別漢棱鏡角度誤差對光軸一致性影響的研究

張 娟,楊加強,彭晴晴,王 希,杜曉宇

(中國電子科技集團第十一研究所,北京 100015)

1 引 言

在周視掃描成像系統中,探測器上接收到的圖像會出現隨著掃描而發生圖像跟隨軸旋轉的像旋現象,影響系統正常成像。因此需要對所成的像進行處理或者對光學系統進行改進以達到消像旋的目的。對應的消像旋方法分別是利用圖像處理等手段進行電子消像旋或者在光學系統中加入光學消像旋裝置進行光學消像旋。前者消像旋的方式雖然結構簡單,但獲取圖像信息有延遲,多用于對實時性要求不太高的儀器中[1-4]；而后者能夠及時獲得圖像信息。由于別漢棱鏡具有如下優點:(1)別漢棱鏡體積較小,結構緊湊,在比較短的實際距離內包含的光路特別長,從而大大縮小了整個系統的體積；(2)因為空氣與玻璃交界面垂直于光軸,可用于會聚光路中。因此別漢棱鏡被廣泛地應用于消像旋系統中。在用別漢棱鏡進行消像旋的系統中,如果對別漢棱鏡的角度誤差控制不嚴格,系統在工作時會出現光軸偏移或傾斜現象,影響系統使用,因此需要嚴格控制別漢棱鏡的角度誤差,保證出射光軸與入射光軸的一致性。國內外文獻對于別漢棱鏡膠合過程中三軸(光軸、機械軸、棱鏡軸)不重合的誤差已經做了非常詳細的分析[5-7],但對于別漢棱鏡自身角度誤差的分析卻很少提及。

本文首先推導了反射光線、折射光線和三維坐標系旋轉的矢量形式表達式,建立了別漢棱鏡角度誤差模型,通過分析光線在別漢棱鏡內的傳播路徑,并在Matlab中計算得到經過別漢棱鏡之后出射光軸的方向向量及其相對入射光軸的偏差,通過光線追跡仿真的方法和實驗論證的方法,驗證了建立角度誤差模型及理論計算的正確性,根據理論計算結果調整兩棱鏡之間的相對位置,使棱鏡的出射光軸與入射光軸保持一致,縮短了棱鏡膠合時間。

2 理論分析與推導

如圖1所示,別漢棱鏡由半五角棱鏡Ⅰ和施密特棱鏡Ⅱ組成。圖中給出了光線在別漢棱鏡內的傳播路徑,光線傳播遵循反射定律和折射定律。因此,首先分析并推導折射光線和反射光線的矢量形式。

圖1 別漢棱鏡的組成Fig.1 Composition of Pechan prism

在棱鏡的加工過程中,由于加工精度等其他因素的影響會產生很多誤差。其中,對光軸一致性影響最大的誤差是主截面內的角度誤差和棱鏡Ⅰ與棱鏡Ⅱ交界處的棱的幾何位置誤差。當光線傳播到存在幾何位置誤差的表面時,該表面的法線向量是空間向量,光線與該表面法線的夾角是空間角,法線是繞該表面在主截面內的投影旋轉得到,因此需要推導坐標系旋轉的矢量形式表達式。

2.1 反射光線的矢量形式推導

圖2 光的反射與折射的矢量形式示意圖Fig.2 Schematic diagram of the vector form oflight reflection and refraction

根據反射定律可知,入射光線和反射光線位于同一平面內,反射角與入射角相等,即法線是入射光線和反射光線的角平分線,因此反射光線的矢量形式可表示為公式(1):

(1)

2.2 折射光線的矢量形式推導

(2)

(3)

(4)

(5)

根據圖2所示的向量之間的關系,可以求出:

(6)

將公式(6)代入公式(4),可以得到:

(7)

(8)

因此,折射光線的方向向量為:

(9)

2.3 三維坐標系旋轉的矢量形式推導

圖3 坐標系旋轉模型Fig.3 Coordinate system rotation model

最終推導出的旋轉矩陣M的表達式如公式(10)所示:

(10)

則Q點的坐標可用公式(11)求出:

(11)

