4a2+1。

2. 運用完全平方公式進行計算：（1）（-3+2x）2;（2）（-4x-5y）2。

3. 若a+b=5，求a2+2ab+b2的值。處理方式：教師出示檢測題，監督學生獨立完成，學生做完后，教師出示答案，指導學生校對，并統計學生答題情況。學生根據答案進行糾錯。了解學生對本節課掌握情況，以便能及時地進行查缺補漏。使每個學生都能在原來的基礎上獲得較大的發展。

活動四：課堂總結反思

課堂總結：通過這節課的學習，你有哪些收獲？還有哪些困惑？先想一想，再分享給大家。

總結內容：

1. 注意完全平方公式和平方差公式的不同：結果不同：完全平方公式的結果是三項。即（a±b）2=a2±2ab+b2。平方差公式的結果是兩項。即（a+b）（a-b）=a2-b2。

2. 在解題過程中要準確確定a和b，對照公式原形的兩邊，做到不丟項、不弄錯符號、2ab時不少乘2。處理方式：學生爭先恐后，積極回答，教師適當補充。布置作業：1.教材習題：課本P26習題1.11中T1，T2，T3，T4。

2.拓展練習：（a+b）2與（a-b）2有怎樣的聯系？能否用一個等式來表示兩者之間的關系？并嘗試用圖形來驗證你的結論。鼓勵學生通過本節課的學習，談談自己的收獲與感受，加深對“溫故而知新”的體會。學生能夠在課堂上暢所欲言，并通過自己的歸納總結，進一步鞏固了所學知識。

板書設計：提綱挈領，重點突出。

教學反思：1.授課流程反思：通過幾何圖形面積的求法，復習平方差公式的同時，為后面的對比學習完全平方公式做好準備。

2.講授效果反思：對計算結果結構特征的分析時教師板書其特征，讓學生更容易看到其運算的過程，再結合幾何圖形的面積從直觀上進行鞏固，讓學生對完全平方公式有較好的理解和認識。

3.師生互動反思：___________________

4.習題反思：好題題號_________錯題題號_________反思，更進一步提升。

本文系寧明縣整體推進縣域課堂教學改革實驗研究-2019年度寧明縣亭亮中學子課題《如何提高農村初中學生計算能力的教學模式》（立項編號：czkt2019—121）的研究成果