構(gòu)造等腰直角三角形

鄒興平

星期三下午第三節(jié)是數(shù)學(xué)活動課，王小明說出最近令他困惑的一道數(shù)學(xué)題：如圖1，四邊形ABCD、四邊形CDEF、四邊形EFHK是邊長相等的正方形，你能求出∠AFB + ∠AHB的度數(shù)嗎？

王小明：我發(fā)現(xiàn)∠AFB和∠AHB都不是特殊角，無法求出度數(shù)，也無法求出這兩個角的和.

王小明希望有人能幫他解答.

這是一個既有趣又具有挑戰(zhàn)性的問題. 經(jīng)過一番激烈的討論后，大家開始陸續(xù)發(fā)表自己的想法.

王子怡：無法求出這兩個角的度數(shù)，并不代表無法求出這兩個角的和. 我用量角器分別量出這兩個角的大小，兩個角的和大約等于45°，于是我猜想結(jié)果應(yīng)該等于45°.

于澤濤：等腰直角三角形的兩個銳角都等于45°，我想到構(gòu)造一個等腰直角三角形，然后將兩個分散的角拼成等腰直角三角形的一個銳角.

劉立瑩：我將∠AFB移到以H為頂點的角上，如圖2，作正方形CMNF和正方形FNPH，連接AM，HM. 易證△ABF ≌ △MCH ≌ △ADM，則∠AFB = ∠3 = ∠1，HM = AM，所以∠AMH = ∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠2 = 90°，即△AMH是等腰直角三角形，因此∠AFB + ∠AHB = ∠3 + ∠AHB = ∠AHM = 45°.

徐麗彤：我將∠AHB移到以F為頂點的角上，如圖3，作正方形MNBR、正方形NPCB、正方形PQFC，連接AM，MF. 易證△ABF ≌ △MNA，△ABH ≌ △MRF. 于是∠AFB = ∠1，AF = AM，∠AHB = ∠3，則∠MAF = ∠1 + ∠2 = ∠AFB + ∠2 = 90°，即△MAF是等腰直角三角形，所以∠AFB + ∠AHB = ∠AFB + ∠3 = ∠AFM = 45°.

老師：首先感謝王小明同學(xué)為大家提供了這么好的一道數(shù)學(xué)題. 通過構(gòu)造等腰直角三角形巧妙求出兩角之和，運用了構(gòu)造圖形法，這是一種重要的數(shù)學(xué)方法. 掌握了構(gòu)造圖形法，你們就擁有了一個解題利器.