初中數學三角函數教學的案例分析

蔣勇

三角函數作為初中數學教學階段的一項重要內容，需要學生認真的思考與探索，才能有限掌握三角函數的含義及應用。其中，文章借助初中數學三角函數教學案例的分析，以分析三角函數教學的方法，從而給予學生適當的教學建議，進而引導學生展開三角函數知識的有效探究，最終促使三角函數教學與學生課堂的實踐運用做到真正融合。

一、研究背景

對初中數學三角函數教學的案例分析，主要銳角三角函數內容內容為案例分析對象，就如何開展三角函數教學展開具體的案例分析與探究。其中，此課時內容主要包括了認識正弦（sin A）概念、銳角正弦的意義、概念以及計算等內容，這些主要是學生學習此課時內容需要理解和掌握的基本三角函數知識。

但是，從現有學習情況來看，仍有不少學生感覺到學習的壓力，相關正弦概念的理解仍不深。尤其是在計算過程中，發現很多學生不懂得如何運用比較、分析的方法來求出給定銳角的三角函數，從而陷入到解題的尷尬境地。那么為了有效引導學生理解和運用銳角三角函數的有關知識、性質定理，教師應該抓住學生的學習心理，并且在強化學生銳角三角函數基礎知識的前提下，不斷向學生講授一些例題的講解與運用，從而引導學生展開對課程知識的實踐運用，進而讓學生真正理解和掌握銳角三角函數知識，最終完成本次案例分析。

二、案例呈現

以下是“銳角三角函數——正弦”教學案例分析過程：

（一）新知導入。基于學生對銳角三角形的理解和認知，引入直觀的銳角三角形圖象，并引導學生探索邊與角的關系，如下圖所示：

從上面的圖象中，引導學生再次回顧銳角三角形的含義、性質以及特點，由此為銳角三角函數的教學做好準備。當學生基本復習銳角三角形有關知識內容之后，則將上述銳角三角形與實際的課程問題銜接起來，以引出新課主題內容，即銳角三角函數問題。那么由上述銳角三角形延伸出實際的三角函數問題，具體如下：

這時教師可以利用多媒體教學設備，展示如上的直觀案例圖片，并提出實際的生活案例分析問題，如為了環保和綠化山林，先打算從山腳到山頂鋪設一條水管，以用于坡面的噴灌活動，其中測得斜坡與水平面所成角的度數為30度，那么為了使得出水口的高度為35米，則需要準備多長的水管管道呢？

在問題提出之后，給予學生適當時間進行問題的交流與互動，從而引導學生走進銳角三角函數問題的教學情境之中[1]。然后，在此基礎上，引入與新課三角函數內容相關知識點，以此實現新課導入工作。

（老師：題目講了一個什么問題，與今天我們學習的銳角三角函數知識有聯系嗎？我們該如何解答這道問題呢？且可以運用到之前我們學習過的哪些知識呢？學生：我們可以運用銳角三角函數概念、性質以及定理來進行解答。）

那么教師可以抽取一位學生上講臺來作答：

解：將題目中的圖象抽象化，形成一個直角三角形，如下所示：

那么根據題目中的條件，得知直角三角形中的一個銳角等于30度，因而根據銳角三角函數的“比值”以及“固定值”有關知識點，求得出這個銳角的對邊與斜邊的比值都等于1/2，由此建立起數學知識結構模型，進而逐步求解出問題的答案，即需要準備70米長的水管。

（二）互動討論。在分析上述新課導入問題之后，教師可以利用課堂互動的方式，與學生繼續探討有關的銳角三角函數課程問題，并且給予他們適當的時間展開討論與互動，以此激活學生的學習與探究熱情。

在此過程中，教師也可以根據學生的探究情況，適當加深一些課程問題，以讓學生可以更為深入地學習“銳角三角函數——正弦”知識，如結合實際的應用題型進行問題的解答，使得學生能夠將所學的“銳角三角函數”應用到實際問題解答當中。

如圖，任意畫一個Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=45°，計算∠A的對邊與斜邊的比，并說一說你從中得到了哪些結論？

那么針對這個互動討論問題，學生可以繼續基于在一個直角三角形中，如果一個銳角等于45°，不管這個直角三角形的大小如何，這個角的對邊與斜邊的比都等于 其中，教師可以引導學生思考，這與當前所學的銳角三角函數存在哪些關聯關系呢？

首先，在直角三角形中，當銳角A的度數一定時，不管三角形的大小如何，∠A的對邊與斜邊的比也是一個固定值”的結論，從而引出銳角三角函數中的“正弦”概念。其次，由銳角A的度數變化，繼續引導學生探索正弦的數值，即：

在Rt△ABC中，∠C=90°，我們把銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦（sine），記作sinA，因而得到如下結果：

在探討中，教師可以加入適當的情境互動環節，即引導學生提問-回答-思索，讓學生互相分析與交流，以真正明白銳角三角函數中的正弦知識點、sinA表示直角三角形中兩邊的比、正弦計算等，由此引導學生做到對數學知識點的理解和有效認知。

（三）課程訓練。由于“銳角三角函數——正弦”不僅涉及到各種概念的理解、性質定理的運用、實踐計算，也涉及到一些實際問題的應用與解答，這就需要教師加強對學生的基礎訓練，使其從不同的訓練中強化自身的解題能力。那么在設計課程訓練內容時，教師應該遵循從簡單到困難的順序，對實際問題進行深化，從而強化學生對課程知識的掌握[2]。首先，可以先設計一些計算題目，如下所示：

（1）在Rt△ABC中，銳角A的對邊和斜邊同時擴大100倍，sin A的值也擴大多少倍？

（2）請求出sin A =？

其次，學生可以自行運用所學的正弦知識點，展開上述知識點的學習與探究，由此將所學的數學課程知識運用于實際問題的解答，從而真正理解銳角三角函數的有關性質定理。

三、案例反思

在案例分析中，發現仍有不少學生對銳角三角函數的理解和認知還不夠深入，尤其是在利用相關概念展開計算時，發現學生不會靈活運用與變通，這些都需要教師課后進一步加強學生的基礎知識牢固，并且配合適當的課后訓練，來幫助學生鞏固舊知。

參考文獻：

[1]郁杰華.三角函數在初中數學課堂中的教學案例分析[J].數學學習與研究，2020，12（6）：107-107.

[2][1]郭國清.初中數學三角函數教學優化策略的案例分析[J].中學生數理化，2019，5（10）：96-96.

（云南省昆明市官渡區小哨中學）