淺談“有余數(shù)除法”在解決小學(xué)數(shù)學(xué)問題中的作用

李國左

摘要：除法是我們小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中必可少的運算之一，而小學(xué)數(shù)學(xué)的“有余數(shù)除法”是除法中最特別的存在，“有余數(shù)除法”具有非常強的隱蔽性，但是對學(xué)生去解決數(shù)學(xué)經(jīng)典問題又是極其的重要。

關(guān)鍵詞：有余數(shù)除法 格子游戲 抽屜原理 中國剩余定理

緣起：聽了學(xué)校數(shù)學(xué)邱老師上了一節(jié)四年級《劃格子游戲》的課和自己上了一節(jié)六年級《抽屜原理》的課后，引發(fā)一些思考：這兩節(jié)課最后都有用到“有余數(shù)除法”，而且采用“有余數(shù)除法”去解決這類數(shù)學(xué)問題，會使題目變得更加簡單、易懂。這個起因促使本人去后思考：“有余數(shù)除法”在解決小學(xué)數(shù)學(xué)問題中有何作用？下面本人將從以下四點來論述：

一、什么是“有余數(shù)除法”

除法是我們小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中必可少的運算之一，小學(xué)數(shù)學(xué)的“有余數(shù)除法”是除法中最特別的存在，“有余數(shù)除法”具有非常強的隱蔽性，但是對學(xué)生去解決數(shù)學(xué)經(jīng)典問題是極其重要的，我們把一個整數(shù)除以另一個不為0的整數(shù)，得到整數(shù)的商以后還有余數(shù)，這樣的除法叫做“有余數(shù)除法”。 余數(shù)要比除數(shù)小。如：19÷3 = 6……1“有余數(shù)除法”各部分間的關(guān)系是： 被除數(shù)÷除數(shù)=商+余數(shù) 如：19÷3 = 6……1。

二、用“有余數(shù)除法”解決一般數(shù)學(xué)問題，

現(xiàn)在人教版的教材把“有余數(shù)除法”安排在二年級表內(nèi)除法之后學(xué)習(xí)，這是有道理的，因為“有余數(shù)除法”是表內(nèi)除法知識的延伸和拓展，在教材內(nèi)容的安排上，注重結(jié)合具體的情境，將“有余數(shù)除法”的意義內(nèi)容置于實際生活的背景之下，“有余數(shù)除法”也是以表內(nèi)除法知識作為基礎(chǔ)來進行學(xué)習(xí)的。

除數(shù)是一位數(shù)的“有余數(shù)除法”，是學(xué)生在小學(xué)當(dāng)中第一次去接觸到，在表內(nèi)除法基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)“有余數(shù)除法”， 它可以解決各類數(shù)學(xué)問題。

例1：學(xué)校有51本數(shù)學(xué)趣味書，每個班借6本，可以借給幾個班？還剩幾本？

51÷6=8（個）……4（本）

除數(shù)是兩位數(shù)的“有余數(shù)除法”，是小學(xué)四年級數(shù)學(xué)上冊的內(nèi)容，進步解決生活當(dāng)中的數(shù)學(xué)問題，以上這些數(shù)學(xué)問題，學(xué)生是可以預(yù)見的，懂得運用“有余數(shù)除法”去解決。

例2：農(nóng)民伯伯要356運噸糧食，一輛卡車每次可以運15噸，至少要多少輛卡車才能一次把這些糧食全部運完？

356÷15=23（次）......11（噸）

23+1=24（次）

三、“有余除法”在數(shù)學(xué)經(jīng)典問題中的妙用

1.經(jīng)典問題1——劃格子游戲

在人教版《數(shù)學(xué)四年級上冊》，第八單元數(shù)學(xué)廣角——優(yōu)化中，有一個格子游戲的數(shù)學(xué)問題，我們表面上看是優(yōu)化策略的問題之一，但是如果我們深入去探討其中的數(shù)學(xué)奧秘，就可以發(fā)現(xiàn)這個劃格子游戲，它的最優(yōu)化的解決策略就是利用“有余數(shù)除法”去解題。

