垂蕩激勵下船用旋轉機械-氣囊隔振系統的非線性振動機理

杜曉蕾 李明

摘要： 艦船在航行時產生的牽連運動會對船用機械系統的振動產生重要的影響，因此研究垂蕩作用下的船用旋轉機械的動力學特性及其振動控制具有重要的工程意義。討論了垂蕩激勵下船用旋轉機械?氣囊隔振系統的非線性振動機理與振動特征。建立了具有氣囊隔振系統的船用旋轉機械的數學模型，采用多尺度法分析了船體的垂蕩運動與轉子運動之間的關系，揭示其振動機理。采用數值分析方法研究了垂蕩激勵下船用旋轉機械?氣囊隔振系統的動力學特性，并與近似解進行了比較，驗證了理論結果的有效性。

關鍵詞： 非線性振動; 艦船垂蕩運動; 船用旋轉機械; 隔振系統; 多尺度法

引 言

作為艦船動力來源的發電機及其傳動系統在載體運動時除了自身的運動外，還要受到牽連運動的影響。為了有效避免由于系統振動造成的機械損壞，一般采用氣囊進行隔振[1]。氣囊隔振器具有可調節剛度及阻尼的特點，且固有頻率低，滿足了艦船對隔振器低頻隔振性能的要求，因而廣泛應用于高性能船舶上[2]。艦船在航行中受到氣象環境的影響易產生復雜的牽連運動，其中垂蕩運動較為常見，船用機械系統在航行時的安全性、穩定性與這些運動有著密不可分的聯系[3]，因此，研究垂蕩激勵下的船用旋轉機械系統有重要的工程意義。

一般而言，旋轉機械的振動主要是由轉子偏心引起的不平衡力所引起的。文獻[4]通過定轉子的幾何關系推導了轉子動靜復合偏心時氣隙長度的統一表達式，建立轉子系統在不平衡磁拉力UMP、重力和不平衡質量激勵力作用下的運動微分方程。采用數值方法研究了重力、初始靜偏心方向和靜偏心量對轉子系統軸心軌跡和位移頻譜的影響。

目前，關于牽連運動引起的機械振動主要集中在機載旋轉機械以及基礎運動下的動力學研究領域，例如，文獻[5]建立了飛機在任意空間機動飛行時發動機安裝在飛機機翼、機身或重心垂直平面上時不平衡多盤、多質量和多軸承線性及非線性柔性轉子系統動力學的統一模型，討論了飛機的空間機動飛行對發動機轉子系統動力特性的影響;文獻[6]對Herbst機動飛行中的非線性飛機旋翼系統進行了動力學仿真，討論了載荷控制的安全性;文獻[7]考慮橫向裂紋的呼吸機理和爬升跳水飛行的機動載荷，研究了飛機飛行操縱引起的裂紋轉子球軸承系統的非線性響應，并采用四階龍格?庫塔法分析了系統的非線性動力學行為。對于基礎運動下旋轉機械系統振動問題的討論，文獻[8]分析了柔性轉子系統在時變基礎運動下的動力學行為，并對具有基礎角運動的柔性轉子?軸承系統進行了動力學實驗以及數值模擬。文獻[9]提出并驗證了行星齒輪在俯仰基座運動下的旋轉?平移?軸向動力學模型，采用數值方法研究了系統的動力學行為。

艦載和機載有相似之處，但也存在明顯的不同，例如，艦載運動具有周期較長，運動幅度較大等特點。近幾年來，大型艦船航行時出現的復雜運動引起了國內外學者的關注，文獻[10]通過引入形狀濾波器，采用路徑積分法對非線性橫搖運動進行了分析，并驗證了理論計算結果與模型試驗結果;文獻[11]分析了規則波擾動力矩不同振幅、不同初始相位角、不同波浪頻率和不同的角度控制參數對船舶單自由度橫搖和縱搖運動動力學特性的影響;文獻[12]建立了橫搖、垂蕩、縱搖三個自由度非線性耦合動力學模型，并對比了理論與試驗結果;文獻[13]運用普通切片理論對船舶在迎浪規則波中的垂蕩和縱搖進行了研究，并進行了數值計算和實時可視化仿真;文獻[14]采用CFD對大型油輪進行了仿真模擬，分析了零航速下不同水深下的垂蕩和縱搖響應，結果表明淺水區對垂蕩運動影響較大;文獻[15]基于R?MISO法分析了六個自由度的船舶模型的非線性橫搖運動并與實驗結果進行了比較;文獻[16]對小水線面雙體船在迎浪規則波作用下垂蕩和縱搖運動進行了數值分析，并通過與實驗數據的對比驗證了方法的有效性;文獻[17]考慮了非線性的阻尼力矩建立了船舶橫搖運動方程，采用多尺度法分析了阻尼力矩和恢復力矩對橫搖穩態運動的影響。

