中線長定理的證明及應用舉例

李秀元

摘 要：基于數學人教A版教材中的例習題分析，綜合中線長定理的證明方法，展示不同知識在同一知識點上的魅力，并展開簡單應用.

關鍵詞：中線;余弦定理;距離公式

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2021）04-0049-02

一、中線長定理的內容、地位及證明

中線長定理，又稱阿波羅尼奧斯定理，是關于三角形三邊和中線長度關系的歐氏幾何定理.文字表述為：三角形一條中線兩側所對邊的平方和等于底邊一半的平方與該邊中線的平方和的2倍.

如圖示，設△ABC的三邊分別為a，b，c，邊BC，AC，AB上的中線分別記為ma，mb，mc，則：

b2+c2=2[（a2）2+m2a]，c2+a2=2[（b2）2+m2b]，a2+b2=2[（c2）2+m2c].

中線長定理在人教課標教材A版中一共出現三次，一次是《數學》必修5第一章《解三角形》20頁習題13，作為余弦定理的應用，它突出了中線長的計算：△ABC的三邊分別為a，b，c，邊BC，CA，AB上的中線分別記為ma，mb，mc，應用余弦定理證明：

ma=122（b2+c2）-a2，mb=122（a2+c2）-b2，mc=122（a2+b2）-c2

一次是《數學》必修2第三章《直線與方程》110頁B組習題7，以解析法的形式，突出了中線長與三角形三邊的關系：

已知AO是△ABC邊BC的中線，求證：

|AB|2+|AC|2=2（|AO|2+|OC|2）.

第三次是《數學》必修2第三章《直線與方程》105頁例4在兩點間距離公式的應用基礎上，給出了平行四邊形的性質，也可以理解為中線長定理的變形式：

證明平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對角線的平方和.

下面用不同方法證明如下：

證法1 應用余弦定理（只證第一式，其余同理）.

如圖示，在△ABD中， cos∠BDA=BD2+AD2-AB22BD×AD，在△ADC中， cos∠ADC=AD2+DC2-AC22AD×DC，因為∠BDA+∠ADC=180°，所以cos∠BDA=-cos∠ADC，即BD2+AD2-AB22BD×AD=-AD2+DC2-AC22AD×DC.

所以BD2+AD2-AB2=-AD2-DC2+AC2，即2（AD2+BD2）=AB2+AC2.

所以b2+c2=2[（a2）2+m2a]，整理得ma=122（b2+c2）-a2.

證法2 綜合應用平面向量知識和余弦定理.

因為D為BC的中點，所以2AD=AB+AC，兩邊平方得4AD2=AB2+AC2+2AB·AC.

又在△ABC中，2AB·AC=AB2+AC2-BC2.

所以AD2=12（AB2+AC2）-（BC2）2，即m2a=12（b2+c2）-（a2）2.

證法3 解析法.

如圖，以BC邊的中點為原點，邊BC所在直線為x軸建立直角坐標系.

設C（c，0），A（a，b），則B（-c，0）.

|AB|2=（a+c）2+b2;|AC|2=（a-c）2+b2;|OA|2=a2+b2;|OC|2=c2.

所以，|AB|2+|AC|2=（a+c）2+b2+（a-c）2+b2=2（a2+b2+c2），

2（|AO|2+|OC|2）=2（a2+b2+c2）.

因此，|AB|2+|AC|2=2（|AO|2+|OC|2）.

二、中線定理的簡單應用

例1 Rt△ABC中，斜邊BC為m，以BC的中點O為圓心，作直徑為n（n<m）的圓，分別交BC于D，E兩點，則|AD|2+|AE|2+|DE|2的值為（）.

A. m2+3n22B. m2+n22 C. 3m2+n22D. m2+3n2

解 如圖3所示，在△ADE中應用中線定理，得AO2=2AD2+2AE2-DE24，即（m2）2=2AD2+2AE2-DE24，所以|AD|2+|AE|2=m2+n22.

從而|AD|2+|AE|2+|DE|2=m2+n22+n2=m2+3n22，選A.圖3

例2 在直角三角形ABC中，點D是斜邊AB的中點，點P為線段CD的中點，則|PA|2+|PB|2|PC|2=（）.

A. 2B. 4C. 5D. 10

解 如圖4所示，|PC|=|PD|=12|CD|=14|AB|.

在△PAB中，應用中線定理，有2（|PA|2+|PB|2）-|AB|2=4|PD|2，故2（|PA|2+|PB|2）=|AB|2+4|PD|2=20|PC|2，選D.

說明 以上兩題建系求解一樣可行，而應用中線長定理則是不錯的選擇.

例3 在平面上，AB1⊥AB2，|OB1|=|OB2|=1，AP=AB1+AB2.若|OP|<12，則OA的取值范圍是（）.

A.（0，52] B.（52，72] C.（52，2]D.（72，2]

解 由|OB1|=|OB2|知，點O在線段B1B2的垂直平分線上，如圖5所示，設矩形AB1PB2對角線的交點為M，則MB1=MB2，且OM⊥B1B2.

在△AOP中，根據中線定理得2（OA2+OP2）-AP2=（2OM）2，而OM2=1-MB21=1-14B1B22=1-14AP2，所以2（OA2+OP2）=4-AP2+AP2=4，即OA2+OP2=2，又|OP|<12，故OA∈（72，2].

說明 本題作為13年高考重慶卷的選擇壓軸題，有其把關和選拔功能，是一道難題.雖然有垂直關系，有長度，可以建系求解，但計算麻煩，短時間內會逼得學生放棄.應用中線長定理直接將目標和已知條件聯系在一起，解題干凈利落，值得欣賞.

例4 已知P（a，b）為圓x2+y2=1內一個定點.作直線PA⊥PB，分別交圓于A，B.以A，P，B為三個頂點作矩形，求矩形的第四個頂點Q的軌跡.

解 設矩形PAQB的對角線PQ、AB相交于點M，連接OP，OM，OQ，OA，OB.在△OPQ和△OAB中，分別應用中線長定理得，

OP2+OQ2=12PQ2+2OM2=12AB2+2OM2=OA2+OB2=2.

所以OQ2=2-（a2+b2），則點Q的軌跡為圓.

例5 已知m，n是兩個非零向量，且|m|=1，|m+2n|=3，則|m+n|+|n|的最大值為（）.

A. 5B. 10C. 4D. 5

解 因為m+n=（m+2n）+m2，n=（m+2n）-m2，以m、|m+2n|為鄰

邊作平行四邊形，即OA=m+2n，OB=m，如圖7所示，則OD=（m+2n）+m，BA=（m+2n）-m，從而OC=m+n，CA=n，因此，|m+n|+|n|可表示為|OC|+|CA|.

由中線長定理或平行四邊形的性質，可得|OC|2+

|CA|2=5，根據不等式a+b≤2（a2+b2）（a，b為正數），得到|OC|+|CA|≤2（|OC|2+|CA|2），即|m+n|+|n|的最大值為10.

說明 本題的綜合較強，考查了向量的加減法，向量模的幾何意義，中線長定理，以及基本不等式等知識，難度較大.

參考文獻：

[1]人民教育出版社，課程教材研究所.普通高中課程標準實驗教科書數學2（必修·A版）[M].北京：人民教育出版社，2007（3）.

[責任編輯：李 璟]