例：紙上有20個格子，甲乙兩人輪流劃格子，每次可劃的格子數(shù)為1個或2個。誰最后把格子全劃完了，誰就是游戲的勝利者。若甲先劃，他應(yīng)采用什么策略？

解決這個劃格子問題，有多種數(shù)學(xué)方法：

（一）、逆推法

20-3-3-3-3-3-3=2（個）

甲必須在第一次劃走多余的2格子，接下來甲每個回合和乙劃的格子數(shù)和為3，他就必勝。

（二）、歸納法：

①當(dāng)格子有1-2個，甲先劃，甲可以一次劃完，甲勝。

②當(dāng)格子有3個時，則甲不能一次劃完，乙勝。

③當(dāng)格子有4～6個時，甲先取后總可以給乙剩3格子，甲勝。

………

（三）、有余數(shù)除法

總數(shù)是20格子，甲先劃走20÷3=6（組）…2（個）的余數(shù)2個，再用配對法和乙一起劃格子，甲必勝。我們可以知道劃格子游戲甲制勝策略的兩個可能：

總數(shù)÷（所格子最大數(shù)與最小數(shù)的和）=商+余數(shù)（有余數(shù)則甲先劃，甲必勝）

總數(shù)÷（所劃格子最大數(shù)與最小數(shù)的和）=商 （沒有余數(shù)則乙先劃，甲必勝）

通過以上三種方法的對比教學(xué)，我們發(fā)現(xiàn)逆推法和存在一定的局限性，它不能解決總數(shù)是大數(shù)的問題，如果要劃2017個格子游戲問題，用逆推法解決這個數(shù)學(xué)問題，就無法操作了，歸納法也同樣存在這個問題，而“有余數(shù)除法”妙就妙在可以解決總數(shù)是大數(shù)的問題，它能使問題變得簡單的，且只有“有余數(shù)除法”才沒有這樣的局限性，

2.經(jīng)典問題2——抽屜原理

“ 抽屜原理”又稱“鴿籠原理”，最先是由19世紀(jì)的德國數(shù)學(xué)家狄里克雷提出來的，所以又稱“狄里克雷原理”。抽屜原理即把多于m個物品放到 m個抽屜里，至少有一個抽屜里的物品兩個或兩個以上。

例：如果把8本書放進3個抽屜，會出現(xiàn)怎樣的結(jié)論呢？

這節(jié)課我通過枚舉法、假設(shè)法、有余數(shù)除法去解決抽屜問題，枚舉法要一一的描述各種情況，太繁瑣，假設(shè)法，可以體現(xiàn)它的唯一性，但是就沒有一般性了，最后我們總結(jié)得到，可巧妙的利用“有余除法解決”解決本例中的問題，得出：物體數(shù)÷抽屜數(shù)=商數(shù)……余數(shù)，至少數(shù)=商數(shù)+1 ，我們還得到抽屜里至少有“商+1”個物體的公式，也可以用字母“a÷n=b......c，總有一個抽屜至少可以放（ b+1）個物體”的抽象形式來描述。我們進而知道了用“有余除法”可以解決數(shù)學(xué)中的經(jīng)典問題。

總之“有余數(shù)除法”在小學(xué)數(shù)學(xué)中是非常重要的知識點。我們不能忽略它，雖然它具有隱蔽性，跳躍性，但是它也是由易到難的，從小學(xué)二年級開始我們已經(jīng)接觸它，跳過三年級，在四年級時和整數(shù)除法如影隨行，五年級又與小數(shù)除法關(guān)系密切，到了六年級的“抽屜原理”，順理成章的來到你面前，你可要有所準(zhǔn)備和思考！

參考文獻：

[1]黃忠裕著.初等數(shù)學(xué)建模/黃忠裕著.四川大學(xué)出版社， 2004.12

[2]潘承洞.初等數(shù)論.北京大學(xué)出版社，2013.1

[3]小學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.四年級上冊教師教學(xué)用書.人民教育出版社，2014.6