“尋規、導據、立本”再談“數形結合”

趙梅

【摘要】教師針對新教授內容的巧妙設計，是對培養學生的思維能力的訓練，以及激發學生學習的能動性、自主性及創設和諧的學習氛圍，都有著十分重要的意義。

【關鍵詞】數形結合;課堂教學;解決問題

二次函數是初中數學重要的內容之一，對此，教師應遵循學生的認知規律，關注學生獲取知識的思維過程，引導學生進行動手操作、觀察、分析、比較、歸納等環節探尋建構個體知識的“證據”，幫助學生逐步認識二次函數的本質，內涵與特征。在具體教學實踐中發現，有的教師對函數內容的教學，雖然知道“數形結合”思想的重要性，但存在教師只注重了“數”而忽略“形”或是只注重了“形”而忽略“數”，未能“數”與“形”有機統一。本文概述人教版《22.3實際問題與二次函數》的教學實例，再談“數形結合”。

一、探尋從特殊到一般變化，發現規律——尋規

在講授二次函數時，教師一定要把握一個原則，由特殊到一般的的思想方法。

在掌握y=ax2+k（a≠0）的圖像和性質后，再引導學生去探究y=a（x-h）2的圖像及性質，類比y=ax2+k（a≠0）的圖像及性質，進行觀察，比較，歸納，總結出拋物線的開口方向，頂點坐標，對稱軸，增減性，極值等。在注意到頂點坐標（0，k）和（h，0）時一定注意兩者的區別和聯系，這樣的探究過程，在很大程度上培養了學生識圖能力和畫圖的能力，并建立起圖與式的對應關系，更好的凸顯了“數”“形”結合的思想。以此類推，我們系統的學習函數y=a（x-h）2+k的圖像與性質時就注意到，實際是將函數y=ax2（a≠0）的圖像通過平移得到的，頂點坐標（h，k）和前三個頂點坐標作比較，歸納它們的區別和聯系，再一次體會到“數”和“形”的結合。

二、引導建構知識遷移圖，識別問題證據——導據

例如在進行《二次函數與實際問題》時就可以這樣引入課題，首先板書課題“22.3實際問題與二次函數”先來回顧二次函數有哪幾種特殊的結構式及其草圖，然后引導學生寫出y=ax2+bx+c（a≠0），這里只強調了a≠0條件，對于b，c沒有特殊強調，

學生結合解析式去對應的解決二次函數的問題，學生會條理清晰的將問題就會化繁為簡。

三、建立函數模型，經歷問題解決過程——立本

例：如圖的拋物線形拱橋，當水面在l時，拱橋頂離水面2 m，水面寬4 m，水面下降1 m，此時水面寬度為多少？水面寬度增加多少？

提出問題：

（1）如何解決這個問題？（小組合作，找出方法）。

（2）如何建立適當的平面直角坐標系（小組合作，并展示成果，學生上黑板建立平面直角坐標系）。

（3）如何結合圖像設出適合的解析式（學生思考完成）

（4）如何結合圖像確定點的坐標，再確定解析式？（學生小組合作完成，并上黑板展示）

（5）怎樣結合解析式解決實際問題？（師生共同完成）

學生通過建立的五種平面直角坐標系再次展開討論，建立平面直角坐標系的目的，是要確定拋物線的圖像，而確定圖像一定要有點的坐標，那如何確定點的坐標呢？每個象限內點的坐標都有特點，坐標軸上的點也有特點，這時再讓學生進行思考，并且小組交流討論，然后讓學生在黑板上進行標注，讓學生感受到建立平面直角坐標系解決問題的強大魅力。緊接著要根據建立的坐標系設出合適的解析式，這就是前面復習二次函數網絡圖的真正目的，為學生在解決此類問題提供最好的方法。此時教師和學生一起分析圖像，圖（1）圖（4）可設解析式為y=ax2+k，圖（2）可設解析式y=ax2，圖（3）可設解析式為y=ax2+bx，還可設解析式為y=a（x-h）2+k，還可設解析式為y=a（x-x1）（x-x2），都能輕松的解決拋物線的解析式，圖（5）可設解析式y=a（x-h）2+k。結合所設解析式，讓學生選擇最恰當的圖像及確定的解析式解決問題，此時要給學生足夠的時間進行思考解題，并講解。

學生在解決這一問題時，首先建立了如上圖中，圖2的平面直角坐標系，設出解析式為y=ax2，帶入對應的點的坐標確定解析式為y=-1/25x2，求出點的坐標（5，-1）時，學生疑惑了，有的學生回答打1米的柱子。有的學生回答打15的柱子。教師實時引導點撥，結合圖像先確定（5，-1）這個點的坐標，結合圖像后，學生就不難理解了，要打16-1=15米的柱子。如果選擇圖（1）則設解析式為y=ax2+k，學生很快確定出函數解析式y=-1/25x2+16，并能確定點的坐標是（5，15），此時，問題能很快得出結論。要打15的柱子。這道練習題再一次體現了“數形結合”的數學思想的重要性。同時也培養了學生一題多解的能力。

通過本節課的學習，學生能深刻感受到二次函數的解析式及其圖像的魅力。“數形結合”思想的應用，能讓許多復雜的，難以理解的問題簡單化，形象化，直觀化，讓學生的數學思維得到了質的升華。