分析力學中變分原理闡述與應用

薛皓翔

（蘭州大學核科學與技術學院，甘肅蘭州 730000）

0.引言

分析力學是一門以廣義坐標為描述質點系的變量，以虛位移原理和達朗貝爾原理為基礎，運用數學分析問題的角度出發，從而研究宏觀現象中的力學問題。分析力學的基本內容是闡述力學的普遍原理，由這些原理出發導出質點系的基本運動微分方程，并研究這些方程本身以及它們的積分方法。分析力學是經典物理學的基礎之一，也是整個力學的基礎之一。它廣泛用于核結構分析，航天力學以及各種動力學分析的實際工程應用中。作為其核心的變分法，透徹研究其分析問題的機理也具有較高地實際意義。

1.變分原理

所謂變分法，通俗地講，即研究泛函極值的一種手段或者說是方法，那么泛函又是函數的函數，更一般地說，在我們分析力學中所研究的泛函（I）指的是一個函數的集合（M）映到實數（R）的一個映射[1]。

那么為了更加清晰明了地闡述或者說表達我們所說的變分原理，我們假定有兩個曲線

我們將D(x)中拿出一個系數ε，則可以寫為D(x)=εξ(x)，而我們將D(x)稱之為F(x)的變分，記為δF(x)，其中ε為一個常數，當然通常在用變分法研究泛函極值的時候，ε通常為一個無窮小量，ξ(x)是自變量為x的任意函數，另外一曲線ξ(x)那么我們可以把ξ(x)看作是引起變分的一種擾動，此時我們對泛函變分問題的認識可能會更加具體，

變成了一個只有一個常數ε的函數組，即我們之前所提到的函數的集合，為了更清晰的認識這個問題，我們以最速曲線為實例，可以更好的說明我們想要表達的問題。

考慮最速曲線的實例，那么-F(x)則為其他的各種可能性（這種可能性是任意的），這也就是我們之前所提到的函數組，此時ξ(x)需要滿足兩個條件[1]：

（1）ξ(x)在A、B兩點處為零，即δF(x)在A、B處為零，否則我們所討論的問題將會改變，以至于接下來的討論將沒有意義；

（2）ξ(x)連續，其1、2階導數存在。

接下來我們來討論一下上式，其中的ε我們可以將其認為成控制因子，只有在ε=0的，取得極值，而ε為無窮小量也正是變分法的精妙之處，而ξ(x)即為我們之前所提到的一種擾動，它決定著趨于零的方式。

2.最速曲線

不同的ε對應不同的曲線，相應的與泛函所對應的不同的實數值，其中的ε1、ε2、ε3所對應的時間T也不相同，只有當ε=0（或者說無窮趨向于0）時，函數組-F(x)趨向于最速曲線所對應的F(x)，而我們提到的ξ(x)則決定著趨向于零的不同方式，當然這種趨向方式也是任意的。

而對于我們所要求的最速曲線的問題，其實就是算出，

所對應的極小值，其中，

當我們把它寫成一種更為一般的形式時，我們所求泛函即為：

該式被稱作單宗量Euler方程[2]，同樣的我們也能更為明了地理解變分的原理，對比兩式后我們發現在泛函取得極值時（或者說系統趨于穩定時）與我們轉化為函數極值問題得到相同的被積函數的形式，就可以更加深入地了解變分的原理。當然，凡事總是由一及多，由之前所推得的單宗量Euler公式，不難將其衍生到s個廣義坐標上去，容易得到：

此時，系統為s個自由度，被積函數變成了L（qα，qα'；t）（α=1、2、3……），上式也就變成了保守了體系下的Lagerange方程。

當我們分析整個過程的時候不難發現，我們的邏輯順序由自變量的變分出發，到函數變分，最后作用于泛函I的變分，而對于被積函數F的變分，δF=F(y+εξ，y'+εξ'；x)-F(y，y'；x)

此時的泛函S（qα，qα'）也就是我們定義的Hamilton作用量，確定泛函S的極值問題，就是最小作用量原理，有時也泛稱為變分原理，那么這也是由數學向分析力學的一種延伸。

3.約束

當然至此，我們還忽略了一個十分重要的問題，那就是任何實際的問題都存在約束f（qα，qα'；t）=0，那么這個約束的意義[2]是什么呢？通俗地講就是給我們假想的這種廣義坐標或者說廣義速度的變化給了限制，以虛功原理為例，假定在一管內，一靜止小球，在理想約束的條件下我們假想一個虛位移δr時，δr只可能沿著x方向，不可能有y方向的分量，原本在沒有約束的條件下我的δr可以是任意的，但當約束條件存在時，我的虛位移的變化變少了（更為科學地表述應當是自由度的減少），并且只能沿著特定的方向（即約束許可的軌跡）。同樣的對比虛功原理與達朗貝爾原理，從理論上講是對于靜力學問題的虛功原理和動力學問題的達朗貝爾原理，分析其本質上的原理是沒有能量的輸入。

而至于說對于變分法的另一種形式的理解，假定我們所取的u（y，z；x）和v（y，z；x）在其本質上可以為

由于ξ（x）的函數形式和ε的取值是任意的，所以u，v也可以是x，y，z的任意函數，當然在討論到泛函極值的問題是，ε為一個無窮小量，u和v在此時也就趨近于y和y'了。

4.結語

本文在闡述變分的原理時，以數學原理入手，從數學本身的角度來表述對于變分原理的看法，從對泛函極值的分析，轉化為我們所熟悉的函數取極值的問題，以此繼續在泛函取極值的情況下（轉化的函數取極值）推導出單宗量的Euler-lagrange方程，以此為基礎，考慮s個廣義坐標下的Lagrange方程，并考慮對于被積函數的變分從而引入的Hamilton原理，在取得泛函極值的情況下的最小作用量原理，并結合變分原理表達對于虛功原理與達朗貝爾原理的認識。