3 別漢棱鏡角度誤差模型與光軸一致性計算

對別漢棱鏡進行膠合時,通常在物方放置一臺自準直儀,發射“十字叉絲光源”,當別漢棱鏡存在角度誤差時,從棱鏡的AB面、AD面、EF面和EH面會反射回“十字叉絲光源”的像,這些不重合的像反映了出射光軸與入射光軸之間的偏差,即光軸一致性。通過在半五角棱鏡Ⅰ和施密特棱鏡Ⅱ之間的空氣間隙填充墊片,調整半五角棱鏡Ⅰ和施密特棱鏡Ⅱ的相對位置,使得這些像重合在一起,此時出射光軸與入射光軸保持光軸一致性,既不偏移也不傾斜[8]。這樣,當棱鏡在系統中旋轉時,出射光軸的方向向量將不會改變,像也不會發生擺動,從而實現消像旋的目的。

為了便于棱鏡膠合,需要知道別漢棱鏡存在不同的角度誤差時,從棱鏡各個表面反射回來的出射光軸與入射光軸之間的偏差,由于棱鏡的角度誤差對出射光軸的影響并不能通過簡單的幾何關系求得,因此需要對別漢棱鏡進行建模,分析推導光線經過棱鏡每個表面的法線的方向向量和出射光線的方向向量,經過計算求出由角度誤差引起的出射光軸的方向向量及其與入射光軸之間的夾角,即可得知出射光軸相對于入射光軸的偏差。

在第2節中介紹并推導了分析棱鏡角度誤差需要用到的相關理論,本節在此理論的基礎上,對別漢棱鏡進行建模,并定量分析別漢棱鏡的角度誤差對出射光軸與入射光軸的光軸一致性的影響。

定義半五角棱鏡的第一和第二角度誤差分別是θ1和θ2,施密特棱鏡的第一和第二角度誤差分別為是θ3和θ4,其中,第一角度誤差主要是針對主截面內的45°角而言,第二角度誤差是針對兩個斜面相對于主截面的垂直度而言,規定角A和角E小于45°時的角度誤差為正值,按圖中所示的主截面與垂直于主截面的表面的角度小于90°時的角度誤差為正值。建立如圖4所示的別漢棱鏡角度誤差模型,當別漢棱鏡存在角度誤差時,AD面的法線為空間直線,經過AD面的反射光線不能通過簡單的幾何關系推導得出。因此需要建立空間坐標系模型,根據光線與每個表面的關系和第2節中的相關理論,即可求得由角度誤差引起的出射光軸的方向向量及其與入射光軸之間的夾角。

圖4 別漢棱鏡角度誤差模型Fig.4 Pechan prism angle error model

Matlab是一款非常強大的數學軟件,它的基本數據單位是矩陣,可以進行復雜的矩陣運算,上述計算過程的每一步都涉及到矩陣,且最終結果不能通過一個簡單的表達式來概括,只能通過逐層計算,因此,選擇Matlab對出射光軸的方向向量及其相對于入射光軸的偏差進行計算。表1給出了別漢棱鏡不存在角度誤差、存在單一角度誤差和存在所有角度誤差的情況下,入射光軸經過棱鏡之后出射光軸的方向向量及其相對于入射光軸的偏差的理論值,其中,最后一列數據的角度誤差值(θ1,θ2,θ3,θ4)=(3.6″,-10″,10.8″,-10″)為實際實驗測得的角度誤差數據,表2給出了入射光軸經表面AB、AD、EF和EH反射回物方的出射光軸的方向向量以及與入射光軸之間的偏差的理論值。表格中與x和y軸的偏差的正負與向量所在象限的正負一致。

表1 入射光軸經棱鏡之后出射光軸相對于入射光軸的偏差的理論值Tab.1 The theoretical value of the deviation of the incident opticalaxis from the incident optical axis after passing through the Prism

表2 入射光軸經棱鏡不同表面反射回物方的出射光軸相對于入射光軸的偏差的理論值Tab.2 The theoretical value of the deviation of the incident optical axis from the incident optical axiswhen the incident optical axis is reflected back to the object by the different surfaces of the prism

4 仿真分析與實驗驗證

為了驗證建立的誤差模型及計算結果的準確性,設計了一個對稱光學系統,如圖5所示,光學系統焦距為95.2 mm。當一束有發散角的光線經過光學系統之后變成準直光線進入別漢棱鏡,經過理想別漢棱鏡之后以準直光束出射,再經過對稱的光學系統成像在像面上。

