基于二叉樹實物期權定價的養老服務PPP項目特許期研究

司文雅 者貴昌

摘 要：PPP（Public-Private-Partnership）是通過政府與社會資本合作來建設公共基礎設施的一種項目運作模式。近年來，發展的越來越成熟。目前，我國已進入老齡化社會，老齡化問題日趨嚴重，然而，我國在養老服務方面的設施又比較缺乏，完全由政府承擔養老服務的建設，政府又面臨著資金缺乏以及相關債務的問題。因此，將養老服務項目與PPP相結合將可以更好地解決這一問題。在PPP項目運作過程中，特許期的優化決策是一個項目成功運行的關鍵，文章從實物期權的角度去分析PPP特許期決策問題，并運用二叉樹定價的方法為實物期權定價，最后將定價分析模型應用于具體PPP案例，驗證其可行性。為PPP項目更有效的決策提供一定的借鑒作用。

關鍵詞：實物期權 二叉樹 PPP特許期 養老服務

中圖分類號：F062.6? 文獻標識碼：A

文章編號：1004-4914（2021）04-061-02

一、引言

進入21世紀以來，我國的老齡化問題越來越嚴重，雖然目前大部分老人還更傾向于居家養老的方式，但由于不僅會加重家庭負擔，而且也與老人對高質量的服務要求相沖突，因此，機構養老將變成未來的趨勢，然而目前我國養老服務的供給與需求呈現出明顯的不平衡，在該背景下，養老服務結合PPP模式成為一個可行的解決方案。據財政部政府與社會資本合作中心數據顯示，截至目前，在PPP項目庫中，養老服務項目雖然近年來有所增加，但占比還比較少。

在PPP項目模式的發展過程中，之前由于項目風險分擔、投資決策不合理造成很多項目被迫中途停止。PPP項目特許期的設計是能否得以實施的關鍵所在。很多學者在PPP特許期決策方面做了大量研究。李啟明等（2000）最早在傳統凈現值法的基礎上提出了項目特許期的數量決策模型，這一方法雖操作簡單，但它將不確定性全部視為風險，忽略了投資的不確定性對項目的潛在價值。目前還有很多學者運用實物期權和博弈論的方法對特許權期決策進行研究。其中史翔等（2014）將實物期權價值的分配納入決策過程，結合博弈論計算PPP項目特許期。馮永洲（2017）利用蒙特卡羅模擬將實物期權價值定量化，構建基于實物期權的PPP項目特許權期決策模型。吳凡、曾穎妍（2020）基于討價還價博弈理論和實物期權理論為政府補貼決策做出科學設計。但在PPP養老服務中基于實物期權運用二叉樹進行定價的研究很少，因此，本文擬運用二叉樹實物期權的方法研究PPP特許期問題。

二、二叉樹實物期權理論分析

實物期權的概念來源于金融期權，與金融期權最大的區別就是以實物資產作為標的物來設計資產未來的選擇權。最主要的應用領域就是實物資產投資決策的分析。二叉樹定價方法是期權定價的方法之一。一般適用于間斷性分階段期權的定價。該模型假設當前T0時刻標的資產的價格為S，基于該標的資產某個期權的價值為f，期權的有效期為T，在這一期間內，標的資產的價格要么上升到Su，要么下降到Sd（u>1，d<1），當標的資產價格上升到Su時，假設期權的回報為fu，如果標的資產的價格下降到Sd時，期權的回報為fd。如圖所示：

其中，u和d的確定取決于標的資產價格變動的波動率σ，以及時間△t，u=e。在風險中性世界中，假設標的資產上升的概率為P，由于標的資產未來期望值按無風險利率貼現的現值必須等于該標的資產目前的價格，因此，該概率可通過下式求得：S=Sup+Sd（1-p）]。即P=，求出了風險中性概率后，期權價格就等于f=，其中r為無風險利率。

三、實物期權特許期決策模型設定

目前，在已有的研究和實踐中，應用最廣的投資決策方法為NPV凈現值法。該方法的基本模型為：NP1，2，3…t。

其中，I為項目初始投資額，S政府第i年支付給項目公司的補貼額，C第i期現金流入，COi為第i期現金流出，r為折現率。令NPV大于等于0，即NPV=算出特許期t即可。然而這一方法忽略了未來項目的不確定性所帶來的潛在價值，可能會影響項目更科學準確的決策。因此，在此基礎上引出實物期權決策法。假設在每一個項目中都包含一個或多個實物期權，將NPV加上項目中含有實物期權的價值即為總投資價值。等于NPV+opt≥0。求出特許期t。

按照不同的標準、不同的分類方式對實物期權進行分類會得到不同的結果。Trigeorgis（1993）將實物期權分為增長期權、擔保期權、放棄期權、延遲期權、轉換期權、分階段投資期權、規模變動期權和復合期權等類別。

