考慮運動補償的機載SAR定位誤差傳遞模型及航跡標定方法

高 銘 仇曉蘭 孟大地 黃麗佳 丁赤飚

①(中國科學院空間信息處理與應用系統技術重點實驗室 北京 100190)

②(中國科學院空天信息創新研究院 北京 100190)

③(中國科學院大學 北京 100049)

1 引言

機載合成孔徑雷達(Synthetic Aperture Radar,SAR)具有高分辨率成像和高精度目標定位能力[1,2]，在地圖測繪、國土資源勘察、災害監測等方面有重要作用。機載SAR圖像的定位誤差主要受載機平臺位置和速度測量誤差、系統延遲測量誤差等的影響。此外，載機在實際飛行中會受到氣流的影響，產生運動誤差，成像處理中為了得到聚焦良好的圖像，通常需要進行運動補償。由于運動誤差具有隨距離和方位向的空變性，運動補償處理很難實現對每個位置目標運動誤差的完全補償，難免存在運動補償殘余誤差，該殘余誤差不僅影響聚焦質量，也會帶來定位誤差。建立考慮運動補償殘余誤差下的機載SAR定位誤差傳遞模型，對于航跡測量誤差的標定，進而實現弱導航信息下的高精度定位具有重要意義。

近年來已經有許多關于機載SAR定位誤差的研究。其中，文獻[3]分析了距離向和方位向位置、速度誤差對定位精度的影響，得出了距離向速度誤差是影響定位精度的主要因素的結論。文獻[4]則分析了更多影響因素，給出了多普勒中心估計誤差、系統時間延遲測量誤差等對定位精度的影響方式。文獻[5]認為各項誤差對定位精度的影響近似互不相關，因此將總體定位誤差近似等效為各項誤差引起定位誤差的均方根。上述研究大多基于勻速直線運動模型，文獻[6]則進一步結合BP成像算法研究了在曲線航跡下航跡測量誤差對定位精度的影響，并給出了曲線航跡下的定位誤差表達式。然而，上述研究均未考慮運動誤差和運動補償處理過程，誤差傳遞模型考慮因素不夠全面。

現有機載SAR成像處理中已有很多關于運動誤差補償的研究[7,8]，但鮮有研究給出運動補償殘余誤差對SAR圖像定位的影響模型。文獻[9]推導了機載SAR天線相位中心(Antenna Phase Center,APC)位置誤差、數字高程模型(Digital Elevation Model,DEM)誤差、系統時延等引起的運動補償殘余相位誤差，并仿真分析了其對成像質量的影響；文獻[10]在參考高程存在誤差的情況下建立了運動補償殘余誤差對機載雙天線InSAR干涉相位的影響模型，進而分析了由干涉相位誤差引入的高程和平面定位誤差；文獻[11]指出機載InSAR干涉圖中殘余運動誤差的影響主要有方位相位起伏和方位配準誤差；文獻[12]則考慮了殘余運動誤差在機載重軌干涉SAR系統中導致的時變基線誤差，并提出了一種估算時變基線誤差的方法；文獻[13]雖然給出了運動補償殘余相位誤差的線性項與方位向幾何定位誤差的關系，但其在假設不存在航跡測量誤差的情況下進行考慮。可見，現有研究主要分析了運動補償殘余誤差對成像質量或干涉測量的影響，但并未給出運動補償殘余誤差對機載SAR定位誤差影響的解析表達式，且均未考慮運動補償殘余誤差和航跡測量誤差均存在的情況，不利于對定位誤差影響的理解，更不利于對誤差源的標定。

本文推導了航跡測量誤差和運動補償殘余誤差影響下的機載SAR定位誤差解析模型，并進一步給出了基于該模型的航跡測量誤差標定方法，得到了接近真實航跡的標定結果，證明了方法的正確性和有效性。

本文后續內容如下：第2節給出含運動誤差和航跡測量誤差的機載SAR信號模型；第3節推導建立運動補償殘余誤差影響下的定位誤差傳遞模型，并給出航跡測量誤差標定方法；第4節進行仿真實驗，驗證誤差傳遞模型和標定方法的正確性，通過對比實驗證明模型的優越性，并且對定標點測量誤差進行了考慮；第5節進行總結與展望。

2 機載SAR信號模型

機載SAR幾何關系如圖1所示。假設存在航跡誤差的SAR平臺只在水平方向(x軸)和高度方向(z軸)有誤差，在前進方向(y軸)無誤差或已通過方位重采樣補償了y軸方向的誤差。載機的運動誤差使實際航跡偏離理想直線，同時航跡測量誤差又使測量航跡偏離實際航跡。

