基于模糊數學的博弈論組合賦權法邊坡穩定性評價

周錦濤

(三峽大學水利與環境學院，湖北 宜昌 443000)

邊坡失穩是工程中常見的問題，嚴重影響著工程安全，而邊坡穩定性評價在邊坡工程有著重要的作用，是判斷邊坡是否失穩的重要依據，所以如何對邊坡的穩定性進行合理評價是一個值得研究的問題。目前，很多專家提出了不同的意見，王采慶等[1]將天然邊坡看作是部分信息已知、部分信息未知的灰色系統，用灰色聚類方法預測其穩定性；李克鋼等[2]采用改進的動態權值評價方法，對邊坡穩定性進行評價，利用關聯度函數在一定程度上克服了專家評分的主觀性；趙永虎等[3]利用可拓理論建立了物元模型，結合灰色關聯分析法確定各評價因子的權重，對黃土斜坡進行穩定性評價，彌補了可拓法中權重難以確定的不足。上述研究成果在實際應用中取得了較好的效果，但存在一定局限性，對于邊坡穩定性評價，最主要的問題就是確定合理的指標權重。灰色聚類法在聚類指標的選取過程中，過于依賴經驗性質，精度較低；改進的動態權值評價方法雖然改善了確定權重過程中的主觀性問題，但對于理想對象的選取尚無統一標準。

本文在上述研究基礎上提出基于模糊數學的模糊綜合評價模型，采用博弈論思想將以層次分析法確定的主觀權重和以熵權法確定的客觀權重組合起來得到組合權重，兼顧了主客觀兩方面，綜合考慮指標之間的關系，賦權結果較2種單一的賦權方法更科學合理，從而為邊坡的治理提供科學依據和建議。

1 模糊綜合評價模型的建立

邊坡的穩定性是由多種因素共同影響的結果，為了綜合考慮多種因素的影響，本文結合蔣家淌滑坡實例建立了模糊綜合評價模型[4-5]，將邊坡評價過程中難以量化的、非確定性指標的定性評價轉化為定量評價，使每個評價指標相對于不同的等級都有不同的隸屬度，評價結果更清晰。

1.1 評價指標的確定及評價等級的劃分

根據邊坡的實際地質環境條件和評價系統的合理性[6-7]，選取地形地貌、地質結構、巖土性質、賦存環境4個一級指標Ci，以及坡高、節理發育與組合、內摩擦角、大氣降雨等16個二級指標Cij，見圖1。

圖1 邊坡穩定性綜合評價指標

根據巖質邊坡的穩定性，結合蔣家趟邊坡地質情況將評價結果劃分為4個等級[8]，即：穩定(Ⅰ)、較穩定(Ⅱ)、不穩定(Ⅲ)、極不穩定(Ⅳ)，表示為Nj={N1,N2,N3,N4}={Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ}。

1.2 確定模糊關系矩陣

分別對每一個因素進行評價，確定評價對象對評價集合Ni的隸屬程度，從而得到模糊關系矩陣R。例如對一級指標C1，其模糊關系矩陣如下：

(1)

式中rij——一級指標C1中第i個二級指標對于評價等級j的隸屬程度。

1.2.1定量指標

對所有指標進行考察得知，坡高、坡腳、植被覆蓋率、內摩擦角、黏聚力、大氣降雨為定量因素，故采用嶺形分布函數確定其隸屬度取值[9]。

(2)

(3)

(4)

式中x——評價指標的實際取值；a、b、c——評價級別的基準界限值，對于輸入的定量數據，經隸屬函數模糊化后寫成矢量式uⅠ(x)、uⅡ(x)、uⅢ(x)、uⅣ(x)，它們分別對應定量指標各評語的隸屬度。

1.2.2定性指標

邊坡的穩定與否,不僅取決于巖土體內部地質結構,也取決于外部環境因素的影響,是多種因素的綜合作用。根據已有的研究結果[10]以及國家規范標準[11-13],遵循重要性、獨立性和易測性的原則,同時考慮實際工程經驗[14-15],結合邊坡實際資料確定其定性指標隸屬度取值見表1。

表1 定性指標隸屬度取值

1.3 權重的確定

1.3.1層次分析法

層次分析法是目前計算主觀權重的常用方法，廣泛應用在解決復雜問題的決策分析方面，其具體的計算步驟如下。

a)根據實際情況建立層次分析結構模型。

b)構造判斷矩陣[16-17]。根據目標層確定各因素之間相對重要程度，結合九段標度法(表2)，構造兩兩比較的判斷矩陣A見式(5)。

表2 重要性標度含義

(5)

式中aij——比例標度，表示同層次中第i個元素與第j個元素相比前者的重要程度。

(6)

(7)

e)一致性檢驗[18]。依據公式AW=λmaxW，求出最大特征值λmax，進行一致性檢驗，見式(8)。

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(8)

