無限介質包圍的充液管道中導波的頻散特性

左漢鋒，仲從侃，韓慶邦

(1. 山東省產品質量檢驗研究院，山東濟南 250100；2. 河海大學物聯網工程學院，江蘇常州 213022)

關鍵字：超聲導波；充液管道；頻散特性

0 引 言

管道運輸是方便而高效的運輸方式之一，尤其是地埋管道在供水系統的廣泛運用，讓它與人們的生活密切相關。然而，由于供水管道受腐蝕、老化以及第三方損壞等因素的影響，大量的水資源會因此而浪費。所以，在過去的幾十年中，人們一直致力于地埋管道的漏損檢測研究。

多年來，聲學方法一直廣泛應用于管道的漏損檢測[1-2]。前人早已對充液管道中聲波的傳播特性進行了大量的研究。Pinnington等[3]給出了軸對稱流體主導波和管壁壓縮波的低頻波數表達式。Fuller等[4]提出了在充滿流體的薄壁圓柱形彈性殼中自由波的色散曲線和能量分布。Sinha等[5]分析了內外皆有流體負載的圓柱體中軸對稱波傳播的情況。Lafleur等[6]研究了充液管道中低頻模態導波的傳播特性。Muggleton等[7-8]提出了一種預測地埋充液管道波數和波衰減的低頻理論模型。但該模型把土壤當作流體介質，沒有考慮管道和土壤之間的剪切效應，與現實情況有一定差距。Li等[9-10]基于圓柱薄殼理論，分析管內氣體與管壁之間的聲學耦合，確定聲波主要傳輸路徑，從而選擇合適的特征頻帶來抑制傳輸頻散。但由于忽略了外部空氣的影響，最終結果存在一定的誤差。Gao等[11-13]進行了充液管道結構和流體低頻運動的理論與實驗研究，并在此基礎上分析了流體主導波的頻散特性和建立了充液管道中軸對稱波動引起的地表震動解析模型。許洲琛和蔣謇等[14-15]運用孔隙介質彈性波動理論研究了縱向超聲導波在無限流體包裹孔隙介質中的傳播特性。

本文在現有文獻的基礎之上，將無限介質作為彈性介質考慮，首先推導出低頻域周向波數n=0軸對稱充液管道的振動方程。然后，求出流體主導波(s1 波)和管壁壓縮波(s2 波)兩種主要模態導波的波數公式以及相應的相速度表達式。最后，通過數值模擬方法對導波頻散特性進行研究，并詳細分析厚徑比、管壁厚度、無限介質以及管壁材料對導波頻散特性的影響。

1 理論分析

管道的坐標系如圖1所示，ur、uz、uθ分別代表管壁在徑向(r)，軸向(z)以及周向(θ)的位移，a、b、h分別是管道的內半徑，外半徑以及管壁厚度(h≤a)。管道、管內流體以及管外介質振動方程的求解過程主要參考文獻[7-8]。無限介質包裹充液管道振動模型求解可得s1波和s2波的復波數解。

圖1 無限介質包裹充液管道的坐標系Fig.1 The coordinate system for a liquid-filled pipe embedded in the infinite medium

2 數值計算及結果分析

關于充液管道的軸對稱振動方程，主要有兩種形式的波解，分別是流體主導波(s1 波)和管壁壓縮波(s2波)。對于s1波，一般認為k1遠大于平面壓縮波波數kL，即s1波的波速比平面壓縮波波速慢的多。而s2波的波數k2比流體的波數kf小的多，即管壁壓縮波的波速遠大于流體主體波的波速。管道參數、管內流體和無限介質的參數選取分別如表1和表2所示。