圖1 機載SAR幾何關系Fig.1 Airborne SAR geometry

如圖1所示，P為SAR平臺的實際位置，P′為對應的測量位置，P0為該時刻參考直線航跡上的對應位置；T為地面目標點的真實位置；T′為對點T成像所得的成像點位置，位于斜距值為R的距離單元；T與T′的位置差即為定位誤差；T0是與T′位于相同距離單元，但方位向處在波束中心處的點。

SAR平臺沿實際航跡運動并獲取回波，得到T點的回波信號在距離壓縮后有如下形式：

其中，t為距離向快時間，η為方位向慢時間，設T點的合成孔徑中心時刻為方位向0時刻，Tsyn為合成孔徑時間，Rreal(η)為實際航跡和目標點之間的距離歷程。

運動誤差的存在使得目標的回波信號與勻速直線運動下的信號不同，不利于Chirp Scaling,Omega-K等頻域成像算法的批量處理，因此需要進行運動補償。目前已有很多對頻域成像算法和運動補償步驟進行結合的研究[14,15]。本文使用相比于兩步運動補償[16]而言精度更高的一步運動補償[17]方法，先根據測量航跡選擇參考直線航跡，再利用測量航跡與參考直線航跡之間的偏差值對回波信號進行補償處理。一般情況下主要考慮運動誤差的距離空變性，而忽略其方位空變性[18,19]，本文對處在同一距離單元不同方位位置的目標，都采用該距離單元對應的斜距作為參考斜距進行補償。

如圖2所示，運動補償量為視線方向的誤差[20]ΔR(η)。在進行一步運動補償時，對各個不同的距離單元補償不同的相位。對斜距值為R的距離單元補償如下相位

圖2 跨航跡平面內的SAR幾何關系Fig.2 SAR geometric relationship in the cross-track plane

其中，ΔR(η)如下：

Rm(η)和Rref(η)分別表示測量航跡和參考直線航跡與目標點之間的距離，xm(η)和zm(η)分別表示測量航跡的水平和高程坐標，xref和href分別表示參考直線航跡的水平和高程坐標。

進行運動補償后，斜距值為R的距離門對應的相位為

其中

完成運動補償后，用參考直線航跡對運動補償之后的信號進行建模成像和基于距離多普勒模型的幾何校正，得到對應的成像點T′。設該成像點與參考直線航跡之間的距離歷程為Rimg(η)，根據SAR成像原理可知，該距離歷程與運動補償之后信號相位所對應的距離歷程Rmoco(η)是匹配的，即

下文根據該距離歷程匹配關系，推導定位誤差傳遞模型，并得到航跡測量誤差的標定方法。

3 定位誤差傳遞模型及航跡標定方法

3.1 定位誤差傳遞模型

為了標定整個航跡的誤差，將整個航跡劃分成一系列子孔徑。在單個子孔徑內，設機載SAR平臺在前進方向(y軸)無誤差，做勻速直線運動，而在水平方向(x軸)和高度方向(z軸)有運動誤差。

除運動誤差外，對于不可忽略的航跡測量誤差，設方位向測量誤差為零，主要考慮水平方向和高度方向。

測量誤差設為如式(7)形式，其中包括恒定的速度誤差c1,d1和位置偏移c0,d0：

子孔徑內的測量航跡用二次多項式表示為

其中

a2和b2為測量航跡關于方位向慢時間η的二次項系數，a1,v和b1為一次項系數，xref,yref和href為常數項。

真實航跡是測量航跡與航跡測量誤差之間的差值，用二次多項式表示為

其中

在實際中，平臺的真實運動航跡是不可獲得的，但測量航跡是由傳感器得到的已知量。因此，運動補償需要基于測量航跡進行。根據測量航跡選擇運動補償的參考直線航跡為

由測量航跡和參考直線，可以得出兩者之間的偏差，近似為運動誤差：

利用該誤差計算視線方向誤差：

將式(19)進行泰勒展開可得

設地面目標點P=[x0y00]，其對應的成像點P′=[x0+Δx y0+Δy0],x0,y0為目標點的真實坐標，而 Δx,Δy為目標點的定位誤差。

在SAR平臺飛行獲取回波時，真實航跡和目標點之間的真實距離歷程為

又設變量N為

對斜距值為R的距離門進行運動補償之后的相位所對應的距離歷程為

參考直線航跡和成像點之間的距離歷程為

由于定位誤差 Δx和Δy可能比較大，1階泰勒展開精度不夠，故對其進行2階泰勒展開，結果為

可知，式(26)和式(28)中的兩個距離歷程Rmoco(η)和Rimg(η)只有分式中除M(η)之外的部分形式不同。由于兩個距離歷程應是匹配的，其分式中除M(η)之外的部分也應盡量相等。

