玩中學演中悟　從三個水平層次管窺直觀想象素養

王崢嶸 王奇佳 沈恒

摘 要：直觀想象是數學學科六大核心素養中“看得見、摸得著”的一種素養，其初始依賴于具備圖形關系的各種載體，形成于向量、幾何等章節的學習，可以體現學生從非形式化向形式化轉變的一個顯而易見的素養.本文以2020年浙江省高考立體幾何解答題的思維導向為例，對一線立體幾何教學進行了反思，指出了一些弊端，也提出了一些不成熟的想法.

關鍵詞：線面角;水平層次;立體幾何思維;直觀想象

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2021）07-0029-03

收稿日期：2020-12-05

作者簡介：王崢嶸（1975.7-），浙江省湖州人，本科，中學高級教師，從事高中數學教學研究;

王奇佳（2004.4-），浙江省湖州人，高中在讀.

沈恒（1998.3-），浙江省湖州人，本科，中學高級教師，從事高中數學教學研究.

《普通高中數學課程標準（2017 年版）》指出：數學學科直觀想象素養主要表現在建立形與數的聯系，利用幾何圖形描述問題，借助幾何直觀理解問題，運用空間想象認識事物.可以說，直觀想象素養是數形結合思想的一種具體落實，在學生頭腦中建立起從一維數軸——二維平面——三維空間的逐步學習過程，形成一種具備直觀感受下的空間思考能力.

直觀想象素養分為三個水平層次，其一是直面感官想象的能力;其二是形成數形結合的思想;其三是構建直觀模型的體系.課程標準明確指出，我們教學需要適配的三個方向，即認識、形成、構建！本文結合2020年浙江省高考立體幾何解答題，從直觀想象三個水平層次的角度，談一談如何在教學中培養學生的直觀想象能力.

題目 （2020年浙江卷第19題）如圖1，三棱臺DEF-ABC中，面ADFC⊥面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC=2BC.

（1）證明：EF⊥DB;

（2）求DF與面DBC所成角的正弦值.

層次一：興于形——直面感官想象的能力

立體幾何解答題往往已經給出圖形，這就在水平層次一上.讀懂幾何試題的一般圖形，是最直接的感官想象能力.具體分析一下，第（1）問考查的是異面直線垂直問題，是一個常規問題，這類問題的基本策略就是借助線面垂直證明線線垂直.此處可直接利用平面與平面垂直的性質定理（如圖2）：兩個平面（α和β）垂直，則一個平面垂直于交線（l）的直線（bα，b⊥l）與另一個平面垂直（b⊥β）.

層次二：立于思——形成數形結合的思想

空間幾何本身就是以圖形為載體，通過傳統歐式幾何定理，利用“形”的視角解決問題，也可以從“數”的視角，利用向量運算解決問題.縱觀近年來浙江高考立體幾何解答題，我們不難發現，命題組一直努力在尋求兩種方式的平衡，即不能讓“代數運算”的向量方式占據絕對優勢，因此命題組在傳統歐式幾何方式和建系向量方式上努力尋求平衡點.這一命題思路，正是暗示了我們的一線教學，需要從兩個方面指導學生立體幾何的學習，“形解”和“數解”都要掌握，因此筆者提出，立體幾何教學要兩法并舉、齊頭并進，切勿“單腿走路”.現在一線教學對于傳統歐式定理的教學往往有所放松，而中學數學更注重“形”的培養，以形輔數在數形結合思想中占據著更為重要的地位，來看“形”解：

“數”解方式——空間向量法在計算中設而不求的思想在解析幾何中常見，在立體幾何中不常見，對學生是否敢于嘗試帶參數求解是一個考驗.筆者嘗試將這個題目給高二學生去做，竟然有了一個“驚人”的發現，出現了兩種不按常理出牌的思路，通過對這兩位學生的了解發現，他們能準確地發現此題的結果和點E，F的位置無關，僅和兩個45°有關.

第一種思想是將這個臺體圖形內置到一個正方體內，問題就變成了正方體的棱AC和面CMN所成角的問題（如圖5所示），這也是此題可以設而不求的幾何背景.

第二種思想是依據“只要不違背題目條件，題目中沒提到的條件可以自己構造（如圖6所示）”，故令此此題中BC=2，CD=22，同時發出靈魂提問“這么做會扣分嗎？扣多少？拋開這兩種解題過程，筆者發現，提供這兩種解法的學生都是數學實驗社團成員，并且都是參與數學實驗活動積極性很高的學員.在解題過程中聯系平時的數學實驗經驗，提出“猜想”，筆者認為這就是“直觀想象”的一種體現.

因此，于教師而言：作為數學科重要的核心素養直觀想象而言，筆者從課程標準的三個水平層次進行了與一線教學落地的對比解讀.而將核心素養進行落地，是需要一線教師在認真研學課程標準的基礎上，融入自身教學的思考.

于教學而言：

興于形——初等數學要注重幾何圖形的掌握;

立于思——問題解決要關注數形結合的魅力;

成于新——類比學習要尋求思維創新的突破.

因此直觀想象素養恰恰是要求我們將這種啟發、引導、創新帶給學生，從而提高學生直觀想象能力和思維的含量，獲得更好的學習效果和學習體驗，是為直觀想象素養三個水平層次.

參考文獻：

[1]中學數學課程教材研究開發中心.普通高中課程標準實驗教科書數學必修2[M].北京：人民教育出版社，2007.

[2]中學數學課程教材研究開發中心.普通高中課程標準實驗教科書教師教學用書數學必修2[M].北京：人民教育出版社，2007.

[3]王崢嶸.從“快餐式”數學實驗管窺數學教學[J]. 數學之友，2016（06）：80-82.

[4]史寧中.學科核心素養的培養與教學——以數學學科核心素養的培養為例[J].中小學管理，2017（01）：35-37.

[5]沈恒.以武思學——管窺復習教學的設計境界[J].中學數學，2018（03）：17-20.

[責任編輯：李 璟]