表1 管道參數Table 1 Parameters of pipe

表2 管內流體和無限介質參數Table 2 Parameters of inner fluid and infinite medium

2.1 厚徑比對導波頻散的影響

本文主要研究0～10 kHz的低頻范圍內，管道參數選取的不同對于導波頻散的影響情況，默認管道為鋼管。其中，厚徑比為一個重要的參數。當管道內半徑a不變，分別設置厚徑比(h/a)為0.125、0.187 5、0.25，其他參數同表1、2所示。同時，s1波和s2波的相速度頻散曲線如圖2、圖3所示。

圖2 不同管道厚徑比下s1波的相速度頻散曲線Fig.2 Dispersion curves of s1 wave for different pipe thickness-to-radius ratios

圖3 不同管道厚徑比下s1波的相速度頻散曲線Fig.3 Dispersion curves of s2 wave for different pipe thickness-to-radius ratios

當s1波的厚徑比分別為0.125、0.187 5、0.25時，其起始速度分別為1 385.9、1 421.0、1 439.6 m·s-1，即起始速度隨厚徑比的增大而增大。此時，對應的截止速度分別是1 383.8、1 419.7、1 438.7 m·s-1，即相速度在0～10 kHz的低頻范圍內分別下降了2.1、1.3、0.9 m·s-1。因此，隨著厚徑比的增大，s1波相速度頻散變慢。同時，起始速度之間的差值分別為35.1、18.6 m·s-1，即s1波相速度的起始速度增加更慢。

而s2波相速度的起始速度分別為4 993.5、4 983.5、4 978.2 m·s-1，即起始速度隨厚徑比的增大而減小。此時，對應的截止速度分別是4 990.0、4 980.4、4 975.3 m·s-1，即相速度在0～10 kHz的低頻范圍內分別下降了3.5、3.1、2.9 m·s-1。因此，隨著厚徑比的增大，s2波相速度頻散也變慢。但起始速度之間的差值分別為9.6、5.1 m·s-1，即s2波相速度的起始速度減小得更慢。

結果表明，隨著厚徑比的增大，s1和s2波的相速度頻散變慢。但s1波的起始速度增大，s2波的起始速度卻減小，且s1波受厚徑比的影響更大。

2.2 管壁厚度對導波頻散的影響

當厚徑比(h/a)為0.125不變時，厚度h發生變化，分別為0.001、0.002、0.003 m。此時，s1波、s2波的相速度頻散曲線如圖4、圖5所示，s1波和s2波頻散變化的趨勢是相似的，即隨著h的增大，相速度頻散得更快，且起始速度和截止速度不會隨厚度的變化而變化。其中，s1波的起始速度和截止速度分別是1 385.9和1 383.8 m·s-1，s2波的起始速度和截止速度分別是4 993.5、4 990.0 m·s-1，分別下降了2.1、3.5 m·s-1，s2波相速度下降的幅度明顯更大。結果表明，當厚徑比不變且厚度增大時，s1波和s2波的相速度皆頻散更快，s2波受厚度變化的影響更大。

圖4 不同管壁厚度下s1波的相速度頻散曲線Fig.4 Dispersion curves of s1 for different pipe wall thickness

圖5 不同管壁厚度下s2波的相速度頻散曲線Fig.5 Dispersion curves of s2 wave for different pipe wall thickness

2.3 無限介質對導波頻散的影響

當管壁材料不變，默認管道為鋼管。此時，管外的無限介質也是影響導波頻散的一個重要參數。如表3所示，表中選取四種固體介質：土壤、混凝土、砂巖、花崗巖，并分析固體介質對導波頻散的影響。

表3 四種固體介質的參數Table 3 Parameters of four solid media

無限介質下s1波、s2波的相速度頻散曲線如圖6、圖7所示，s1波和s2波具有相同的頻散趨勢，都是土壤中頻散最慢，其次是砂巖，再者為混凝土，花崗巖中頻散最快。結合表3分析，密度、縱波速度、橫波速度都會對相速度的頻散造成一定的影響。例如混凝土和砂巖的密度相等，但混凝土中縱波速度和橫波速度皆比砂巖中快，此時混凝土中相速度頻散得更快。