圖5 對稱光學系統光路圖Fig.5 Optical path diagram of symmetrical optical system

將設計好的光學系統導入LightTools中,如圖6所示為光學系統在LightTools中的模型。在系統物方設置“十字叉絲光源”,改變別漢棱鏡的角度誤差,設置每個光學元件的材料屬性和表面屬性,為了能看到反射回的“十字叉絲光源”的像,設置光線功率閾值為1×10-6W,追跡100萬根光線,“十字叉絲光源”經過光學系統之后所成的像如圖7所示,由于角度誤差導致光線從表面AD、EF和EH反射回來的像如圖8所示,根據像的位置可以計算出出射光軸相對于入射光軸的偏差,表3為經棱鏡正常光路折反射之后的出射光軸相對于入射光軸的偏差的仿真值,表4為從不同位置反射回的出射光軸相對于入射光軸的偏差的仿真值。其中,Δx和Δy分別為像在x方向和y方向的偏移量,θx和θy分別為像與x軸和y軸的偏差;θ為出射光軸與入射光軸之間的夾角。

表4 入射光軸經棱鏡不同表面反射回物方的出射光軸相對于入射光軸偏差的仿真值Tab.4 The simulated value of the deviation betweenthe incident optical axis and the incident optical axiswhen the incident optical axis is reflected back to theobject from different surfaces of the Prism

圖6 光學系統在LightTools中的模型Fig.6 The model of the optical system in LightTools

圖7 光源經棱鏡正常光路折反射所成的像Fig.7 The image formed by the refraction and reflection ofthe light source through the normal optical path of the prism

圖8 光源經棱鏡不同位置反射所成的像Fig.8 The image formed by the light source reflected atdifferent positions of the Prism

表3 入射光軸經棱鏡之后出射光軸相對于入射光軸偏差的仿真值Tab.3 The simulation value of the deviation of theincident optical axis from the incident optical axis afterthe incident optical axis passes through the Prism

在LightTools中通過光線追跡的方法可得知:在圖8中,a、b、c、d分別為光源經表面AB、表面AD、表面EH、表面EF反射回來的像,b和c重疊。

對比表1～表4,可以得出:通過成像仿真的方法得到的仿真值與通過建模計算得到的理論值相吻合,這說明第3節建立的模型以及計算推導過程是正確的。因為從仿真結果圖中讀取偏移量時有誤差,因此,仿真值與理論值不能完全重合。

依據上述理論,對別漢棱鏡膠合過程進行指導,用兩臺自準直儀使其光軸重合,其中一臺平行光管的像與另一臺平行光管的分劃板重合,首先固定棱鏡Ⅰ,并進行自準直,再放置棱鏡Ⅱ,在兩棱鏡之間的空氣間隙放置墊片,實驗所得從棱鏡不同表面反射回的“十字叉絲光源”的像的位置如圖9所示,圖9和圖8所示的“十字叉絲”的位置相一致,說明上述仿真結果與建立的角度誤差模型及理論計算是正確的。根據理論計算結果,調整棱鏡Ⅱ的相對位置,最終使得四個“十字叉絲光源”的像重合在一起,此時,棱鏡出射光軸與入射光軸一致,既不偏移也不傾斜。以此為零位,將整個棱鏡翻轉180°進行測量,測量結果為:出射光軸與入射光軸的重合精度為24.57″。圖10為反射的“十字叉絲”重合之后經棱鏡正常折反射之后所成的像。

圖9 從棱鏡不同表面反射的“十字叉絲”的像Fig.9 The image of "cross hairs" reflected fromdifferent surfaces of the Prism

圖10 經棱鏡正常折反射之后的像Fig.10 The image after normal refraction and reflection through a prism

5 結 論

為了提高別漢棱鏡膠合效率。本文首先分析并推導了反射光線、折射光線和三維坐標系旋轉的矢量形式表達式,在這些理論推導的基礎上,建立了別漢棱鏡角度誤差的數學模型,推導出入射光軸經棱鏡折反射之后的出射光軸的方向向量和入射光軸經棱鏡不同表面反射回物空間的出射光軸的方向向量,并在Matlab中實現出射光軸相對于入射光軸的偏差的計算。在LightTools軟件中通過光線追跡的方式仿真別漢棱鏡成像,論證了建立模型及理論計算的正確性,通過實驗進一步驗證了仿真結果與理論分析計算結果是正確的,根據理論計算結果調整兩棱鏡之間的相對位置,使四個十字叉絲互相重合,此時測量得到出射光軸與入射光軸的光軸一致性為24.57″,縮短了棱鏡的膠合時間,提高了棱鏡的膠合效率和光軸一致性精度。