探秘“彭羅斯特征數(shù)”

林革

如果我說(shuō)2020年是一個(gè)非比尋常的年份，那么一定能得到大家的認(rèn)可. 盡管?chē)?guó)際風(fēng)云變幻、疫情來(lái)襲，但絲毫不影響我國(guó)既定目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)——2020年全面建成小康社會(huì).

而在數(shù)學(xué)家眼中，2020是一個(gè)內(nèi)有玄機(jī)的特征數(shù)：首位數(shù)字2表示此數(shù)中有2個(gè)0，第二位數(shù)字0表示有0個(gè)1，第三位數(shù)字2表示有2個(gè)2，第四位數(shù)字0表示有0個(gè)3. 數(shù)學(xué)界把具備這種特征的數(shù)稱(chēng)為“彭羅斯特征數(shù)”. 最早提出這種奇異特征數(shù)的人是20世紀(jì)英國(guó)數(shù)學(xué)家、牛津大學(xué)教授羅杰·彭羅斯. 他指出：一個(gè)數(shù)的首位數(shù)字表示這個(gè)數(shù)中0的個(gè)數(shù)，而第二、三、四……位數(shù)字分別表示這個(gè)數(shù)中1，2，3…的個(gè)數(shù)，這種數(shù)就叫做特征數(shù). 比如：1210，3 211 000，42 101 000等就是特征數(shù)，大家不妨點(diǎn)數(shù)驗(yàn)證一番. 有趣的是，彭羅斯提出這種特征數(shù)之后，又接著提出一連串相關(guān)的問(wèn)題.

[提出問(wèn)題]

1.這些特征數(shù)中最小的數(shù)是多少？最大的數(shù)是多少？

2.各位特征數(shù)是不是全都存在？

3.所有這種特征數(shù)的總和是多少？

提問(wèn)之后，他隨手在紙條上寫(xiě)下一串?dāng)?shù)字（最后一題的答案），并將這張紙條放進(jìn)一個(gè)錦囊中封存，并宣布將在合適時(shí)機(jī)當(dāng)眾公開(kāi)答案，以辨真?zhèn)? 看得出，這位吊人胃口的老頑童是有備而來(lái)的.

彭羅斯的問(wèn)題引起了眾多專(zhuān)業(yè)人士和數(shù)學(xué)愛(ài)好者的關(guān)注，許多人對(duì)此進(jìn)行探究，并最終揭曉了錦囊中的答案. 原來(lái)，它是一個(gè)多達(dá)14位的“天文數(shù)字”：10 109 876 341 430. 那么，這個(gè)答案從何而來(lái)呢？下面就進(jìn)行具體分析.

[分析問(wèn)題]

【初步檢驗(yàn)】經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)可以確定：一位、兩位、三位的特征數(shù)不存在. 其中的道理很簡(jiǎn)單.

一位數(shù)的首位數(shù)字不能為0，假設(shè)為1，這就表示此數(shù)中有一個(gè)0，但這個(gè)數(shù)是一位數(shù)1，不含0，產(chǎn)生矛盾;

兩位數(shù)的首位數(shù)字不能為0，假設(shè)為1，這就表示此數(shù)中有一個(gè)0，這個(gè)0只能放在第二位上，而第二位上的0表示此數(shù)中1的個(gè)數(shù)，也就是說(shuō)沒(méi)有1，這與首位數(shù)字為1產(chǎn)生矛盾;

三位數(shù)的首位數(shù)字不能為0，假設(shè)為1，這就表示此數(shù)中有一個(gè)0，這個(gè)0只能放在第二位或第三位上，根據(jù)前面的推斷可知，0不能放在第二位上，只能放在第三位上. 因?yàn)榈诙簧系臄?shù)字表示1的個(gè)數(shù)，所以必須填1，這樣一來(lái)就得到110，而此數(shù)中卻含有2個(gè)1，產(chǎn)生矛盾.

在四位數(shù)中，除了上面提及的2020，還有一個(gè)特征數(shù)1210，容易判斷，1210是最小的特征數(shù).

【初步發(fā)現(xiàn)】

（1）n位特征數(shù)中，首位數(shù)字不可能是n. 若首位數(shù)字是n，說(shuō)明后面還有n個(gè)0，這樣一來(lái)，位數(shù)就至少有n + 1位，產(chǎn)生矛盾. 首位數(shù)字也不可能是n - 1. 若首位數(shù)字是n - 1，說(shuō)明后面還有n - 1個(gè)0，再考慮到末尾數(shù)字表示n - 1的個(gè)數(shù)，必須是1，仍導(dǎo)致位數(shù)超過(guò)n，產(chǎn)生矛盾.

（2）把構(gòu)成特征數(shù)的各位數(shù)字相加，剛好就等于位數(shù). 例如：在2020中，2 + 0 + 2 + 0 = 4;在42 101 000中，4 + 2 + 1 + 0 + 1 + 0 + 0 + 0 = 8.

（3）組成特征數(shù)的數(shù)字中，大部分都是0與1，其中2相對(duì)較少，而其他數(shù)字更寥寥無(wú)幾.

【逐個(gè)驗(yàn)證】

在五位數(shù)中（如表1），若它以2為首位數(shù)（意味著此數(shù)有2個(gè)0），則必然要求第三位上的數(shù)字（表示2的個(gè)數(shù)）至少為1;若第三位上的數(shù)字為1，那么第二位上的數(shù)字（表示1的個(gè)數(shù)）也必須填1，這樣就出現(xiàn)了兩個(gè)1，產(chǎn)生矛盾. 唯一的可能是第三位數(shù)字為2，而第二位數(shù)字就只能是1，最后兩位的數(shù)字都是0，所以五位特征數(shù)為21 200.

從中，我們發(fā)現(xiàn)2與1銜接是特征數(shù)最為鮮明的結(jié)構(gòu)特色，而2020是唯一的例外. 由此可以推斷六位特征數(shù)不存在. 因?yàn)榱惶卣鲾?shù)若存在，則首位數(shù)字不會(huì)是6和5，即可能是4，3，2，1.

若首位數(shù)字為4，則表示后面有4個(gè)0，而第五位表示4的個(gè)數(shù)必須填1，這樣得到400 010，4 + 0 + 0 + 0 + 1 + 0 ≠ 6，產(chǎn)生矛盾;

若首位數(shù)字為3，則表示后面有3個(gè)0，而第四位表示3的個(gè)數(shù)必須填1，于是第二位表示1的個(gè)數(shù)必須填1，這樣得到310 100，3 + 1 + 0 + 1 + 0 + 0 ≠ 6，產(chǎn)生矛盾;

剩下兩種情形的否定不再贅述.

【再次發(fā)現(xiàn)】

從七位數(shù)開(kāi)始，研究者發(fā)現(xiàn)了“特征數(shù)”的構(gòu)成規(guī)律：首數(shù)后為21…1000，中間以0湊足數(shù)位.

據(jù)此，可以快速地寫(xiě)出七位、八位、九位、十位、十一位、十二位、十三位特征數(shù)（如表2），可知最大的特征數(shù)為9 210 000 001 000. 把找到的10個(gè)特征數(shù)相加求和，“錦囊”里的答案10 109 876 341 430頓時(shí)浮出水面. 至此，彭羅斯教授的所有問(wèn)題都水落石出.

（作者單位：揚(yáng)州職業(yè)大學(xué)）