圖6 無限介質下s1波的相速度頻散曲線Fig.6 Dispersion curves of s1 wave in different infinite media

圖7 無限介質下s2波的相速度頻散曲線Fig.7 Dispersion curves of s2 wave in different infinite media

相比s1波和s2波在0～10 kHz的低頻范圍內的頻散情況，s1波在土壤、混凝土、砂巖和花崗巖中的起始速度都是1 385.9 m·s-1，對應的截止速度分別是1 383.8、1 375.0、1 376.3、1 371.7 m·s-1，分別下降了2.1、10.9、9.6、14.2 m·s-1。而s2波的起始速度為4 993.5 m·s-1，對應的截止速度分別是4 990.0、4 975.8、4 977.9、4970.5 m·s-1，分別下降了3.5、17.7、15.6、23.0 m·s-1，明顯s2波頻散的更快。結果表明，s1波和s2波都與無限介質的密度、縱波速度、橫波速度相關，且s2波受無限介質的影響更大。

2.4 管壁材料對導波頻散的影響

當管道分別為表1中的鋼管和PVC塑料管時，由于兩種管道的材料特性完全不同，所以泊松比、楊氏模量、密度以及平面壓縮波波速都是不同的。

假設兩管道的厚徑比都是0.125，此時s1波的相速度頻散曲線如圖8、9所示。在0～10 kHz的低頻范圍內，當管道為鋼管時，s1波的相速度從1 385.9 m·s-1下降到1 383.8 m·s-1，s1波的相速度頻散很慢。但當管道為PVC塑料管時，s1波的相速度從524 m·s-1下降到344 m·s-1，下降了180 m·s-1。相對于鋼管，PVC塑料管中s1波的相速度頻散非?？?。

圖8 鋼管中s1波的相速度頻散曲線Fig.8 Dispersion curve of s1 wave in a steel pipe

圖9 PVC塑料管中s1波的相速度頻散曲線Fig.9 Dispersion curve of s1 wave in a PVC pipe

鋼管和PVC塑料管中s1波、s2波的相速度頻散曲線如圖10、11所示。無論是鋼管還是PVC塑料管，在0～10 kHz的低頻范圍內，s2波的相速度頻散都較慢。其中，在鋼管中，s2波的相速度從4 993.5 m·s-1下降到4 990 m·s-1，且有持續下降的趨勢。但在PVC塑料管中，s2波的相速度從1 705.3 m·s-1下降到1 703.8 m·s-1，且始終趨向于截止速度。結果表明，管壁材料對s2波的頻散影響較小，但對s1波影響較大。尤其是在PVC塑料管中，s1波的相速度頻散非常嚴重。證明鋼管對于防止導波頻散的效果更好。

圖10 鋼管中s2波的相速度頻散曲線Fig.10 Dispersion curve of s2 wave in a steel pipe

圖11 PVC塑料管中s2波的相速度頻散曲線Fig.11 Dispersion curve of s2 wave in a PVC pipe

3 仿真分析

本節中采用的仿真軟件是COMSOL Multiphysics軟件，主要通過運用軟件聲學模塊中的“聲-固耦合，瞬態”接口。其中，聲-固耦合是對壓力聲學接口和固體力學接口進行耦合，在流體域中求解瞬態波動方程，并運用壓力聲學接口對流體材料中導波傳播的波速和聲壓波動進行仿真分析。同時在固體域中計算結構力學方程，運用固體力學接口對固體材料中位移場和應力場進行仿真分析。在使用“聲-固耦合，瞬態”接口的基礎上，對導波在無限介質包裹的圓柱管道中的傳播過程進行模擬，從而完成對流體-管壁-無限介質圓柱管道的二維仿真模型的創建。