上述研究工作主要是針對在海況條件下船體自身的運動特性。對于在牽連運動作用下船用轉子系統的動力學特性研究，文獻[18]采用數值方法研究了不同輸入轉速、扭矩作用下齒輪軸靜平衡位置及船體縱橫搖擺下齒輪副的振動響應;文獻[19]研究了艦船在縱搖、橫搖運動下，發動機轉子?軸承系統的非線性動力學響應。

本文主要采用多尺度法研究垂蕩激勵下旋轉機械?氣囊隔振系統的非線性振動機理與振動特征，揭示系統參數之間的內在關系，為系統的動力學設計及參數優化提供理論依據。

1 運動方程

圖1所示為旋轉機械?氣囊隔振系統的動力學模型，其中氣囊被模化為非線性彈簧和線性阻尼器。設系統的總質量為，轉子由于質量分布不均產生的偏心質量為me，偏心距為e，轉子角速度為ω，阻尼系數為d，垂蕩產生的位移為x0，彈簧的壓縮量為x。考慮到氣囊剛度所具有的非線性特性，現引入了具有三次弱非線性的彈性力來模化氣囊的彈性力[20]，設彈性力。其中，k1為彈簧剛度，k2為三次非線性彈簧系數，ε為體現彈簧弱三次的無量綱小量。

下面重點討論主共振的幅頻特性，選取系統的一組參數α0=0.1，h=0.1，μ=0.015，ω1=0.1，b=0.01，F0=0.04，Ω0=3，η=50，得到系統的幅頻特性曲線，如圖2所示。

由圖2可知，非線性振動系統的幅頻曲線不再是單值函數曲線，在某些區間內的某一激勵頻率值會對應于三個不同大小的幅值，即產生跳躍現象，是非線性系統所特有的現象之一，此處虛線部分為系統主共振幅頻響應的不穩定區域，發生跳躍現象。

通過對比不同參數條件下的系統的主共振幅頻響應曲線，可以得到各參數對系統振動狀態影響的規律。選取參數α0=0.1，h=0.1，μ=0.015，ω1=1，b=0.1，F0=0.04，Ω0=3，η分別取50，60，70，畫出頻響曲線如圖2（a）所示。通過改變外激勵頻率可知，參數η越大，幅頻曲線向右彎曲的幅度越小，系統的共振域改變也相應越小。為了研究激勵幅值對系統主共振幅頻特性的影響，選取參數α0=0.1，h=0.1，μ=0.015，ω1=1，b=0.1，Ω0=3，η=50，分別取F0=0.04，0.15，2，畫出頻響曲線如圖2（b）所示。通過改變激勵幅值F0可知，激勵幅值增加，幅頻曲線的幅值以及向右彎曲的幅度變大。圖2（c）考慮Ω0對系統主共振的幅頻響應曲線的影響，分別取參數Ω0=1.5，2，3。由圖可知，Ω0會使系統的共振域有所改變，轉子轉速的減小會使主共振幅頻響應曲線向右發生偏移。圖2（d）考慮阻尼μ對系統主共振的幅頻響應曲線的影響，分別取參數μ=0.015，0.02，0.03。由圖可知，當參數μ增大時，主共振幅值減小，多值和跳躍對應的激勵頻率區間縮小，意味著系統穩定性的增強。

本文主要針對首次近似解進行分析，當引入高階小量得到的二次近似結果，分析可知除了項可引發主共振外，，，，項可產生超諧波和亞諧波共振，，項可產生組合共振等，然而上述情況僅在特定條件下產生，本文著重分析對系統產生主要影響的主共振情況，其余情況另作分析。

