應用幾何畫板進行立體幾何的探究

歐賀宏

摘 要：本文是由一道截面問題的立幾題引出，運用幾何畫板探究并發現了一個普遍的結論：所有平行于平行六面體底面對角線的截面中，當截面經過側棱中點時，所得截面面積最大。

關鍵詞：正方體;長方體;平行六面體;截面;棱中點;移動點

立體幾何要求學生具備較強的空間感和想象能力，尤其當立幾中出現“動態”問題時，就更為復雜;利用幾何畫板，通過動靜結合的交互演示，不但可以使立幾學起來變得更直觀，而且還可以探究疑難問題。

一、問題初探：一道立幾題的啟示

首先，我們來看一道經常出現在高中數學中的立幾題：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求在所有平行于平面ACD1的截面中，截面面積何時最大？

解：如圖1，當截面交于DD1邊時，可知截面為一正三角形，此時顯然△MNP的面積比△AD1C的面積小。當截面交于邊BB1時，此時，截得的平面圖形為一正三角形，且其面積比△AD1C面積小。當截面交于AA1時，截面為一六邊形，下面來求其面積.

設ED1=a，AA1=L，可求得EJ=FG=IH=a，

EF=IJ=HJ=（L-a）

圖1如圖2，作出其平面圖形，易證得EF與JI

所成角為60°，△EOJ≌△ENJ≌△FLG，

四邊形LGHI為平行四邊形

∴S六邊形EJIHGF=S△OFI+S平行四邊形LGHI=（L）2+

（L-a）×a=

∴當a=時，有Smax=L2，即當點F為棱AA1的中點時，截得的平面圖形的面積最大。

所以，在正方體中，所有平行于體對角面的截面中，當截在棱的中點處時，所得的截面面積最大。

二、問題的進一步探究：

猜想1：在正方體中能得出這樣的結論，那么在長方體中是否也有這樣的結論？

下面，筆者利用幾何畫板作為研究工具來探討這一猜想：

如圖3，當截面截于棱DD1，BB1時，截面為三角形，顯然面積不是最大。

可以用幾何畫板來討論截面截于棱AA1時的面積，下面是操作過程：

（1）利用幾何畫板作出一長方體，連接D一、，AC，CD1，A1C1，C1B

（2）在棱AA1上任取一點F，過F作FG∥A1B交AB于G，過G作GH∥AC交BC于H，過H作HM∥BC1交CC1于M，過M作MN∥CD1交C1D1于N，過N作NE∥A1C1交A1D1于E，連EF，并且隱藏直線FG，GH，HM，MN，EN，并用線段分別連結E，F，G，H，M，N，E點，通過計算出六邊形各邊的長度和各個夾角，作出一個正對著的六邊形O1O2O3O4O5O6

（3）AA1取的中點O，并作出由F→O的移動按鈕。

拖動F點，使截面位置不斷變化，截得的圖形非常直觀，我們容易發現六邊形面積顯然大于三角形ACD1的面積，在拖動F點的過程中，當F向O點靠近時，六邊形面積變大，到O點時面積最大，而這時的面積與雙擊移動按鈕所得的六邊形面積一樣大。（證明見平行六面體的證明）

猜想2：在一般平行六面體中的情況又是怎樣呢？

我們同樣借助幾何畫板來研究。作法同上：拖動F點觀察六邊形的面積變化，可以看出當F在Q點時面積最大，此時的面積與雙擊按鈕時多邊形的面積相等.

證明：如圖5，設D1K=x，A1D1=a，AD1=m，CD1=n，AA1=c，A1B1=b，∠OQP=φ，A1K=a-x，由△A1KE∽△A1D一、得，EK=（a-x），由△A1KE∽△D1KQ得QK=。同理，利用相似三角形知識可求得：QK=EO=HG=，QI=EF=HP=，EA=HC=QD1=，OQ=m（1+），PQ=n（1+），

當截面截于AA1時：

S（X）=

當截于DD1或BB1時：S（x）=mt·ntsinφ，t為一比例系數0≤t≤1

∴當，即x=a時，有S（X）max=

同樣，在平行六面體中，用平行于體對角面的平面去截平行六面體，當截面經過棱的中點時，所得的截面圖形的面積最大。

三、問題的深入探討：

猜想3：若截面平行于底面對角線時，情況又是怎樣？

作法：

①.如圖6，作出平行六面體ABCD-A1B1C1D1，并且有的線段要用直線代替，在棱AA1上取一點F，在棱DD1上取一點I。

②.仿上例作出一平行于面A1C1I的截面FGHJKE。

③.拖動F點，作出不同的截面XYZ，截面EFXJK，截面FGHJKE，截面RFGHJ，截面RSW，并且作出其多邊形內部，并用不同的顏色涂色，選中R、F、S、G，作其多邊形內部，并涂色。

④.度量出上面的多邊形的面積，取AA1的中點V，作一由F→V的移動按鈕。

拖動F點，可以發現當V與F重合時面積最大;變化I點的位置，再拖動F點會出現截面是平行四邊形RFSJ的情況，同樣是在中點處的截面面積最大。同時筆者進一步發現，無論F如何變化，平行四邊形RFSJ的大小形狀一直保持不變，可以看出所求的截面面積，就是平行四邊形RFSJ夾在平行六面體ABCD-A1B1C1D1內部的面積，下面筆者利用這一發現來證明之。

證明：如圖7，由于上下底面的距離不變，所以EK與GH之間的距離不變，

設RP=m，EK=a，FJ=b，RC=h，OB=n，則m+n=C（常數），由三角形相似可知OB=a，

∴S（X）=S平行四邊形RFOJ-（S△REK+S△OHG）=bh-（ma+an）

=bh-a（m+）=bh-a≤bh-=bh-，

當且僅當m=n時，等號成立時，即R、O分別到上下底面的距離相等，此時點F為AA1的中點.

∴當c≠0時，截面為五邊形或六邊形，S（x）=bh-;截面為三角形時，S（X）=t·bh（0≤t≤）。

當c=0時，截面為平形四邊形，S（X）=bh.，此時點F在一段以V為中點的線段上移動均可得到一完整的平形四邊形，面積最大。

以上就是筆者運用幾何畫板得出的結論：所有平行于平行六面體底面對角線的截面中，當截面經過側棱中點時，所得截面面積最大。

參考文獻

[1]幾何畫板（軟件），3.05版.人民教育出版社，1996.

[2]幾何畫板參考手冊.全國中小學計算機教育研究中心，1998，10.

[3]戴佳珉、蔡綸.中學數學CAI教學軟件的現狀與思考.數學通報，1997，1.

[4]陶維林.學習《幾何畫板》積極開展數學CAI的研究.數學通報，2000，4.