關于數學幾何代數的整合教學研究

張麗娜

摘 要：中學的數學是區別于小學的數學體系的，它涉及到了更多新鮮的知識和概念。其中重點突出的兩大類學習便是幾何與代數。它們看似互相平行的兩條學習脈絡，實則是相互交叉的兩條紐帶，潛藏著深厚的關系。教學中需要整合兩者之間的內容開展有針對性的授課，幫助學生們更好的理解和應用其中的知識。

關鍵詞：中學數學;幾何代數;整合教學

中學階段的學生對于新鮮的知識是充滿好奇心理的，在面對中學數學中的幾何和代數學習時是激動和緊張的。教師如果想讓學生們明白兩者之間是是息息相關的，首先要把兩者的內涵意義梳理清楚，前者是用空間圖形的方式凸顯直觀性，后者是通過思維的分析凸顯數量之間的關系。在此基礎之上融合更多的教學情景來進行綜合教學，以給學生們以正確的方向性指導，進而讓學生們熟知在實際的學習和解題中，往往是交換使用這兩種方式作為解析題目的工具。以鮮明的幾何背景和清晰的代數邏輯來進行靈活的轉變，才能讓問題更加輕松的得到正確答案。

一、幾何、代數的分類與聯系

（一）幾何與代數分別是在數學中分支出來的兩類學科，兩者在中學數學中的重要性處于同等的地位，也是最基礎的知識體系。其中，最早的幾何是平面幾何，平面幾何是研究平面上的直線和二次曲線的幾何結構和度量屬性（面積，長度，角度）。平面幾何采用公理化方法，在數學思想史上具有重要意義。后來平面幾何的內容也很自然地過渡到了三維空間的立體幾何。為了計算體積和面積問題，人們實際上已經開始涉及微積分的最初概念。中學階段的教學重心還是集中在對于平面幾何的的學習和研究上。

（二）代數是研究數、數量、關系、結構與代數方程（組）的通用解法及其性質的數學分支。初等代數一般是在中學階段涉及講解，此過程中主要是從介紹代數的基本思想開始，即研究當我們對數字作加法或乘法時會發生什么，以及了解變量的概念和如何建立多項式并找出它們的根。代數的研究對象不僅是數字，而是各種抽象化的結構。在其中我們只關心各種關系及其性質，而對于“數本身是什么”這樣的問題并不關心。傳統的代數用有字符（變量）的表達式進行算術運算，字符代表未知數或未定數。如果不包括除法（用整數除除外），則每一個表達式都是一個含有理系數的多項式。例如：1/2x*y+1/4z-3x+2/3.一個代數方程式，是通過使多項式等于零來表示對變量所加的條件。如果只有一個變量，那么滿足這一方程式的將是一定數量的實數或復數，也就是它的根。

（三）在笛卡爾引進坐標系后，代數與幾何的關系變得明朗、且更加緊密起來，這就促使解析幾何的產生。解析幾何是由笛卡爾、費馬分別獨立創建的，這又是一次具有里程碑意義的事件。從解析幾何的觀點出發，幾何圖形的性質可以歸結為方程的分析性質和代數性質。幾何圖形的分類問題，也就轉化為方程的代數特征分類的問題，即尋找代數不變量的問題。立體幾何歸結為三維空間解析幾何的研究范疇，從而研究二次曲面的幾何分類問題，就歸結為研究代數學中二次型的不變量問題。這兩者之間理念與解題過程的結合與轉化自然是促使了在教學中的整合。當然，中學階段所面臨的問題不會那么深奧和復雜，但是，很多教師常常分離代數和幾何學的知識，學生會抱有“代數知識和幾何學知識的關系不密切”的想法。如果無法整合幾何學相關知識，學生無法充分學習數學知識系統，無法深入理解很多抽象的代數知識。所以在教師的教學實踐中的關鍵是培養學生在這種整合中的思維方式，鍛煉其邏輯推理能力，也是方便學生順利、快捷的解析題目的問題。

二、幾何代數的整合教學

（一）以數思形

著名數學家、數學教育家G·波利亞在《怎樣解題》一書中說道：“不斷地變換你的問題，……我們必須一再地變換它，重新敘述它，變換它，直到最后成功地找到有用的東西為止。”當遇到幾何圖形問題的時候，可以從中分析出相應的數量關系來思考圖形中蘊藏的規律。把一些幾何題轉化為代數題來解，可達到簡便、快捷解題的目的，用代數方法研究幾何圖形，可以表達其中復雜的數量關系，這種轉化的常用方法有多種，例如用函數分析線段變化，某些代數問題，巧妙地運用幾何方法來解證，不但解題思路清晰，而且運算量大大減少，盡管有時代數式的意義不易說清，但它可溝通兒何與代數、三角之間的關系，活躍解題思路，激發學習興趣，使老師的教學和學生的的學習變得輕松而愉悅。筆者更想說的是，教師在教學中積極的采取幾何與代數之間的整合教學可以把數學題目靈活化，給了學生更寬闊的視野，讓他們可以透過表象看到問題的本質，從而適度的轉變途徑，幫助自己找到更為恰當、便捷的解題方法。

