p-范分布中參數(shù)的置信區(qū)間

李雙雙，胡宏昌

(湖北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 黃石 435002)

0 引言

在處理數(shù)據(jù)時(shí)，當(dāng)觀測(cè)誤差為單峰、對(duì)稱分布時(shí)，可以假設(shè)其服從p-范分布。已有許多學(xué)者對(duì)p-范分布進(jìn)行了深入研究，如：文獻(xiàn)[1]定義了χp分布、tp分布、Fp分布，并給出了它們的密度函數(shù)，為p-范分布的進(jìn)一步研究提供了便利；文獻(xiàn)[2]得到了在不同情況下p-范分布各個(gè)參數(shù)的計(jì)算公式；文獻(xiàn)[3]研究了p-范分布的假設(shè)檢驗(yàn)，對(duì)μ,p進(jìn)行了U檢驗(yàn)，對(duì)單總體的σ進(jìn)行了χp檢驗(yàn)，對(duì)雙總體的σ進(jìn)行了Fp檢驗(yàn)，文中的統(tǒng)計(jì)量對(duì)本文中的樞軸量的確定極為重要。文獻(xiàn)[4]表明p范分布可以近似地表示為拉普拉斯分布與正態(tài)分布或可表示為正態(tài)分布與均勻分布的線性組合，在解決相關(guān)問(wèn)題時(shí)，用近似分布來(lái)代替p范分布會(huì)讓其更簡(jiǎn)單。文獻(xiàn)[5～10]也都對(duì)p范分布進(jìn)行了深度研究。

盡管學(xué)者們對(duì)于p-范分布的研究成果十分豐富，但關(guān)于p-范分布各參數(shù)的置信區(qū)間的研究還未提到，因此本文對(duì)于p-范分布的各單個(gè)參數(shù)的置信區(qū)間進(jìn)行了研究。基于已有的相關(guān)結(jié)論，確定合適的樞軸量及其分布，用樞軸量法確定p-范分布中各參數(shù)在不同情況下的置信區(qū)間或近似置信區(qū)間。

1 p-范分布及其抽樣分布

為了求p-范分布各參數(shù)的置信區(qū)間，我們簡(jiǎn)要介紹p-范分布及其抽樣分布，詳見(jiàn)文獻(xiàn)[1]。

定義1 令Γ(x)為伽瑪函數(shù)，λ=[Γ(3/p)/Γ(1/p)]1/2，則期望為μ，方差為σ2的一元p-范分布的密度函數(shù)為

其中B(x,y)為貝塔函數(shù)。

2 單總體的參數(shù)置信區(qū)間

設(shè)X1,X2,…,Xn是從p-范分布總體X抽出的容量為n的子樣，觀測(cè)值為x1,x2,…,xn.

2.1 μ的置信區(qū)間

2) 當(dāng)σ未知時(shí)，σ用矩估計(jì)代替，得μ的1-α近似置信區(qū)間為

2.2 σp的置信區(qū)間

2) 當(dāng)μ未知時(shí)，用矩估計(jì)代替，得σp的1-α近似置信區(qū)間為

2.3 h(p)的置信區(qū)間

當(dāng)μ,σ已知，不妨設(shè)為μ=0，σ=1，由文獻(xiàn)[3]知

h(p)=Γ(1/p)Γ(5/p)/Γ2(3/p)

3 雙總體的參數(shù)置信區(qū)間

設(shè)X1,X2,…,Xn1是從總體X(三個(gè)參數(shù)為μ1,σ1,p1)抽出的容量為n1的子樣，觀測(cè)值為x1,x2,…,xn1；Y1,Y2,…,Yn2是從總體Y(三個(gè)參數(shù)為μ2,σ2,p2)抽出的容量為n2的子樣，觀測(cè)值為y1,y2,…,yn2.

3.1 μ1-μ2的置信區(qū)間

2) 當(dāng)σ1,σ2未知時(shí)，用矩估計(jì)代替，得μ1-μ2的1-α近似置信區(qū)間為

3.3 h(p1)-h(p2)的置信區(qū)間

同2.3節(jié)一樣，不妨假設(shè)μ1=μ2=0,σ1=σ2=1，由文獻(xiàn)[3]知

h(p1)=Γ(1/p1)Γ(5/p1)/Γ2(3/p1)

h(p2)=Γ(1/p2)Γ(5/p2)/Γ2(3/p2)

4 模擬算例

例1 單總體的參數(shù)μ的置信區(qū)間

[4.7532,5.1452]，包含真值μ=5.

例2 單總體的σp的置信區(qū)間

在(1)式中，令p=2.4,μ=0,σ=1，隨機(jī)生成100個(gè)隨機(jī)數(shù)。

例3 單總體p的置信區(qū)間

在(1)式中，令p=1,μ=0,σ=1，隨機(jī)生成100個(gè)隨機(jī)數(shù)。

設(shè)總體的μ=0，σ=1，α=0.05,u1-α/2=1.96，通過(guò)計(jì)算得h(p)的置信水平為0.95的近似置信區(qū)間為[4.7477,22.5826]，進(jìn)一步計(jì)算得p的置信水平為0.95的近似置信區(qū)間[0.52,1.20]，包含真值p=1.

例4 雙總體的μ1-μ2的置信區(qū)間

在(1)式中，令p=1.6,μ=0,σ=1，兩次分別隨機(jī)生成120個(gè)隨機(jī)數(shù)，分別記為X1,X2,…,X120,Y1,Y2,…,Y120.

在式(1)中令p=1.4,μ=0,σ=1，兩次分別生成120個(gè)隨機(jī)數(shù)，分別記為X1,X2,…,X120,Y1,Y2,…,Y120.

例6 雙總體的p1-p2的置信區(qū)間

在式(1)中令p=1.4,μ=0,σ=1，兩次分別生成120個(gè)隨機(jī)數(shù)，分別記為X1,X2,…,X120,Y1,Y2,…,Y120.已知μ1=μ2=0,σ1=σ2=1，計(jì)算得

[-1.4686,0.5388]，包含真值p1-p2=0.

5 結(jié)論

上面研究了p-范分布的三個(gè)參數(shù)在不同情況下的(近似)置信區(qū)間，并通過(guò)模擬算例證明了上述置信區(qū)間的結(jié)論是可靠的。雖然在一定程度上豐富了p-范分布置信區(qū)間的內(nèi)容，但對(duì)于p-范分布置信區(qū)間的研究不止于此，本文所得出的置信區(qū)間還不夠精確，為了得到進(jìn)一步的精確結(jié)果還需要更進(jìn)一步的研究。