基于DTA的曲率計算在盾構姿態控制中的應用

張合沛/ZHANG He-pei

（盾構及掘進國家重點實驗室，河南 鄭州 450001）

受地質條件、地下環境如進站、出站、不同線路交匯、地面環境如躲避建筑物等各種因素的影響，地鐵隧道彎線設計是不可避免的。彎線的設計要考慮對行車過程的影響，不致為降低離心率過度減速、增加單側鐵軌的壓力等因素。彎線通常選用緩和曲線，關于緩和曲線的研究與設計種類有很多，有基于圓旋線的[1]，有基于分段三次樣條插值曲線的[2]，還有國外學者基于計算機圖形學中廣泛應用的B 樣條函數的[3]，有采用Bessel曲線做光滑拼接的[4]目的都是根據地勢環境的特點，設計出光滑的過渡曲線。建設地鐵的過程中，為提高效率、節約成本，使盾構在掘金的過程中保持正確的路線和姿勢是非常重要的，我們稱之為姿態控制。姿態控制和掘進速度大小的確定靠適時調整左右油缸壓力來實現。實際問題和大數據建模過程中發現，規劃路徑的彎曲程度是影響姿態控制的重要因素[5]。數學建模和數值方法的應用為提高了盾構掘進問題中許多問題的解決提供了有力工具，如大規模有限元計算方法正深入這一領域的研究[6]。對于不同的設計軸線曲率，各分區油缸壓力表現出不同的統計特性，我們曾嘗試依據區間總平面圖所提供的信息，分別標識直線掘進段環號與轉彎掘進段環號，詳細記錄轉彎方向（左或者右），最小轉彎半徑信息。對直線掘進段和轉彎段的數據分別建模，所得模型具有更好的可靠性。因此從規劃路徑的數據中用恰當的數值計算方法較精確的判別軌道彎曲升降趨勢是非常必要。判斷曲線彎曲一般用曲率，升降用斜率。一般情況下借助于一階差商、二階差商來做近似計算。鑒于數據按時間序列不一定是等距的，我們設計了一種較精確計算的方法，能高精度地計算出斜率和曲率。無論作為數學問題或是在工程特別是道路工程中都是非常有意義的。關于彎線設計與計算方法的文獻甚至軟件非常多，例如緩和曲線大多基于Taylor 展式[7]。鑒于曲率的重要性，而曲率計算需要一階導數和二階導數，經過細致探討，我們給出了非等距節點下一階導數、二階導數近似計算方法，一階導數關于尺度具有二階精度，二階導數達到一階精度，在此基礎上可以很好地計算出曲率。

1 算法推導

假設規劃路線的曲線方程為

t為某種參數，可看成時間或弧長等，（x，y，z)是直角坐標系下的位置坐標。實際上規劃路線是與時間沒有關系的，我們只是借助于這種人為時間參數避開直角坐標系的缺陷，可以更容易地求出曲率。這里的時間t也代表里程。

通常曲率的定義為切線關于弧長的變化率[8]，在直角坐標系下曲線y=f（x)在點（x，y)處的曲率k可表示為

按上面公式，根據參數方程下二階導數求導規則，可以得出按下面公式計算t時刻曲線的曲率k為

規劃曲線雖然是客觀存在的光滑曲線，但解析表達式并不知道，只知道盾構規劃中采集到的DTA 離散數據。我們忽略高程變化，假若盾構在一個平面內進行工作，在小范圍這樣假定也是合理的。

記掘進過程中記錄的點列為τj的大小反應采集點的密集程度。τj越小，采集的點越稠密。按如下公式來計算在第j點處一階導數、二階導數。先算一階導數近似值

這是一個非常合理的公式，在一點的導數值是左右兩側差商的加權平均值，如果某側差商的區間比較大，意味著逼近導數的效果會差一些，那么它所占的比重比較小；反之如果差商使用的區間小，這側差商占比重比較大。從理論上分析，利用Taylor 公式[9]可以證明真正的一階導數值與用差商計算出的近似值具有二階逼近性，事實上，將xj+1，xj-1在tj處做Taylor 展開，有

然后，用上面同樣的道理，再采用一階導數的近似值代替一階導數，進一步得到二階導數近似值

最終，我們可以借助于曲率來判斷直線或曲線段。當曲率足夠小的時候，就認為是直線段；當曲率比較大時，就認為是彎道。

另一方面，借助于高程z=z（t)的導數z′（t)來判定平、升降，導數足夠小認為是平的；導數大于0 時，就認為在上升，導數負則為下降。

2 理論分析

即近似曲率與真正曲率的差別kj?|≤Ch，近似曲率公式可達到關于小區間尺度的一階逼近精度。從理論分析上我們到算法的可靠性。

在盾構施工過程機器參數與姿態控制參數關聯分析、應用中，對給定的采樣序列（xi，yi，zi)，i=1，2，3，m，注意點列的選取按曲線的走勢選取，可以等距，也可以非等距。

3 在盾構掘進線路中的應用

以福州地鐵一段工程荊溪新城站至風井右線為例，觀察施工平面圖和斷面圖，結合我們設定的判別算法判定彎道區間、上坡下坡區間。該工段施工平面圖和施工斷面圖如圖1、圖2 所示。

圖1 施工平面圖

圖2 施工斷面圖

獲取該線路區間的DTA 文件示例如表1 所示，因數據量比較大，只列一部分。

表1 福州地鐵某段右線DTA數據示例

1 環相約相當于1.1m。里程與環相對應，里程可以折算成環。通過近1 000 環數據的計算，得到運行結果如表2 所示。

表2 升降彎曲區間統計結果

表2 中UP 代表上坡，DOWN 代表下坡，R代表右彎，L 代表左彎，-代表直線。

對照程序運行的結果和CAD 平面圖和斷面圖可以發現，我們的判定結果與設計圖是一致的。這說明上述推導的算法是正確的。

優質算法為區分直段與彎道、上坡下坡，正確建模提供了前期準備，為姿態控制、盾構掘進姿態智能化控制提供了可靠道路信息準備，我們在盾構與掘進大數據平臺許多子模塊中已使用了該項技術，效果較好。

4 結語

現實生活中曲線是客觀存在的，但解析表達式往往是不能表示出來的，實際問題中，受測量技術手段或儀器精確度的影響，能提供的數據大部分都是離散數據如時間序列。借助于數學工具分析時，往往需要變化率、加速度等值，如盾構掘進問題中需要求曲率，利用離散數據求導數、高階導數或它們的派生數據如曲率在現實問題中非常有必要。本文提出的非等距節點下求導數、二階導數、曲率的思想，在盾構掘進自動化、姿態控制數學建模中起到了很好的作用。數學方法具有通用性，這套計算方案完全可以應用到類似交通問題如高速鐵路緩和曲線[10]或其他有關時間序列問題中去。