代數與幾何綜合題涉及代數與幾何兩大學科的知識，并且幾何與代數綜合題是將幾何知識與代數知識相結合的一類題目，最常見的題目是以方程的思想方法去解證圖形中各元素的位置關系，以及長度、角度、面積等的數量關系問題。此類問題的解決，是對中學階段數學教與學中的數學思想和數學方法掌握、運用的考察，想要學生學會解決此類題目，就需要教師將綜合法、分析法等思維方法交叉、反復地傳輸給學生，在此過程中需要數學老師帶領學生深刻剖析題意，特別是題中的隱含條件。所以，要讓學生始終參加審題、分析題意、列方程、解方程等活動，了解列方程解應用題的實際意義和解題方法及優越性，這其中審題應是最為關鍵的一環。要想法弄清題意，找出能夠表示應用題全部含義的一個相等關系。找不出相等關系，方程就列不出來，而找出這樣的等量關系后，將其中涉及的待求的某個數設為未知數，其余的量用已知數或含有已知數與未知數的代數式表示出來，方程就列出來了。要教會學生通過閱讀題目、理解題意、進而找出等量關系、列出方程解決問題的方法，使之形成“觀察—分析—歸納”的良好習慣，這對于整個數學的學習都是至關重要的。另外，在教學中還要告訴學生，有些問題用算術法解決是不方便的，只有用代數解法。對于某些典型題目在幫助學生用代數方法解出后，同時與算術解法作比較，使學生有個更清晰的認識，從而逐漸摒棄用算術解法做應用題的思維習慣。

（二）以形畫數

通常我們在教學中用代數知識解決幾何問題較多，用幾何知識解決代數問題涉及較少，下面就重點舉幾個用幾何圖形解決代數問題以滲透數形結合思想的實例，以供各位同仁參考研究。例如：A和B兩個人在周長是500米的圓形跑道上訓練跑步。條件一：B跑步的速度比A快，條件二;兩個人同時間、同地點出發;條件三：兩個人相背而行。發現他們每間隔55s就可以相遇一次;而把條件三改成兩人同向出發的時候，發現他們兩個人是每間隔2’20s相遇一次。在這樣的情況下，題目讓學生求解A和B跑步的平均速度是多少。求甲、乙兩人騎車的平均速度。當遇到這種問題的時候，學生一時間是有點混亂和沒有思路的。這個時候僅靠條件中給出的數量關系，很難找到解決的辦法，基本不知道從何處入手去分析，去搭建兩者之間的關系。好似沒有相等的數量和相差的距離一樣。此時教師要正確的引導學生從代數的包圍圈中跳出來，聯系幾何的知識，采用數形結合的方法，創造思路，動一下紙筆畫出圓形，動一動腦筋，發揮想象力，假設一下當時的情景，描刻出兩人的運動畫面。用筆尖和手指的動作代替他們的出發方向和速度，把抽象的事物直觀化了，這樣也就把看似復雜的問題簡單化了，很容易就能分析出前一個條件三，是相向行駛后在共同跑滿一圈的時候發生相遇的問題，兩人的路程和就是圓形的周長，而后一個條件三是追及問題并在第二圈的時候發生的相遇，說明跑的快的比跑的慢的多跑了一整圈，也就是說B比A多跑了一整圈，即500米。這樣就可以從兩點在圖形的變化中，輕而易舉得出數量關系和列方程的算式了。

再比如，對于運算結果來說，計算的結果可不能像小學那樣單一、簡略了。如|b|，其代表的數值結果就應分三種情況討論。這一變化，對于中學生來說是比較難接受的，代數式的運算對他們而言是個全新的問題，要正確解決這一難點，必須非常注重，要使學生在正確理解有理數概念的基礎上，掌握有理數的運算法則。對運算法則理解越深，運算才能掌握得越好。所以在處理上要注意設置適當的梯度，逐步加深。有理數的四則運算最終要歸結為非負數的運算，因此“絕對值”概念應該是我們教學中必須抓住的關鍵點。而定義絕對值又要用到“互為相反數”的概念，這時候教師在教學中就要引入“數軸”的概念了，這樣代數與圖形之間的隔閡就不攻自破，自然的相互融合了，從這一點中利用的是畫出數軸來解釋數與數之間的內在關系。這一整合過程強調了圖形的直觀性，從穩妥和清晰的概念中讓學生對于絕對值、正負數等關系逐漸地有了深刻的體會與理解。在通過相應題型的鞏固練習就能很輕松的掌握和總結到其中的科學的內在道理了。學生在小學中的計算光是直白的一個結果就滿足了，但是到了初一年級的學生為了正確理解算法，避免計算錯誤，不僅要考慮正確答案，還要在所有的計算步驟中尋找合適的方法，靈活的運用所學過的知識，以便更快捷的得出答案，并且通過思考其中的科學性質而確保得到更準確、更具體和更全面的結果，此類題目具有題型多樣、內容廣泛、方法靈活的特點，一般沒有固定的模式可循。只有將代數和幾何諸方面的知識融會貫通，并且具備了扎實的解題基本功，掌握了多種解題方法和技巧，才能全面、清晰、準確、嚴謹地解答好此類題目。

說到底，幾何與代數的整合教學就是數形結合的思想培養和靈活應用，它是解數學題中的一個重要策略，就是通過數與形之間的相互轉化來解決數學問題，利用它可以使復雜問題簡單化，抽象問題具體化。著名的數學家華羅庚教授曾說過：“數缺形時少直觀，形缺數時難入微。”因此，教師要逐步整合兩者之間的教學，讓學生們真正有了幾何和代數的相關觀念之后，可以從簡單的思路中啟發學生，在實際運用中形成一種巧妙的結合，使得學生在數形結合中形成更嚴謹的態度并養成更認真多面考慮問題的習慣。

參考文獻

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