對物理圖像題易錯點的探討

鄭 金

(遼寧省凌源市職教中心，遼寧 朝陽 122500)

對于某些以物理圖像為背景的問題，或者利用圖像法進行解題時，有時會出現一些錯題或錯解，包括給出的圖像、利用圖像解題時出現的錯誤等。筆者通過對物理圖像的分析與研究，助力于讀者對圖像及圖像問題的正確理解。

1 忽視圖像端點處的斜率導致錯誤

對于質點的運動圖像，其端點反映運動的起點和終點情況。一般來說，如兩個質點同時運動，利用速度圖像的端點對應的時刻、速度和加速度的關系，可以比較各量的大小，但有時需用切線斜率的絕對值表示加速度的大小，用速率圖像下的“面積”表示路程。

例1：甲、乙兩物體從地面同時豎直向上拋出，甲只受重力，乙除了受重力，還受到大小跟速率成正比的空氣阻力作用；它們同時到達同一最大高度，則在此過程中，兩物體的速度大小關系是( )。

A. 甲始終比乙大

B. 乙始終比甲大

C. 開始甲較大，后來乙較大

D. 開始乙較大，后來甲較大

圖1

原解：用v-t圖像來比較速度變化情況。已知“兩物體從地面同時豎直上拋”和“同時到達同一最大高度”，則它們的運動時間相同、位移相同，故兩者的v-t圖像末端交于t軸的同一點；兩者的v-t圖像與時間軸圍成圖形的“面積”相同。甲物體豎直上拋，做勻減速直線運動，則其v-t圖像為向下傾斜的直線；乙物體上拋，除受重力外，還受到向下的阻力f=kv，做減速運動，但阻力逐漸減小，則合力逐漸減小，加速度逐漸減小，其v-t圖像切線的傾斜程度逐漸減小，可知v-t圖像隨時間的增大而逐漸向上彎曲，是向下凹的一段曲線。由于兩個v-t圖像下的“面積”相等，而且終點相同，則兩者的v-t圖像的起點(即初速度)不可能相同，甲的初速度必小于乙的初速度，在到達最高點之前曲線與直線相交，畫出兩者的v-t圖像如圖1所示。由圖1可知，兩個物體瞬時速度的大小關系是開始乙較大，然后甲較大，選項D正確。

探討：當乙物體上升到最高點時，速度為零，所受空氣的阻力為零，因此此時的加速度等于重力加速度，甲、乙兩物體到達最高點時的加速度相同，在v-t圖像中，曲線與橫軸交點處切線斜率的絕對值表示加速度，如圖2所示，在橫軸交點處曲線的切線應該平行于傾斜的直線。由此可見，兩者的v-t圖像與橫軸的交點不可能相同，兩個物體不可能同時到達最高點，受到空氣阻力的乙先到達最高點，那么圖1中的v-t圖像是錯誤的。由圖2可知，兩個物體瞬時速度的大小關系是開始乙較大，然后甲較大，選項D正確。

圖2

修改：對于這道題，雖然由圖1和圖2得到了相同的答案，但原題和原解都存在錯誤。對原題有兩種修改方案，其一是把“乙除了受重力，還受到跟速率成正比的空氣阻力”改為“乙做加速度逐漸減小的減速運動”，則速度圖像如圖1。其二是把“它們同時到達同一最大高度”改為“它們能夠到達同一最大高度”，則v-t圖像如圖2，2014年重慶高考物理卷第5題考查的即是此圖。

2 忽視圖像的彎曲方向導致錯誤

若圖像切線的斜率保持不變，則圖像為直線；若圖像切線的斜率發生變化，則圖像為曲線。若斜率逐漸增大，則圖像隨自變量的增大逐漸向上彎曲；若斜率逐漸減小，則圖像隨自變量的增大而逐漸向下彎曲。對于圖像的曲直以及凹凸，可根據切線的斜率是否變化以及如何變化來判斷。

圖3

例2：如圖3所示，一根上細下粗、粗端與細端都均勻的玻璃管豎直放置，上端開口，下端封閉，上端足夠長，下端(粗端)中間有一段水銀柱封閉了一定質量的理想氣體，現對氣體緩慢加熱，氣體溫度不斷升高，水銀柱上升，則封閉氣體的體積與熱力學溫度的關系最接近圖4中的( )。