養老服務PPP項目經營的主要收入來源為床位費和其他配套服務費，成本主要為運營維護和人力成本。當營業收入不能彌補建設成本和維護成本時，為了使其能繼續經營下去，政府必須要給與可行性補助。這意味從投資者的角度來看相當于持有一種擔保期權。而背書人是政府，基于養老服務項目的經營特點，本文僅從擔保期權的角度計算特許期。將政府的補貼分為固定補貼和變動補貼。變動補貼主要因為不確定性存在。

四、算例分析

某養老院PPP項目，項目采用建設——運營——移交（BOT）模式運作。建設總用地面積47301m2，合作期限30年，其中建設期2年，運營期28年。項目總投資22000萬元，其中社會資本投資17700萬元，政府投資4300萬元，折現率選取當年無風險國債利率為4.7%，投資回報率為6.35%。

擔保期權的存在，主要是因為對未來經營收入的不確定性所引起的，若未來項目的收益小于設定的經營下限，則政府就要給予項目公司補貼，補貼的額度為兩者差額，PPP協議中規定如果經營達不到社會資本所設定的投資回報率，對社會資本將起不到激勵作用，因此，實際回報額與預期回報率的差額由政府來承擔，但為了滿足一定的社會效益，政府機構也要限制社會資本防止其取得暴利。基于同類養老機構的運營情況，在PPP協議中已經設置每年大概的可變補貼額，即按照當年入住老年人數，每人每年600元為最低補貼下限，但如果實際入住人數超出測算額，則按實際入住人數給予補貼，同時經營成本按占運營收入的比例計算，如果超出這一范圍由政府給予補償，基于每年入住率的不確定性，假設在原本測算的基礎上，每年的入住人數的波動率為20%，運用二叉樹計算期權價值，以一年為分割期限。第一年的收益為990萬元，第一年的運營成本為594萬元，則△t=1。故可以算出參數u=1.22，d=0.82，P=0.575。運用倒推法從二叉樹末端計算期初期權的價值，即經營的第一期的擔保期權價值為108.16萬元，運營成本擔保期權價值為71.38萬元，如下圖所示：

則第一期的擔保期權價值Vopt=108.16+71.38=179.54萬元。以此類推，可以計算出每一年的期權價值Vopt。從而計算出基于擔保期權價值的項目總價值V，因版面限制僅顯示第20～30期的結果。結果如表1所示。

由表1可知，基于固定補貼的累計凈現值NPVi在特許期第29年為643.16萬元>0，因此29年為不考慮潛在價值時的投資回收期，而考慮擔保期權價值后，項目總價值在第27年即可達到196.87萬元>0，因此在考慮項目的潛在價值后，項目的投資回收期比原來的測算期限縮短，政府可以較早收回投資項目，防止社會資本出現暴利，有利于實現社會效益的最大化。

五、結語

本文從傳統的投資決策模型NPV方法出發，基于NPV方法忽略了項目潛在價值的不足之處，構建加入實物期權的項目特許期決策模型，并運用實際案例養老服務PPP項目具體分析模型的適用性，根據實際情況識別項目中所包含的實物期權，發掘項目存在的潛在價值，最后用二叉樹定價方法求出實物期權的解，計算出加入實物期權后該項目的特許權期，發現考慮實物期權后，項目的潛在投資價值提高，而政府與社會資本合作的特許經營期便縮短，這有利于提早將PPP項目經營權移交給政府，實現最大社會效益。

本文雖然得出加入實物期權后可以縮短項目的特許權期，但仍存在一些不足之處，在識別項目的實物期權時，僅僅考慮擔保期權價值，在實際情況中還包含更為復雜的實物期權，因此，在以后的研究中還有待努力。

參考文獻：

[1] 李啟明，申立銀.基礎設施BOT項目特許權期的決策模型[J].管理工程學報，2000（1）

[2] 史翔.基于期權博弈的PPP項目特許期決策研究[D].西南交通大學，2014

[3] 馮永洲.基于實物期權的PPP項目特許權期決策研究[D].武漢大學，2017

[4] 吳凡，曾穎妍.基于博弈視角和實物期權理論的養老機構PPP項目運營補貼機制研究[J].管理工程學報，2020（5）

[5] Trigeorgis L.Real Option and Interactions with Financial Flexibility[J].Financial Management.1993（3）

[6] 鄭振龍，陳蓉.金融工程[M].高等教育出版社，2016

（作者單位：云南師范大學經濟與管理學院 云南昆明 650500）

[作者簡介：司文雅，云南師范大學經濟與管理學院金融學碩士，研究方向：公司金融;者貴昌，通訊作者，云南師范大學經濟與管理學院教授，研究方向：金融學、國際經濟與貿易。]（責編：賈偉）