4 數值分析

為了進一步分析系統的動力學特性，下面采用數值方法求解方程的位移響應。參數選取如下：ε=0.01，c=0.004，α0=0.1，h=0.1，μ=0.3，k1=10，k2=100，=1200，Ω0=3，η=70，選取初始條件，。在非共振情況下，數值結果與解析解如圖3所示。從中可以看出，兩條時間歷程曲線吻合良好，表明了近似解是有效的。

圖4顯示系統相圖中的相軌線相互交錯，呈不規律的軌跡，極限環周圍的相軌線隨著時間的增加形態隨之變化，Poincaré截面為有限個點組成的不閉合曲線，頻譜圖中出現組合頻率（f+f0）及其倍頻，這預示著系統的運動變得較為復雜。圖5顯示了系統在不同轉速和頻率比下的分岔圖以及Lyapunov指數圖。由圖5（a）可知系統在低轉速時左右表現為混沌運動，Lyapunov指數大于0，高轉速時處于擬周期、混沌交替出現的運動狀態。圖5（b）反映轉速比小于5時，系統振動幅值較大，Lyapunov指數大于0，系統處于混沌狀態，在轉速比為10?15，系統處于擬周期狀態，隨著轉速比不斷增大，系統的振動幅值減小，Lyapunov指數始終小于0，說明系統逐漸趨于穩定的周期狀態，運動狀態可歸納為混沌→擬周期→周期。

5 結 論

本文采用三次非線性彈簧來模化氣囊結構的變形，基于牛頓定律建立了具有氣囊隔振系統的非線性動力學模型。首先，采用多尺度法研究了系統的近似解析解，分析了系統在定常解處的穩定性以及系統在不同參數下的幅頻響應特性。然后，采用數值方法討論了系統的非線性動力學特性。結果表明：

（1） 在垂蕩激勵作用下，船用旋轉機械耦合氣囊隔振系統的穩態運動幅值在一定的頻率區間內具有典型的非線性特性，例如，會出現多值和跳躍現象等。

（2） 頻率比越大，系統幅頻曲線出現的不穩定區域以及彎曲程度減小;激勵幅值對系統穩定影響較大，激勵幅值的小幅增大會使幅頻曲線的不穩定區域以及彎曲程度增大;阻尼的增大能夠有效抑制主共振峰值。

（3） 數值結果表明，隨著轉速增大，垂蕩激勵作用下系統以準周期和混沌運動為主，具有復雜的非線性特性，隨著系統的頻率比增大，即轉子與垂蕩的頻率差值越來越大，系統由不穩定的混沌與準周期狀態逐漸趨于穩定的周期運動狀態。

參考文獻：

[1] 何 琳， 趙應龍. 艦船用高內壓氣囊隔振器理論與設計[J]. 振動工程學報， 2013， 26（6）：886-894.

He Lin， Zhao Yinglong. Theory and design of high-pressure and heavy-duty air spring for naval vessels[J]. Journal of Vibration Engineering， 2013， 26（6）：886-894.

[2] 趙應龍，?金 著， 何 琳. 氣囊隔振器囊壁骨架層平衡性研究[J]. 船舶力學， 2017， 21（7）：873-879.

Zhao Yinglong， Jin Zhu， He Lin. Research on framework layers equilibrium performance of air spring capsule[J]. Journal of Ship Mechanics， 2017， 21（7）：873-879.

[3] 王術新， 李 明. 船用柴油機的噪聲控制[J]. 造船技術， 2004，（2）：36-37.

Wang Shuxin， Li Ming. Noise control of marine diesel engine[J]. Marine Technology， 2004， （2）：36-37.

[4] 徐學平， 韓勤鍇， 褚福磊. 靜載荷作用下偏心轉子電磁振動特性[J]. 清華大學學報（自然科學版）， 2016， 56（2）：62-70.

Xu Xueping， Han Qinkai， Chu Fulei. Electromagnetic vibration characterisitics of an eccentric rotor with a static load[J]. Journal of Tsinghua University （Science and Technology）， 2016， 56（2）：62-70.