本文中創建的仿真模型共包括兩個不同的物理場，分別是壓力聲學場和固體力學場。其中，流體介質層和固體介質層分別為不同物理場對應的區域。首先，對無限固體包裹仿真模型的聲壓和應力進行研究，并選擇混凝土作為管外無限介質進行仿真分析。圖12分別是0.1、0.5以及1 s時，混凝土包裹仿真模型的聲壓和應力的情況。

圖12 混凝土包裹仿真模型三個不同時刻的聲壓應力圖Fig.12 The sound pressure and stress diagrams of the concrete surrounded liquid-filled pipeline model at three different time points

從圖12中可知，當時間為0.1 s時，單極點源開始激發信號，此時聲源中心處聲壓最大，并逐步向四周遞減。當信號透過管壁時，在無限介質中應力下降迅速，直到到達最外側的自由界面時，部分信號往回反射。此時，自由界面處的應力有所上升。當時間為0.5 s時，此時聲源中心處的聲壓依舊最大，且聲壓比0.1 s時更大。同樣地，信號逐步向四周傳播，當信號到達兩側硬邊界時開始反射，造成了邊界處的聲壓要比在聲源和邊界中間處的聲壓大。而且，由于信號在無限介質中反復地反射，無限介質中的應力都有所上升。當時間為1 s時，由于信號在管內反復地反射，因此，在聲源中心處的聲壓比兩側的聲壓小。同時，由兩側向兩邊邊界遞減，無限介質中應力在同步增大。

其次，混凝土包裹接收點處的應力曲線圖如圖13所示，圖中的點1、點2分別代表管內流體和管壁中兩個接收點的應力曲線，兩接收點處的應力都隨著時間的增加而逐步增大。當時間小于0.5 s時，應力非常小，幾乎接近于0。此時，應力增長的幅度更是微乎其微。但當時間大于0.5 s時，兩接收點處的應力開始激增，直到0.8 s后，應力曲線幾乎垂直上升。由圖可知，圖13與圖12中應力的變化趨勢相一致，且內部流體介質中接收點處的應力比管壁中接收點處的應力小得多。

圖13 混凝土包裹接收點處的應力曲線圖Fig.13 Stress curve at the receiving point of the concrete

通過3個不同時刻的仿真聲壓場中聲壓的變化，對照混凝土包裹接收點處的應力變化，可以看出這些時刻聲壓的變化趨勢是一致的。由變化趨勢得出無限介質對兩種導波的頻散特性都存在顯著的影響的結論。并依據無限固體介質中接收點處的應力比管壁中接收點處的應力小得多的結果，可得出無限介質對管壁壓縮波(s2 波)頻散的影響比對流體主導波(s1波)更大的結論。這些結論驗證了第1節理論分析和2.3節數值分析的正確性。

4 結 論

本文利用波傳播方法對無限介質包裹充液管道的頻散特性進行分析。首先，將管道和管外無限介質分別類似為同性薄殼和彈性介質。然后，對無限介質中充液管道在周向波數n=0軸對稱模態下的耦合振動方程進行了推導。最后，分別對流體主導波(s1 波)和管壁壓縮波(s2 波)的頻散特性進行研究。結果發現，在周向波數n=0軸對稱模態下，導波的頻散情況與厚徑比、管壁厚度、無限介質以及管道材料密切相關。本文還通過建立流體-管壁-無限介質圓柱管道的二維仿真模型，結合聲壓場聲壓的變化和混凝土包裹接收點處的應力變化，證實了無限介質對管壁壓縮波(s2 波)頻散的影響比對流體主導波(s 1波)更大。同時，管壁材料對s1 波帶來較大影響，尤其當管道為PVC塑料管時，s1波頻散非常嚴重。但對s2波的影響較小，可以忽略不計。由于管道與無限介質耦合會產生向外輻射的能量，所以無論是s1波還是s2波，在0～10 kHz的低頻范圍內，都會有一定的頻散，但頻散較小。因此，s1波和s2波都可以傳播得較遠。