淺析電磁感應中的變加速直線運動

鄭浩宇

摘要：導體棒切割磁感線問題中往往涉及變加速直線運動。但高中階段學生由于數學知識的限制，導致學生對這一類運動模型理解不到位。本文將從實際例題出發結合微元法和高等數學知識淺析其中合外力、加速度、位移、速度和時間等物理量之間的依賴關系，拓展解題視野。

關鍵詞：電磁感應;變加速運動;微元法;微積分

電磁感應中導體棒切割磁感線做變加速直線運動是高中電磁學板塊的難點。此類題目綜合性強，涉及知識面廣，難度往往也較大，能很好考察學生的思維能力，因此廣受命題者的青睞。高中階段解決此類問題通常用的是能量觀點，但實際上可能由于命題者的疏忽，題目中給定的數據與事實不符，導致物理量之間的關系出現彼此不匹配的情況，容易對學生造成誤導。那么能不能從變加速直線運動本身出發找出各個運動學的物理量之間的真實對應關系？下面通過兩個基本模型進行探討。

一、例1：如圖1所示，水平平行放置兩根足夠長的光滑金屬導軌，導軌間距為L，導軌左端連接一個阻值為R的電阻，一根質量為m的金屬棒垂直于導軌橫跨于兩根導軌之上，空間存在方向豎直向上的磁感應強度為B的勻強磁場，整個回路除了電阻R之外其余電阻忽略不計。現在金屬棒以初速度水平向右運動。求整個過程中：

（1）金屬棒運動過的位移;

（2）流過電阻R的電荷量;

（3）金屬棒的運動時間;

（4）感應電流的有效值。

分析解答：（1）金屬棒做加速度逐漸減小的減速運動，其v-t圖象如圖2所示，如果這是在數字化信息系統實驗室里用傳感器獲取的真實v-t圖象并輔以DISLab的軟件確實可以求解運動的位移和時間，除此以外通常情況下并不能通過面積法求解位移，此時微元法可排上用場。

微元法是解決物理的常用方法，是從部分到整體的思維方法。隱含微分和積分思想，但在高中階段應用微元法并不需要進行太復雜的數學運算即可得到結果，故微元法是高中生解決此類電磁學變加速運動問題的常用手段。

由，及，得，電流I與速度v有瞬時對應關系，安培力F安與加速度a也有著瞬時對應關系。再由定義式和可得，即，對整個過程求和，得，解得.

在極短的時間內，安培力可視為恒力，金屬棒理應做勻減速運動，但由于此時間內速度變化量也是極小量，因此金屬棒可視為勻速直線運動。該段時間的位移△x=v△t，對應v-t圖象中的一個小矩形面積，把所有小矩形的面積求和就可得到整個過程的位移。推導過程中恰好含有v△t一項，因此用微元法求位移比較方便。此類問題中微元法起到化變為恒的作用，能對復雜問題進行簡化。

（2）表面上看，求流過電阻R的電荷量需要知道金屬棒的運動時間，實際上電荷量是由位移求得。

（3）關于金屬棒的運動時間，微元法并不能直接求解，所以大多數高中生不會深入去探究，此時如果命題者隨意給定一個時間值，就會破壞了運動學之間的依賴關系導致數據之間出現矛盾，因此命題者必須用到高等數學的微積分知識進行求解。

由，得，積分得，變形得，令v=v0（t=0），得到c'=v0，推出時間的函數式.

把末速度代入上式，得到，實際上當速度降低到接近零（即末速度為無窮小）時算得此段時間即為所求的解。具體的數值運算可參考例2。

（4）求出時間之后再結合電流有效值公式，不難算出此段時間感應電流的有效值。由，得，其中代表無窮小量。

二、例2：如圖3示，相互平行的兩根金屬導軌，導軌間距為L=0.5m，與水平地面夾角為θ=30°，導軌頂端連接一個阻值為R=1Ω的電阻，一根質量為m=0.6kg的金屬導體棒垂直于導軌橫跨于導軌之上，導體棒由靜止開始釋放，整個空間存在垂直于導軌平面的勻強磁場，磁感應強度B=2T。導軌足夠長，滑行過程金屬棒始終與導軌保持垂直和良好接觸，忽略一切摩擦及除電阻R外的一切電阻，取g=10m/s2，求：

（1）金屬棒的最大速度;

（2）金屬棒由釋放直至最大速度所需的時間;

（3）金屬棒由釋放直至最大速度所運動過的位移。

分析解答：（1）由受力分析可知，當金屬棒受力平衡時有最大速度vm，mgsinθ=BImL，，聯合解得，代入數據得vm=3m/s

（2）由牛頓第二定律得，即，為了方便后面的運算，代入數據得，再由，得微分表達式，積分得，變化得，令，得，推出，最后得到時間t的函數式：，若代入v=3m/s則t無解（或理解為無窮大），換言之金屬棒永遠無法達到最大速度。當然這只是純數學理論的情況，實際上當速度特別接近最大速度就可得所需的解，令v'=2.99m/s，此時速度誤差為0.33%，解得時間t'=3.422s。

（3）此問有兩種解法，第一種是運用積分公式，，得s=8.472m。第二種是運用微元法，由，得，代入數據解得s=8.472m.兩種解法得到相同的解。

本題核心公式為加速度和速度的函數式：，時間和位移兩個物理量都依賴此關系確定，但由高中物理運動學的基本公式無法直接在它們之間建立關系，都要從微積分的思想出發才可解得。如果命題者只是由動能定理等能量觀點的關系式去拼湊數據，雖然從高中物理的層面看沒問題，但是經不起深入的驗算，在微積分等高等數學面前會露餡。

三、由于受到各種現實因素的限制，命題者在命制這類導體棒切割磁感線做變加速直線運動問題時，數據（如時間和位移）直接從實驗中獲得并不方便，但不能因此就任意給定，一定要以事實為依據。所以命題者在命制題目時必須用到高等數學知識或者微元法進行驗證，避免出現與事實相悖的情況出現，使題目本身經得起推敲。

引入微積分數學知識解高中物理題，一方面是讓學生早日接觸近代數學知識，并能在多個物理變量互相影響的問題中抽絲剝繭，找到最直接的解題方法;另一方面可使物理教師更深刻地理解題目中的物理過程，拓寬視野，對物理教師提高教學能力應有一定的幫助。

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廣東省遂溪縣第一中學 524300