基于石材粗加工工藝之懸臂梁的力學(xué)分析*

王君超，李麗萍

（廈門(mén)工學(xué)院機(jī)械科學(xué)與電氣工程學(xué)院，福建 廈門(mén) 361021）

0 引言

閩南地區(qū)的石材雕刻作為區(qū)域特色產(chǎn)業(yè)，其生產(chǎn)規(guī)模呈逐年擴(kuò)大的趨勢(shì)。然而，課題組從閩南地區(qū)的石材加工企業(yè)調(diào)研中發(fā)現(xiàn)，石雕的粗加工過(guò)程仍以人工為主，勞動(dòng)強(qiáng)度大，工作效率低，且產(chǎn)生的粉塵對(duì)環(huán)境質(zhì)量和加工人員健康存在嚴(yán)重影響。雖然目前市場(chǎng)上的各種加工設(shè)備種類(lèi)繁多，但均主要應(yīng)用于細(xì)雕過(guò)程，如橋切機(jī)、雕刻機(jī)、五軸加工軸心等。如利用其進(jìn)行石材粗加工，不僅耗時(shí)長(zhǎng)、效率低，且對(duì)機(jī)器的磨損大，維護(hù)成本高。

課題組利用巖石的脆性特點(diǎn)，為石材的粗加工提供一種新的加工方式，快速完成石材的粗雕過(guò)程，即將石材切成條形梁狀，然后加力使其彎曲斷裂破壞，實(shí)現(xiàn)快速粗雕加工[1-6]。

1 懸臂梁的力學(xué)模型

圖2 外力分解示意圖

2 懸臂梁的數(shù)學(xué)模型

2.1 內(nèi)力方程

以梁型結(jié)構(gòu)固定端的形心處作為坐標(biāo)原點(diǎn)，受力分析可知，在距離原點(diǎn)x處，以y為中性軸及z方向的彎矩用Mxz(x)表示為：

2.2 彎曲應(yīng)力方程

根據(jù)內(nèi)力方程，可以得到x、y、z三個(gè)方向上的應(yīng)力方程，其中x軸只有正應(yīng)力。

2.3 變形方程

由于脆性材料抵抗變形的能力較低，其斷裂條件可由其撓度作為控制條件。根據(jù)撓曲線微分方程，可推導(dǎo)出y、z兩個(gè)方向的撓度分別為：

2.4 扭轉(zhuǎn)應(yīng)力

當(dāng)?shù)戎本匦螜M截面桿件受到x軸正向的彎矩時(shí)，通常會(huì)直接引用彈性力學(xué)的分析結(jié)果來(lái)求這個(gè)桿件的最大剪應(yīng)力：

式中，a為h與b之比有關(guān)的系數(shù)。《等直矩形橫截面桿件扭轉(zhuǎn)時(shí)剪應(yīng)力和扭轉(zhuǎn)角的近似分析》這本書(shū)提供了系數(shù)的近似表達(dá)式，常用數(shù)據(jù)以表格形式給出：

2.5 疊加后的應(yīng)力方程

將上面各節(jié)得到的正應(yīng)力、切應(yīng)力疊加，可以得到：

當(dāng)x=0，y=0，z=0時(shí)，最大切應(yīng)力的位置為梁的自由端，代入數(shù)值得，切應(yīng)力為：

2.6 破壞極限應(yīng)力

根據(jù)材料力學(xué)可知，石材為脆性材料，當(dāng)σmax>σb時(shí)，或者τmax>τb時(shí)，即當(dāng)脆性材料的最大應(yīng)力大于強(qiáng)度極限應(yīng)力時(shí)，石材會(huì)發(fā)生斷裂破壞。而梁型結(jié)構(gòu)的最大應(yīng)力出現(xiàn)在根部，破壞應(yīng)該發(fā)生在根部，即根部為最大應(yīng)力處。