式中λmax——判斷矩陣最大特征值；CI——一致性指標；CR——一致性比率；RI——平均隨機一致性指標，根據n不同取值見表3。

表3 平均隨機一致性指標RI

當CR<0.1時，認為判斷矩陣A具有滿意的一致性，否則需要重新調整判斷矩陣，重復上述步驟，直到滿足一致性檢驗為止。

1.3.2熵權法

熵權法廣泛應用于計算客觀權重方面[19]，主要依據客觀資料對指標賦權，避免了因為主觀人為因素的影響而導致賦權結果不準確的問題。其計算步驟如下。

a)設有m個評價對象、n個評價指標構成的模糊綜合評價矩陣R=(rij)m×n,見式(9)。

(9)

式中i、j——第i個評價對象和對應的第j個評價值(i=1，2，…，m；j=1，2，…，n)。

b)計算第j項指標的熵值ej，見式(10)。

(10)

c)確定熵權，見式(11)。

(11)

博弈論又被稱為對策論，是研究具有斗爭或競爭性質現象的理論和方法。本研究就是通過博弈論的思想將主客觀權重組合，進而得出最優組合權重[20]，其具體的操作步驟如下。

a)構造可能的權重集。假設使用L種方法計算權重，可知其中任意的一個權重集合以及這些權重向量的任何線性組合構成一組可能的權重，見式(12)。

(12)

式中ω——最終的權重集的綜合權重向量；βk——權重系數，且βk>0。

b)尋找最合理的權重向量。使用博弈論集結模型對L個權重集的權重系數βk進行優化計算，可以得到與各種權重分配方法協調、一致和平衡的組合權重結果，見式(13)。

(13)

式中ωg——第g種方式計算得出的權重集合。

c)求得最優組合系數。根據矩陣的微分性質，式(13)的最佳一階導數條件見式(14)，最終求得最優組合系數。

(14)

求出該解β=(β1，β2，…，βk)，進行歸一化處理，得出組合權重，見式(15)。

(15)

1.4 模糊綜合評價

通過上述分析，假設已求出(1)中C1的4個二級指標的權重集合：W1={w1，w2，w3，w4}，則C1指標的模糊綜合評判結果B1為：

B1=W1R1

(16)

同理，可得其他3個一級指標的模糊綜合評判結果B2，B3，B4，因此邊坡綜合評價矩陣為：

B={B1，B2，B3，B4}

(17)

組合賦權法求出4個一級指標的權重分配矩陣W，則最終評價結果為：

X=WB=(x1,x2,x3,x4)

(18)

通過最大隸屬度原則xmax={x1,x2,x3,x4}得出相對于Ni={N1,N2,N3,N4}={Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ}的評價等級。

2 實例分析

2.1 工程概況

湖北興山蔣家淌滑坡位于興山縣昭君鎮大禮溪村，前緣因山體滑坡擠壓，發生推移變形，侵占部分大禮溪河道，嚴重威脅到下方規劃大禮溪工業園及當地居民的生命財產安全。根據現場調查確定其指標調查結果見表4。

表4 蔣家趟滑坡穩定性調查結果

2.2 模糊綜合評價

對C1、C2、C3、C44個一級指標進行兩兩比較，構造判斷矩陣A。

(19)

由層次分析法中式(6)—(8)得4個一級指標的權重W=(0.115 0.239 0.592 0.054)，CR=0.066<0.1一致性檢驗合格。

以一級指標C1為例，結合式(2)—(4)，以及表1，可知C1的模糊評價矩陣R1為：

(20)

層次分析法確定權重為WC1=(0.245 0.483 0.192 0.080)；由熵權法確定權重為WS1=(0.247 0.254 0.207 0.292)；組合權重為W1=(0.245 0.458 0.194 0.103)。

由式(16)可知C1指標的綜合評價結果為：

B1=W1R1=

(0.305 0.275 0.271 0.149)

(21)

其余二級指標權重計算結果見表5。

表5 蔣家趟滑坡穩定性指標權重

以相同方法計算其余3個一級指標評價結果B2、B3、B4后，由式(18)得該邊坡模糊綜合評價結果。

X=WB=

(0.129 0.080 0.304 0.487)

(22)

由最大隸屬度原則可知xmax={0.129 0.080 0.304 0.487}=0.487，故蔣家趟邊坡的穩定等級為第Ⅳ級，極不穩定，與實際情況相吻合。

2.3 結果分析

將分別采用層次分析法、熵權法、博弈論組合賦權法的計算結果進行對比(表6),可以看出3種方法計算結果均為“極不穩定”，與實際情況相吻合，但相比于單一的層次分析法或熵權法，采用博弈論組合賦權法的模糊評價結果介于層次分析法和熵權法之間，這是因為在博弈論組合賦權的過程中不僅考慮到了主觀人為因素的影響，而且有效結合了客觀實際情況，使得評價結果能較好地處理各單因素變化對穩定性的影響，評價更為合理。

表6 評價結果對比

3 結語

a)在層次分析法和熵權法的基礎上采用博弈論組合賦權法對邊坡穩定性評價指標體系進行賦權，不僅考慮了主觀人為因素的影響，還有效結合了客觀實際情況，評價結果較單一賦權方式更合理。

b)構建了模糊綜合評價體系，該模型理論易懂，計算簡便，綜合考慮了多種因素的影響，每個評價指標相對于不同的等級都有不同的隸屬度，評價結果符合研究區的實際情況，可為邊坡的穩定性評價提供一定思路和參考價值。