首先，令式(26)和式(28)的分式中除M(η)之外的部分的η的一次項系數相等，可以得到如下關系：

式(29)即為方位向定位誤差 Δy的表達式。從式(4)可以看出，方位向定位誤差受目標點自身的位置、平臺的運動誤差和航跡測量誤差共同影響。

同理，令距離歷程Rmoco(η)和Rimg(η)的分式中除M(η)之外部分的常數項相等，可得

設變量K為

整理式(30)可得定位誤差 Δx的表達式為

從式(32)可以看出，定位誤差 Δx同樣受目標點自身的位置、平臺的運動誤差和航跡測量誤差共同影響。

3.2 航跡測量誤差標定方法

推導出的定位誤差傳遞模型不僅闡明了誤差源的影響方式，同時還提供了測量誤差標定的方法。由于定位誤差隨目標點自身位置變化而變化，因此，可以通過在地面上設置多個定標點，利用不同的定標點坐標建立多組方程進行聯立，求解出公式中所涉及的測量誤差，從而得到接近真實值的標定航跡。

航跡測量誤差標定方法如下：

首先，標定方法中各參數在具體實現時均可獲得。公式中的速度測量值、定標點坐標和測量航跡參數均可通過測量來獲得，公式中的斜距值可由采樣時延算得。此外，通過成像處理可以得到定標點的成像位置，利用該位置能夠計算出其地理坐標，該坐標與其真實值之差即為定標點的定位誤差，因此定位誤差也可在具體實現時獲得。

設置m個地面目標點作為控制點。首先，用各目標點坐標[x1y1],[x2y2],[x3y3]···代替式(30)中的[x0y0]建立m個等式。在這組等式中，除c0和d0以外的其他變量均已知，因此，對其進行非線性最小二乘求解，可以解出測量誤差的常數項c0和d0。

將得到的c0和d0代入式(29)，并且也用各目標點坐標[x1y1],[x2y2],[x3y3]···代替式(29)中的[x0y0]建立m個等式。在這組等式中，除c1和d1之外的其他變量均已知，因此，對其進行最小二乘求解，可以解出測量誤差的一次項系數c1和d1。

如此便完成了對測量誤差的標定。用已知的測量航跡減去標定出的測量誤差，可以得出比較接近真實航跡的標定航跡。

4 仿真實驗與分析

4.1 驗證定位誤差傳遞模型

設置3個地面目標點，分別計算其實際定位誤差和由所推公式算得的定位誤差，比較驗證定位誤差傳遞模型的準確性。仿真參數如表1所示。

表1 定位誤差仿真參數Tab.1 Simulation parameters of location error

圖3給出了成像結果，紅色“·”表示成像點位置，白色“ +”表示載機沿參考直線航跡飛行時點目標在圖像中的位置，可見當存在運動誤差和測量誤差時，運動補償和成像后目標成像結果偏離了理想位置。

圖3 成像結果圖Fig.3 Diagram of imaging results

如表2和表3所示，分別在y方向和x方向計算3個目標點的實際定位誤差、由定位誤差傳遞公式算得的定位誤差，以及兩誤差的偏差值。

表2 y 方向定位誤差Tab.2 Location error in y direction

表3 x 方向定位誤差Tab.3 Location error in x direction

由仿真結果可知，在y方向和x方向上，實際定位誤差和由定位誤差傳遞公式計算得到的值基本一致。仿真結果證明了本文提出的定位誤差傳遞模型的準確性。

4.2 測量誤差標定

仿真在單個子孔徑內，機載SAR平臺實際航跡與測量航跡的設置如圖4所示，標明定標點的仿真場景如圖5所示。

圖4 航跡設置示意圖Fig.4 Schematic diagram of trajectory setting

圖5 仿真場景示意圖Fig.5 Schematic diagram of simulation scene

x方向和z方向的測量誤差標定結果以及標定航跡如表4所示。

表4 測量誤差標定結果Tab.4 Calibration results of measurement error

圖6為航跡標定示意圖。由圖6可以看出，利用該測量誤差標定方法可以得到非常接近真實航跡的標定航跡。

圖6 航跡標定示意圖Fig.6 Schematic diagram of calibration trajectory

圖7為x方向航跡偏差對比圖，圖8為z方向航跡偏差對比圖。航跡偏差指的是各條航跡與真實航跡之間的偏差。圖7和圖8表明，標定航跡與真實航跡之間的偏差遠小于測量航跡與真實航跡之間的偏差，即證明了標定的有效性。