項(xiàng)目組以砂巖為例，查閱《巖石力學(xué)》可知，細(xì)砂巖的抗拉強(qiáng)度極限為17.6 MPa，彈性模量為47 GPa。

3 數(shù)值仿真

3.1 最大正應(yīng)力隨外力、梁的尺寸變化

當(dāng)其他參數(shù)不改變只有外力F變化時(shí)，F(xiàn)變化幅值比例為0∶1∶100 000，對(duì)細(xì)砂巖的梁型結(jié)構(gòu)施加外力F，如圖3所示，正應(yīng)力會(huì)隨著外力F的增大而增大，當(dāng)外力大于2.51×104N時(shí)，大于細(xì)砂巖的強(qiáng)度極限，懸臂梁結(jié)構(gòu)在最大正應(yīng)力處發(fā)生斷裂破壞，此時(shí)正應(yīng)力達(dá)到最大值。

圖3 根部正應(yīng)力隨外力F變化

當(dāng)其他參數(shù)不變只有梁長(zhǎng)度l發(fā)生變化時(shí)，l變化幅值比例為0.001∶0.001∶3。其應(yīng)力與長(zhǎng)度關(guān)系如圖4所示，正應(yīng)力會(huì)隨著梁長(zhǎng)l的增大而增大，當(dāng)梁長(zhǎng)大于0.746 m時(shí)，大于細(xì)砂巖的強(qiáng)度極限，懸臂梁結(jié)構(gòu)在最大正應(yīng)力處發(fā)生斷裂破壞。

圖4 根部正應(yīng)力隨梁的長(zhǎng)度l變化

當(dāng)其他參數(shù)不變，分別改變梁厚度h及寬度b時(shí)，h與b變化幅值比例均為0∶0.001∶0.05。其應(yīng)力變化如圖5、圖6所示，正應(yīng)力在梁厚度小于0.039 m，寬度小于0.026 m時(shí)，達(dá)到細(xì)砂巖的強(qiáng)度極限，懸臂梁結(jié)構(gòu)在最大正應(yīng)力處發(fā)生斷裂破壞。

圖5 根部正應(yīng)力隨梁的厚度h變化

圖6 根部正應(yīng)力隨梁的寬度b變化

3.2切應(yīng)力隨外力、梁的尺寸變化

當(dāng)其他參數(shù)不改變，僅分別改變F、h、b時(shí)，F(xiàn)變化幅值比例為0∶1∶100 000，h變化幅值比例為0∶0.001∶0.05，b變化幅值比例為0∶0.001∶0.05。當(dāng)外力大于2.51×104N，梁厚度小于0.039 m，寬度小于0.026 m時(shí)，達(dá)到細(xì)砂巖的強(qiáng)度極限，懸臂梁結(jié)構(gòu)在最大正應(yīng)力處發(fā)生斷裂破壞。如圖7、圖8、圖9所示。

圖7 根部切應(yīng)力隨外力F變化

圖8 根部切應(yīng)力隨厚度h變化

圖9 根部切應(yīng)力隨寬度b變化

3.3自由端撓度隨外力、梁的尺寸變化

當(dāng)外力大于2.526×104N，梁長(zhǎng)大于0.746 m，梁厚度小于0.039 m，梁寬度小于0.026 m時(shí)，達(dá)到細(xì)砂巖的強(qiáng)度極限，變化如圖10、圖11、圖12、圖13所示。

圖1 梁的力學(xué)模型示意圖

圖10 自由端撓度隨外力F變化

圖11 自由端撓度隨長(zhǎng)度l變化

圖12 自由端撓度隨厚度h變化

圖13 自由端撓度隨寬度b變化

4 結(jié)語(yǔ)

本項(xiàng)目組對(duì)細(xì)砂巖石材的梁型結(jié)構(gòu)進(jìn)行外力設(shè)計(jì)與分析，對(duì)正應(yīng)力、切應(yīng)力及扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的表達(dá)式進(jìn)行推導(dǎo)，利用MATLAB軟件編寫(xiě)仿真程序計(jì)算，得到砂巖的破壞斷裂極限與外力及梁尺寸之間的關(guān)系。通過(guò)對(duì)砂巖的正應(yīng)力、切應(yīng)力及變形分析，可以得出外力及梁的尺寸與懸臂梁強(qiáng)度和剛度之間的解析關(guān)系，了解這些變化規(guī)律，可以為石材粗加工中石材切割尺寸的確定以及為鋸切機(jī)床的設(shè)計(jì)提供參考數(shù)值。