發(fā)散思維 一題多解 提升能力

摘 要：三角函數(shù)的最值問題入口多，能考查不同水平學(xué)生的能力，采用何種策略解答，關(guān)鍵在于對問題的認(rèn)識.2020年全國高考數(shù)學(xué)Ⅱ卷理科21題第二問是一個典型例子.可以從不同角度，拓展思路，分析解答，變式探究，再現(xiàn)命題的能力立意，以期提高認(rèn)識.

關(guān)鍵詞：高考題;解法;研究

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2021）04-0026-03

2020年全國高考理科數(shù)學(xué)Ⅱ卷的第21題是一個三角函數(shù)題，考查了函數(shù)單調(diào)性、最值以及不等式證明.該題打破了若干年來超越函數(shù)ex、lnx與帶參一、二次函數(shù)的綜合題霸占壓軸題位置的慣例，給我們一線教師帶來很多思考，尤其是第二問，值得研究.

一、試題呈現(xiàn)

（2020年全國高考理科數(shù)學(xué)Ⅱ卷第21題）已知函數(shù)f（x）=sin2xsin2x.

（1）略;

（2）求證：f（x）≤383;

（3）略.

二、解法探究

視角1 從極值的角度切入，用極值導(dǎo)出最值

證法1 對原函數(shù)求導(dǎo)得f ′（x）=2sinxcosxsin2x+2sin2xcos2x，

化簡整理得

f ′（x）=2sin2x（4cos2x-1）.

令f ′（x）=0得sinx=0或cosx=±12.

進(jìn)而得sinx=0cosx=±1或cosx=±12sinx=±32.

由于f（x）=sin2xsin2x=2sin3xcosx，

于是f（x）=2sinx3cosx.

所以f（x）極值=0，

或f（x）極值=|2×（±32）3×（±12）|=338.

三角函數(shù)的圖像具有連續(xù)性、有界性，結(jié)合極值與最值得關(guān)系可得f（x）≤383.

評析 導(dǎo)數(shù)是解決函數(shù)問題的有力武器，本函數(shù)易于求導(dǎo)，也易于找到極值點，借助三角函數(shù)圖像的連續(xù)特征，可以用極值代表最值，不僅可以解得最大值，也可以求得最小值.充分展示了導(dǎo)數(shù)的工具性.

視角2 從周期性入手，以局部研究整體

證法2 由于f（x+π）=sin2（x+π）sin2（x+π）=f（x），

所以π是函數(shù)f（x）的一個周期.

于是，要證f（x）≤383，只需證x∈0，π時，f（x）≤383即可.

f ′（x）=2sinxcosxsin2x+2sin2xcos2x=2sinx（sin2xcosx+cos2xsinx）

=2sinxsin3x

當(dāng)x∈0，π時，

令f ′（x）=0得x=0，或x=π3，或x=2π3，或x=π.

于是

f（x）≤maxf（0），

f（π3），f（2π3），

f（π）

=383

所以f（x）≤383.

評析 周期性是三角函數(shù)最典型的性質(zhì)之一，借助周期性可以將復(fù)雜的問題簡單化，將抽象的問題具體化.本證法將無限不易具體量化的問題，變成了直觀的簡單三角求值，回歸到課本，回歸到基礎(chǔ)，透視了問題的本質(zhì).

視角3 從均值不等式入手，依托sin2θ+cos2θ=1解答.

證法3 因為f（x）=sin2xsin2x=2sin3xcosx

所以f2（x）=4sin6xcos2x

=43·sin2x·sin2x·sin2x·（3cos2x）≤43sin2x+sin2x+sin2x+3cos2x44

=43（34）4.

當(dāng)且僅當(dāng)sin2x=3cos2x，tanx=±3時等號成立.

即f（x）2≤43（34）4.

所以f（x）≤383.

評析 本題題設(shè)中有絕對值，這為應(yīng)用均值不等式提供了必要條件，由于函數(shù)解析式能等價轉(zhuǎn)化為僅含有正弦函數(shù)和與余弦函數(shù)的乘積式，這使得同角三角函數(shù)基本關(guān)系sin2θ+cos2θ=1能夠派上用場，僅需要在構(gòu)造定值方面下功夫，事實上這不是一個難點.由此可見，這個解法非常值得推廣.

視角4 從統(tǒng)一三角函數(shù)名稱入手，構(gòu)造高次函數(shù)解答

證法4 因為f（x）=sin2xsin2x=2sin3xcosx

所以f（x）=2sinx3cosx

=2sinx31-sinx2

=2sinx6-sinx8.

令t=sinx2，則f（x）=2t3-t4（t∈[0，1]）.

再令z=t3-t4

易求得zmax=14（34）3.

所以f（x）≤214（34）3=338.

評析 基于正余弦的關(guān)系式，統(tǒng)一三角函數(shù)名易于實現(xiàn)，通過換元能構(gòu)造定義域已知的高次函數(shù)，將問題等價轉(zhuǎn)化為求高次函數(shù)的最值，借助導(dǎo)數(shù)很容易完成解答.需注意換元時次數(shù)的選擇.有興趣的同仁，試一試將正弦函數(shù)轉(zhuǎn)化為余弦函數(shù)，也是可行的.

