換元轉(zhuǎn)化 化難為易

葉文明 李陽

摘 要：換元法是解數(shù)學(xué)題的一種常用方法，它的實(shí)質(zhì)是通過換元轉(zhuǎn)化，從而把復(fù)雜問題簡單化，有利于問題的解決.

關(guān)鍵詞：換元;絕對(duì)值;最值

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2021）04-0069-02

解數(shù)學(xué)題時(shí)，常把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問題得到簡化的方法叫換元法.換元法的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，把復(fù)雜問題簡單化.換元法在研究方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、解析幾何等問題中有廣泛的應(yīng)用，它幾乎涵蓋高中階段的所有內(nèi)容，是一種常用的解題方法.

例1 （2020浙江新高考學(xué)考模擬卷五）

已知正數(shù)x，y滿足x+y=1，則x2x+2+y2y+1的最小值為.

解析 方法一 4x+2+1y+1=14×4x+2+1y+1x+2+y+1≥94

∴x2x+2+y2y+1=x-2+4x+2+y-1+1y+1

=4x+2+1y+1+x+y-3≥14，

即最小值為14.

方法二 （換元）令x+2=a，y+1=b，則a+b=4.

原式=（a-2）2a+（b-1）2b=4a+1b+a+b-2-4=14（4a+1b）（a+b）-2

=14（4ba+ab+5）-2≥14（24+5）-2=14.顯然換元法容易理解，當(dāng)分母稍顯復(fù)雜時(shí)，常用換元法化繁為簡.

變式 （2020全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽甘肅賽區(qū)預(yù)賽）設(shè)x，y均為正數(shù)，則M=4xx+3y+3yx的最小值為.

解析 令x+3y=t，則3y=t-x，∴M=4xt+t-xx=4xt+tx-1≥24-1=3

∴M的最小值為3.

例2 （2020浙江新高考學(xué)考模擬卷三）已知函數(shù)f（x）=x-x-2a2+1，x∈0，4，其中a∈R，設(shè)f（x）的最大值為g（a），則g（a）的最小值為.

解析 絕對(duì)值問題通常采用分類討論去掉絕對(duì)值符號(hào)的方法解決，但本題直接分類討論稍顯繁瑣，采用換元法后再分類討論則容易得出正確答案.

令t=x-x，由x∈0，4得t∈0，2，于是原函數(shù)化為：

y=t-（2a2-1），t∈0，2，

∴當(dāng)2a2-1≤1，即-1≤a≤1時(shí)，如圖1所示

g（a）=2-（2a2-1）=2-（2a2-1）=-2a2+3，

當(dāng)2a2-1>1，即a<-1或a>1時(shí)，如圖2所示.

g（a）=0-（2a2-1）=2a2-1

從而g（a）=-2a2+3，-1≤a≤12a2-1，a<-1或a>1，易得g（a）的最小值為1.

變式 （2020浙江新高考學(xué)考模擬卷二）

定義 maxa，b=a，a≥bb，a<b.若不等式maxx+mx-2，x+mx-3≥5（其中m>0）對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈1，2恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為.

解析 令x+mx=t，顯然t>0，maxx+mx-2，x+mx-3≥5

maxt-2，t-3≥5t≤52t-3≥5或t>52t-2≥5

t≤-2（舍去）或t≥7，即x+mx≥7，∴m≥-x2+7x

∴m≥（-x2+7x）max，x∈1，2，∴m≥10.

例3 （2020浙江松陽二中高三沖刺卷）已知a≥0，b≥0，a+b=1，則a+12+b+12的取值范圍為.

解析 求代數(shù)式的取值范圍，即最值問題時(shí)，常用基本不等式解決，當(dāng)式子較復(fù)雜時(shí)，可利用換元法化繁為簡.

令a+12=x，b+12=y，則x2+y2=2，且x≥22，y≥22.

原式=a+12+b+12=x+y.于是原題目變成了點(diǎn)（x，y）在以O(shè)為圓心，2為半徑的圓弧AB上，求x+y的取值范圍.顯然當(dāng)目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線與圓弧AB相切時(shí)最大，過點(diǎn)A或點(diǎn)B時(shí)最小，由線性規(guī)劃易知正確答案為 6+22，2.

變式 （2020浙江松陽二中高二學(xué)考模擬卷）求函數(shù)f（x）=4-x+3x+6+2的值域.

解析 令4-x=a，3x+6=b，則3a2+b2=18，即b218+a26=1，目標(biāo)函數(shù)為Z=a+b+2.原題目化為點(diǎn)（a，b）在橢圓b218+a26=1上，求目標(biāo)函數(shù)Z=a+b+2的值域問題，由線性規(guī)劃可知原函數(shù)的值域?yàn)?-26，2+26.

換元法的本質(zhì)是轉(zhuǎn)化，構(gòu)造元和設(shè)元，通過等價(jià)代換，變換對(duì)象，將問題轉(zhuǎn)換成新的對(duì)象去研究.用換元法解題時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：（1）選擇合適的變量換元，遵循讓問題簡化的原則.（2）換元后要注意新變量的范圍，并根據(jù)題設(shè)加以驗(yàn)證.

參考文獻(xiàn)：

[1]閻銳.教會(huì)學(xué)生靈活運(yùn)用轉(zhuǎn)換思想解題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2008（10）：40-42.

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