巧用分類思想來解決面積重合問題

摘 要：初中數學教學中，要幫助學生學會利用八種分類方法計算面積重合問題.在“數學模型→繪出圖形→文字描述→符號表達”抽象化的一系列過程中，提高學生順向、逆向相互轉化的思維能力，讓學生立足于基礎知識，加強知識間橫向與縱向、內在與外在、具象與抽象之間的聯系.

關鍵詞：分類計算;圖形運動

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2021）11-0002-02

作者簡介：侯坤明（1980.4-），男，江蘇省灌云人，本科，中學一級教師，從事中學數學教學研究.

幾何圖形的運動變化問題一直以來都是中考命題專家青睞的熱點，這一類題目在編寫時都不同程度上體現出基本圖形、基本概念來源于現實生活，將現實生活中的一些問題抽象化得到.這類題型注重培養學生良好的觀察、操作、想象、討論、交流等學習習慣，學生在吸收知識的同時更能夠領悟其中蘊含的基本數學思想，并通過適度的提煉和總結，使之能對認識能力、理解能力和應用能力起到指導作用，更好的理解數學實質，初步獲得數學思維能力.

筆者在給學生講解蘇教版八年級下學期第95頁的第22題時，受到了一些啟發.原題如下：

如圖1，正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，正方形A′B′C′D′的頂點A′與點O重合，將正方形A′B′C′D′繞點A′旋轉，在這個過程中，這兩個正方形重合部分的面積會發生變化嗎？證明你的結論.

我們將上題中的兩個正方形都變為：

邊長為6的相同正方形，按如圖2所示方式放置，右邊正方形EFGH是水平放置的，其中∠BCF=45°，C是EF的中點（左邊正方形的右邊頂點與右邊正方形的邊所在的中點重合），同時令左邊正方形水平向右按每秒鐘一個單位長度平移，右邊正方形EFGH固定不動.請你嘗試解決以下問題：

（1）在運動過程中BC與FG的夾角等于度;

（2）當t=2時，求正方形ABCD余下的面積;

（3）請你計算從左邊正方形ABCD開始進入直至完全穿過并離開右邊正方形EFGH時，兩正方形重合部分的面積s與運動時間t（初始狀態時t=0秒）之間的函數關系，并求出對應的t的取值范圍.

（4）在（3）的情況下有無重合面積的最大值，若有請求出來;若沒有，請說明理由.

解 （1）45°（135°）;（2）32;

（3）（ⅰ）分析：首先呈現移動變化過程中的關鍵位置的系列圖，然后根據重合部分形成的多邊形的邊數劃分為八種不同的情況.每一種情況分別分為兩個狀態圖，即進行狀態和結束時的臨界狀態，并分別計算此種情況下它們重合部分的面積與運動時間t（初始狀態時t=0秒）之間的函數關系.

從第一種情形到第八種情形的解答全部過程，明確的反映出了從正方形ABCD開始進入直至完全穿過并離開正方形EFGH時，兩正方形重合部分的面積與運動時間t（初始狀態時t=0秒）之間的函數關系.從上述圖形的運動過程可以看出，重疊部分的圖形經歷了三角形→五邊形→七邊形→八邊形→七邊形→五邊形→三角形這一循環往復過程，但重合部分的面積表達式卻截然不同，其中原因是時間t的取值變化之后，重合部分的面積求法就大相徑庭，不能用前面相同圖形的面積隨意代替后面的.在計算每一種情況下圖形的面積時，需要把不規則的圖形切割成規則的圖形，計算雖然困難，但只要抓住正方形的邊長a、對角線2a始終保持不變以及運動時間t，靈活應用直角三角形的性質、函數思想等知識，就能較快的計算出重合部分的面積.

參考文獻：

[1]駱奧，李雪.淺談體育教學中小組長的作用[J].群文天地，2010（006）：167-168.

[2]張國華.捧著一顆心來 不帶半根草去——人民教育家陶行知[M].吉林：吉林人民出版社，2011：56-60.

[3]楊裕前，董林偉.數學 八年級下冊[M].南京：江蘇科學技術出版社，2013：6-10.

[責任編輯：李 璟]