視角5 從萬能公式入手，構(gòu)造新函數(shù)解答

證法5 令t=tanx2，t∈R，

則f（x）=sin2xsin2x

=2sin3xcosx

=21-t21+t2（2t1+t2）3

=16t3（1-t2）（1+t2）4

=16（t3-t5）（1+t2）4.

這是一個奇函數(shù)，僅需研究t∈[0，+SymboleB@）的情形.

記f（t）=16（t3-t5）（1+t2）4，

求導(dǎo)得

f ′（t）=16（3t2-5t4）（1+t2）4-128t（t3-t5）（1+t2）3（1+t2）8

整理得f ′（t）=16t2（3t4-10t2+3）（1+t2）8.

令f ′（t）=16t2（3t4-10t2+3）（1+t2）8=0得極值點t=33，或t=3.

對應(yīng)的極值為f（33）=338，f（3）=-338.

根據(jù)三角函數(shù)的連續(xù)性，有界性，結(jié)合奇函數(shù)圖像的對稱性得f（t）≤338.

即f（x）≤338.

評析 萬能公式能夠統(tǒng)一三角函數(shù)名稱，換元后可以統(tǒng)一變量，就本題而言也沒改變自變量的取值范圍，為應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求最值奠定了基礎(chǔ).這個證法思路簡潔，條理清晰，在平時教學(xué)中稍作訓(xùn)練，學(xué)生一定能掌握這個技巧.

三、題目溯源

有經(jīng)驗的老師會發(fā)現(xiàn)，與這道題類似的題目曾經(jīng)在2018年高考中出現(xiàn)過：（全國Ⅰ卷理科第16題）已知函數(shù)f（x）=2sinx+sin2x，則f（x）的最小值是.此題考查的知識點、解題方法與今年這道題十分雷同，難度不比今年這道題小，處于當(dāng)年小題壓軸題位置，起到了很好的把關(guān)作用.這告誡我們，研究高考真題是我們高三的一個必修課，并且要善于總結(jié)和拓展，以應(yīng)對“新”題目.事實上，今年其他高考試卷中也存在不同程度的“老”題翻“新”的現(xiàn)象.筆者對2018年的這道題也曾經(jīng)嘗試著用五種解法解答過，限于篇幅，此處給出其中一種，供參考.

f ′（x）=2cosx+2cos2x，由f ′（x）=0得，2cos2x+cosx-1=0，

解得cosx=12，或cosx=-1，

所以sinx=32，或sinx=-32，或sinx=0.

當(dāng)sinx=32，cosx=12時，f（x）=332;

當(dāng)sinx=-32，cosx=12時，f（x）=-332;

當(dāng)sinx=0，cosx=-1時，f（x）=0.

由三角函數(shù)的連續(xù)性和有界性，結(jié)合極值的概念得f（x）min=-332.

四、變式拓展

1.已知函數(shù)f（x）=sin2xsin2x，求f（x）的值域.

說明 本函數(shù)是奇函數(shù)，所以與今年高考原題異曲同工.

2.已知函數(shù)f（x）=sin2x+sin2x，求f（x）的最大值.

說明：將原函數(shù)的乘積關(guān)系換成求和，問題難度下降，屬于傳統(tǒng)三角函數(shù)性質(zhì)問題.

3.已知函數(shù)f（x）=sinx+sin2x，求f（x）的最小值.

說明：將兩項的次數(shù)錯開，問題難度隨之提升，屬于創(chuàng)新題目.

4.已知函數(shù)f（x）=sinxsin2x，求f（x）的極值.

說明：本函數(shù)是偶函數(shù)，問題變?yōu)闃O值，需要能明白函數(shù)的單調(diào)性，以確定極大值（極小值），本質(zhì)并未改變，僅需理清概念.

以上變式題都很有意思，有興趣的同仁可以繼續(xù)展開比較研究.

三角函數(shù)的值域（最值）問題既有傳統(tǒng)的題型，使用純?nèi)侵R可以解答;也可和其它模塊內(nèi)容融合在一起進(jìn)行創(chuàng)新，這類題目往往具有開放性，不局限于使用三角知識解答，借助一些其他知識，如均值不等式、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)、圓錐曲線等，可能更加方便，能綜合考查學(xué)生素養(yǎng).在教學(xué)中，我們既要加強(qiáng)基礎(chǔ)知識的教學(xué)，更要在創(chuàng)新上下功夫，方可達(dá)到高考的選拔性要求.參考文獻(xiàn)：

[1]教育部考試中心.2012年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大綱說明（理科·課程標(biāo)實驗版）[M].北京：高等教育出版社，2012：39-40.

[2]李昌成.探究一道基于能力考查的高考題[J].理科考試研究，2018（23）：11-13.

[責(zé)任編輯：李 璟]