圖7 x方向航跡偏差對比圖Fig.7 Contrastive diagram of trajectory deviation in x direction

圖8 z方向航跡偏差對比圖Fig.8 Contrastive diagram of trajectory deviation in z direction

如圖9所示，使用標定后的航跡進行成像，得到了與目標點理想位置基本重合的成像結果，該結果從另一角度驗證了測量誤差標定的有效性。

圖9 使用標定航跡的成像結果Fig.9 Imaging results using the calibration trajectory

以上是針對單一子孔徑的測量誤差標定。對于整條航跡，則將其分為多個子孔徑，對每個子孔徑都進行上述處理。整條航跡的仿真場景如圖10所示。

圖10 仿真場景示意圖Fig.10 Schematic diagram of simulation scene

對各子孔徑的標定結果進行擬合，可得到整條航跡的標定結果，如圖11所示。

圖11 整條航跡標定結果圖Fig.11 Calibration result of the whole trajectory

4.3 對比實驗

文獻[21]對定位誤差模型的推導建立在不考慮運動誤差且不進行運動補償的基礎上，本文則考慮了運動誤差并進行運動補償。為驗證本文模型方法的優越性，利用文獻[21]模型和本文模型進行航跡標定結果的比較。

對比實驗結果如下，圖12為標定航跡對比圖，圖13為x方向整條航跡偏差對比圖，圖14為z方向整條航跡偏差對比圖。

圖12 標定結果對比圖Fig.12 Contrastive diagram of calibration results

圖13 x方向整條航跡偏差對比圖Fig.13 Contrastive diagram of deviation of the whole trajectory in x direction

圖14 z方向整條航跡偏差對比圖Fig.14 Contrastive diagram of deviation of the whole trajectory in z direction

從實驗結果可以看出，本文模型方法在各子孔徑內均能得到較好的標定結果，效果明顯優于文獻[21]中不考慮運動誤差和運動補償的模型。這是因為運動補償通常是不完全的，由于航跡測量誤差的存在，根據測量航跡進行運動補償必然會導致殘余運動誤差，當該誤差較大時，不考慮該誤差的標定模型則會表現出較差的效果。因此，提出考慮運動補償殘余誤差的定位誤差模型十分必要。

4.4 考慮定標點誤差的實驗

由于本文使用的是基于定標點的測量誤差標定方法，因此需要考慮實際中存在定標點誤差的情況。

首先，使用差分GPS (Differential Global Positioning System,DGPS)時的定標點測量精度可以達到0.05 m[22]。另外，由文獻[23]中的式(9)可知，在帶噪圖像中提取點目標峰值時的精度與圖像信雜比具有如下關系：

通過式(33)可以算出，在圖像信雜比為15 dB的情況下，從圖像上提取定標點峰值時的精度為像素。當距離門寬度為0.5 m時，距離向提取精度約為0.05 m；當方位向像素寬度為0.07 m時，方位向提取精度約為0.0068 m，遠高于距離向提取精度。因此，可設定標點峰值的提取精度約為0.05 m。

根據以上對定標點測量誤差的分析，可設定標點測量精度為0.1 m，進行標定實驗。實驗結果如表5和圖15–圖18所示。由實驗結果可以看出，此時的定標點誤差對測量誤差標定結果的影響較小，與無定標點誤差時的結果相近。另外，用標定后的航跡進行成像也可以得到與理想位置基本重合的成像結果。

表5 測量誤差標定結果Tab.5 Calibration results of measurement error

圖15 航跡標定示意圖Fig.15 Schematic diagram of calibration trajectory

圖16 x方向航跡偏差對比圖Fig.16 Contrastive diagram of trajectory deviation in x direction

圖17 z方向航跡偏差對比圖Fig.17 Contrastive diagram of trajectory deviation in z direction

圖18 使用標定航跡的成像結果Fig.18 Imaging results using the calibration trajectory

該實驗結果說明，在合理的定標點誤差范圍內，仍可以用該定標點進行有效的測量誤差標定，得到較理想的航跡標定結果。

5 結束語

本文針對實際機載SAR存在運動誤差和航跡測量誤差的情況，結合一步運動補償方法，推導出了基于頻域成像算法的定位誤差傳遞模型。該模型闡明了運動補償殘余誤差和航跡測量誤差對定位誤差的影響方式，并且提供了航跡測量誤差標定的方法。文中通過仿真實驗，驗證了所提出的定位誤差模型的正確性，并且證明了測量誤差標定的有效性。同時，對比實驗還證明了本文所提方法優于不考慮運動誤差和運動補償的模型，可以得到更高精度的航跡測量誤差標定結果，表明了方法的優越性。此外，文中還對定標點測量誤差進行了考慮。本文推導的定位誤差模型可為考慮運動誤差時的SAR-VIO[21]觀測模型提供重要理論基礎。