一類恒成立問題處理策略的再延伸

摘 要：本文將處理一類恒成立問題的結(jié)論做了拓展延伸，并給出了應用.

關鍵詞：恒成立;定理;導數(shù)

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2021）04-0040-02

文[1]利用一個定理解決了一類恒成立問題，本人讀后受益匪淺.本文再將該定理推廣延伸如下.

定理：（1）已知函數(shù)y=f（x）在x=a處可導，且x∈[a，b）時f（x）≤（≥）f（a）恒成立，若函數(shù)y=f ′（x）在x=a處可導，且f ′（a）=0，則f ″（a）≤（≥）0.

（2）已知函數(shù)y=f（x）在x=b處可導，且x∈（a，b]時f（x）≤（≥）f（b）恒成立，若函數(shù)y=f ′（x）在x=b處可導，且f ′（b）=0，則f ″（b）≥（≤）0.

（注：y=f ″（x）是函數(shù)y=f ′（x）的導數(shù).）

對于定理：已知函數(shù)y=f（x）在x=a處可導，且x∈[a，b）時有f（x）≤f（a）恒成立，若f ′（a）=0.則f ″（a）≤0. 我們試著從反面入手說明其正確性.

如果f ″（a）>0，則y=f ′（x）在x=a處右側(cè)附近的圖像單調(diào)遞增，又f ′（a）=0.所以y=f（x）在x=a處右側(cè)附近滿足f ′（x）≥0.于是y=f（x）在x=a處右側(cè)附近的圖像單調(diào)遞增，從而說明y=f（x）在x=a處右側(cè)附近滿足f（x）>f（a），這與條件x∈[a，b）時f（x）≤f（a）恒成立是矛盾的，該定理正確！其他的結(jié)論類似說明其正確性.

下面舉例說明其應用.

例1 已知f（x）=ex-1-x-ax2，當x≥0時，f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍.

解

∵f（x）=ex-1-x-ax2，

∴f（0）=0，f ′（x）=ex-1-2ax，f ′（0）=0.

f ″（x）=ex-2a.

令f ″（0）=e0-2a≥0，

∴a≤12.

當a≤12時，由于x≥0，f ″（x）=ex-2a≥1-2a≥0，y=f ′（x）在x≥0時單調(diào)遞增.

又f ′（0）=0，則y=f ′（x）在x≥0時有f ′（x）≥0，則y=f（x）在x≥0時單調(diào)遞增，又f（0）=0，從而說明當x≥0時，f（x）≥0恒成立.

綜上所述a≤12.

說明：本題先利用定理得到f（x）≥0成立的必要條件，然后再證明其充分性.

例2 當x≥0時，ax2+1≤xex+e-x恒成立，求a的取值范圍.

解 ax2+1≤xex+e-xax2+1-xex-e-x≤0.

令f（x）=ax2+1-xex-e-x，

則f（0）=0.

f ′（x）=2ax+e-x-ex（x+1），

∴f ′（0）=0.

f ″（x）=2a-e-x-ex（x+2），

令f ″（0）=2a-3≤0，

∴a≤32.

當a≤32時，由于x≥0，f ″（x）=2a-ex（x+2）-e-x=2a-ex-e-x-ex-xex≤2a-2ex·e-x-1=2a-3≤0，y=f ′（x）在x≥0時單調(diào)遞減.

又f ′（0）=0，則y=f ′（x）在x≥0時有f ′（x）≤0，則y=f（x）在x≥0時單調(diào)遞減，又f（0）=0，從而說明當x≥0時，f（x）≤0恒成立，即當x≥0時ax2+1≤xex+e-x.

綜上所述a≤32.

參考文獻：

[1]甘志國.簡解一類“恒成立”高考題[J].數(shù)理化解題研究，2018（05）：49-50.

[2]徐加華.利用導數(shù)證明函數(shù)不等式的五個策略[J].數(shù)理化解題研究，2018（05）：23-25.

[責任編輯：李 璟]