圖4

原解：當水銀柱在粗管中上升時，封閉的理想氣體發生等壓變化；當水銀柱有一部分在細管中上升時，封閉氣體的壓強逐漸增大；當水銀柱全部上升到細管時，再次發生等壓變化，但先后兩次等壓變化的壓強不同，第一次壓強較小，第二次壓強較大。由于等壓變化的V-T圖像是過坐標原點的傾斜直線，壓強越大，斜率越小，因此后來直線的斜率應較小，選項B、C錯誤。由于水銀柱在剛進入細管和剛離開粗管時壓強發生突變，因此V-T圖像會發生兩次轉折，選項D正確。

圖5

圖6

圖7

3 誤解圖像的“面積”的物理意義導致錯誤

3.1 圖線與不同坐標軸圍成“面積”的物理意義不同

對于圖像的“面積”，要注意是圖線與哪個坐標軸圍成的“面積”，或者是封閉曲線內部的“面積”還是兩個圖線之間的“面積”。雖然有時根據不同的“面積”可得到相同結果，但選擇的“面積”要有確切的物理意義。

例3：氣缸內封有一定質量的理想氣體，初態體積為V1，壓強為p1，當劇烈受熱時，其體積膨脹為V2。設膨脹過程中氣體體積的平方與熱力學溫度成正比變化，求在上述過程中氣體對外界做了多少功？

圖8

3.2 “速率-時間”與“速度-時間”圖像不同

對于直線運動，速度-時間圖線與時間軸圍成的“面積”表示位移，如果“面積”中有負值，那么總位移在數值上等于各部分“面積”的代數和。對于曲線運動，速率-時間圖線與時間軸圍成的“面積”表示路程。

例4：如圖9所示，物體(可以看成質點)第一次由靜止開始沿著光滑斜面從頂端A點下滑到斜面底端B點，所用時間為t1；第二次由靜止開始沿著光滑球面從頂端A點下滑到球面底端B點，所用時間為t2，若球面下端與水平面相切，則兩次運動時間的大小關系為( )。

圖9

A.t1>t2

B.t1=t2

C.t1

D. 不確定

原解：利用速度-時間圖像進行分析，物體沿著斜面AB下滑的運動是勻加速直線運動，v-t圖像是傾斜直線；沿著曲面ACB下滑的運動是加速度不斷變化的加速運動，加速度開始時較大，然后逐漸減小，v-t圖像為上凸曲線。由于二者運動的末速度大小相等，因此圖像的上端在同一條水平線上；由于二者發生的位移相同，v-t圖線與橫軸圍成圖形的“面積”相等，可畫出v-t圖像如圖10所示，則有t1>t2，選項A正確。

圖10

圖11

探討：對于曲線運動，畫出的v-t圖像應該是“速率-時間”圖像，而不是“速度-時間”圖像，那么圖像下的“面積”表示路程而不是位移的大小，故上述解法是錯誤的。若圖9中的曲面長度與斜面長度相等，即路程相等(圖11)，那么路程-時間圖像如圖10所示，則有t1>t2，選項A正確。

另解：曲線運動的速率-時間圖線與橫軸圍成的“面積”表示路程，由于圖9中沿曲線運動的路程大于沿直線運動的路程，因此速率-時間圖像有三種情形，畫出v-t圖像如圖12所示。故選項D正確。

圖12

探討：由于題中確定了曲面軌道是球面，那么速度-時間圖像只能出現一種情況，因此圖12是錯誤的。該題無法用圖像法解答，只能進行定量推導來解答。

修改：綜上所述，該題在高中物理知識范圍內是無法解答的。可有多種修改方案，其一，若在原題中補充一個條件“斜面的傾斜角小于5°”，則選項A正確；其二，若把原題圖9改為圖11，并且補充一個條件“曲面長度與斜面長度相等”，則選項A正確，但在畫圖時要注意圖像端點處的斜率為零，即在圖10中曲線的上端與水平線相切，因為曲面下端與水平面相切，則質點在末態時的加速度為零。

對于原題，若把“球面”改為“曲面”，不明確曲面軌道的具體形狀，那么速率圖像是否為圖12呢？這是一個值得探討的問題，因為需要論證是否存在一種曲面，使質點沿該曲面下滑的時間等于沿其兩端確定的斜面下滑的時間，或者大于沿其兩端確定的斜面下滑的時間，如果不存在，那么圖12就是錯誤的。

4 結語

在教學過程中，既要謹防錯題和錯解的出現，又要善于發現錯題和錯解，充分利用“錯誤”資源，變廢為寶，可起到精準把脈、對癥下藥的功能。這種特殊的教學方式，可激發學生求知的興趣和動力，促進思考、活躍思維，有助于提高教學效率和效果，更好地提升學生的核心素養。