[5] Zhu C S， Chen Y J. General dynamic model of aeroengines rotor system during maneuvering flight[J]. Aerospace Power， 2009， 24：371-377.

[6] Hou L， Chen Y S. Dynamical simulation and load control of a Jeffcott rotor system in Herbst maneuvering flight[J]. Journal of Vibration and Control， 2014， 22：412-425.

[7] Hou L， Chen Y S， Cao Q J， et al. Nonlinear vibration analysis of a cracked rotorball bearing system during flight maneuvers[J]. Mechanism and Machine Theory， 2016， 105：515-528.

[8] Chen L Q， Wang J J， Han Q K， et al. Nonlinear dynamic modeling of a simple flexible rotor system subjected to time-variable base motions[J]. Journal of Sound and Vibration， 2017， 404：58-83.

[9] Qiu X H， Han Q K， Chu F L. Dynamic modeling and analysis of the planetary gear under pitching base motion[J]. International Journal of Mechanical Sciences， 2018， 141：31-45.

[10] 柴 威， 范菊， 朱仁傳，等. 隨機波浪下的船舶大幅橫搖和傾覆研究[J]. 水動力學研究與進展A輯， 2012， 27（6）：734-741.

Chai Wei， Fan Ju， Zhu Renchuan， et al. The large amplitude ship rolling and capsize under irregular wave excitation[J]. Journal of Hydrodynamics， 2012， 27（6）：734-741.

[11] 洪 竹. 船舶在縱橫搖耦合下的非線性動力學特性研究[D]. 鎮江：江蘇科技大學， 2016.

Hong Zhu. Study on the nonlinear dynamic characteristics of ship under the coupling of pitching and rolling[D]. Zhenjiang： Jiangsu University of Science and Technology， 2016.

[12] Neves M A S， Rodríguez C A. Influence of non-linearities on the limits of stability of ships rolling in head seas[J]. Ocean Engineering， 2007， 34（11-12）：1618-1630.

[13] 侯圣賢. 迎浪航行時船舶垂蕩縱搖運動建模與仿真[D].大連：大連海事大學， 2015.

Hou Shengxian. Simulation on ship heave and pitch motions in head seas[D]. Dalian：Dalian Maritime University， 2015.

[14] Tezdogan T， Incecik A ， Turan O. Full-scale unsteady RANS simulations of vertical ship motions in shallow water[J]. Ocean Engineering， 2016， 123：131-145.

[15] Somayajula A， Falzarano J. Critical assessment of reverse-MISO techniques for system identification of coupled roll motion of ships[J]. Journal of Marine Science and Technology， 2017， 22（2）：231-244.

[16] Deng L， Dong W C， Yao C B. Numerical study on the nonlinear characteristics of longitudinal motions and wave loads for SWATH ship in regular head waves[J]. Journal of Ship Mechanics， 2017， 21（3）：249-262.

[17] 胡安康，劉亞沖，盧 雨，等. 基于多尺度法的船舶非線性橫搖運動特性研究[J]. 中國造船， 2016， 57（2）：13-21.

Hu Ankang， Liu Yachong， Lu Yu， et al. Research on ships nonlinear rolling motion based on multi-scale method[J]. Shipbuilding of China， 2016， 57（2）：13-21.

[18] 劉鎮星， 劉占生， 于香宇， 等. 艦船搖擺作用下滑動軸承-齒輪副系統動力學分析[J]. 機械工程學報， 2018， 54（17）：226-234.

Liu Zhenxing， Liu Zhansheng， Yu Xiangyu， et al. Dynamic analysis of journal bearing-gear system under swing movement of the ship[J]. Journal of Mechanical Engineering， 2018， 54（17）：226-234.

[19] Zhang G H， Liu S P， Ma R X， et al， Nonlinear dynamic characteristics of journal bearing-rotor system considering the pitching and rolling motion for marine turbo machinery[J]. Journal of Engineering for the Maritime Environment， 2015， 229（1）：95-107.

[20] 陳 燎，周孔亢，李仲興. 空氣彈簧動態特性擬合及空氣懸架變剛度計算分析[J]. 機械工程學報， 2010， 46（4）：93-98.