月球軟著陸自主避障技術研究

高 峰， 陳少松， 牛津橋

(1.中國空間技術研究院， 北京 100094； 2.中國人民解放軍 63993 部隊， 北京 101149)

1 引言

隨著深空探測技術的不斷發展，人類對月球探測的目的發生了本質改變，由原來的飛行技術驗證、地外科學實驗向特定區域(月背/兩極/陰影區)探測、表面大尺度巡視轉變，這對著陸系統的精確性、強魯棒、自適應性提出了更高的要求。

近幾十年來，軟著陸制導技術獲得了長足的發展。 從早期的蘇聯月球9 號采用的建立月球垂線法[1－2]到半開環半閉環的重力轉彎制導方法[3－6]；從結合軌跡優化[7]與軌跡跟蹤[8－11]的標稱軌跡制導方法到能夠在線應用的顯示制導方法[12－14]以及最近興起的智能學習制導方法[15－18]。 從以上技術發展變化可以總結出軟著陸制導技術的發展趨勢呈現3 個階段[19]:基于人為智能的給定軌道直接著陸、基于機器智能的軌跡優化以及基于人工智能的學習制導方法。

傳統的給定軌道及優化思想實現的軟著陸制導很大程度上依賴于先驗知識，比如模型、約束、環境等，同時容易受建模偏差、不確定擾動等因素影響，且現有的障礙模型不具備較好的泛化能力。 因此在月球這樣多障礙、安全區域狹小和不確定性大的環境中，傳統方法難以滿足軟著陸所需的的精度要求和安全性要求。 近幾年，凸優化技術逐漸成為研究的熱點，基于凸優化的軌跡優化方法成為解決上述問題以及在線應用 的 最 佳 方 案[20]。 Acikmese 等[21－22]提 出了將非凸優化問題進行凸化轉化的思想，解決了以發動機推力幅值的上下界作為約束條件的燃耗最優問題；Blackmore 等[23]的研究已經擴展到尋找最小的著陸誤差軌跡的燃耗最優問題；Bai 等[24]提出了利用非凸函數對障礙物進行合并，將這些非凸障礙約束轉化為凸障礙約束的線性化方法。

嫦娥工程中面對復雜月背、極區、陰影區等條件，安全著陸區域很小，本文針對精確自主避障技術開展深入研究，在凸錐模型的基礎上建立半球模型和通用凸包模型來描述月面障礙物，利用凸優化技術，得到一種在多重障礙約束環境下的燃料最優的制導算法，并進行仿真實驗。

2 軟著陸問題描述

2.1 軟著陸數學模型

采用三自由度模型描述著陸器運動，考慮以月面固聯坐標系為基礎進行建模[21]，ox方向垂直于月面指向外空間，oy沿月面指向月球北極，oz與其他2 個坐標軸構成空間直角坐標系，如圖1所示。

圖1 坐標系定義Fig.1 Definition of the coordinate

基于此坐標系，著陸器動力學可以描述為式(1):

式中，r∈IR3是著陸器的位置向量，v∈IR3是著陸器的速度向量，g∈IR3是月球的引力加速度向量，Tc∈IR3是凈推力矢量，m是著陸器質量，α是燃料消耗率。

推力器認為是可變有限的，總推力受式(2)約束:

式中，T1、T2是推力的上下限。 在著陸器下降過程中，需要滿足式(3)的路徑約束:

考慮邊界條件、推力約束、著陸器傾角和表面高度，以燃料最優為優化指標，軟著陸軌跡優化問題可描述為式(4)所示最優控制問題:

式中，t0為起始時刻，tf為終端時刻，m0為起始質量，r0，rf分別為起始位置和終端位置，v0，vf分別為起始速度和終端速度。

2.2 障礙物數學模型

行星表面的障礙物具有不同的形狀和高度。Bai 等[24]將障礙物建模為高度可調、半錐角可調的凸錐，本文在此基礎上將其擴展為半球和通用凸包模型。

在凸錐的情況下，著陸器不與障礙物碰撞的條件如式(5)所示:

式中，ne＝(1，0，0)T是單位向量，φ為半錐角，錐頂的位置向量為H＝(Hx，Hy，Hz)T，著陸器的位置向量為P＝(rx，ry，rz)T。

除了將障礙物描述為凸錐，還可以將其描述為包圍障礙物的以其幾何中心點S＝(Sx，Sy，Sz)為球心、RS為半徑最小外接半球，如圖2 所示。

圖2 半球障礙模型Fig.2 Hemisphere obstacle model

在這種情況下，只要著陸器在半球的半徑范圍外就是安全可行的，那么著陸器不與障礙物碰撞的約束條件如式(6)所示:

將障礙物建模為凸錐或者半球，雖然處理起來非常方便，然而缺少通用性，不能反映不同類型障礙物的幾何特征，故需要一種統一的建模方式，即通過傳感器獲得的點云數據直接建立三維凸包。 本文使用隨機增量式算法來構造點集T的凸包。 首先定義凸包可見區域和地平線，如圖3所示。

圖3 凸包可見區域和地平線Fig.3 Visible area and horizon of convex hull

假設Ti落在凸包lh(Ti－1) 之外，在點Ti的位置朝lh(Ti－1) 看去，在lh(Ti－1) 的表面上，那些可見的小平面連在一起組成的連通區域稱之為點Ti在凸包lh(Ti－1) 上的可見區域。 而圍成這個區域的lh(Ti－1) 上的邊組成的折線稱之為點Ti在凸包lh(Ti－1) 上的地平線[25]。 具體算法過程如圖4 所示。

圖4 凸包生成算法Fig.4 Generation algorithm of convex hull

容易證明在三維空間中，任意n個點的凸包的復雜度為o(n)[25]，得到凸包以及凸包所包含的點集后，給出建立障礙約束的方法。 假設最終得到的凸包由NT個凸頂點組成，定義函數f(P)＝∑‖P(t)－Ti‖/NT，其中Ti是凸頂點的位置向量。 該函數反映了點與凸包之間的相對距離關系，是IRn上的凸函數，也就是說只要函數大于凸包邊界點函數的最大值，則點在凸包外。 為了更均勻地反映函數與點的位置關系，可將最大值用平均值替代，則著陸器不與障礙物相撞的條件如式(7)所示:

式中，NT為凸包障礙點集個數。 綜上，將一般性的月球軟著陸避障問題描述為式(8)所示:

式中，H為障礙錐錐頂的位置向量，S為半球障礙球心的位置向量，T為凸點集的位置向量，?是半錐角φ的補角。

3 基于凸優化的軌跡優化方法

3.1 凸化轉化

2.2 節式(8)的非凸性會造成計算求解困難，Acikmese 等[21]給出了將非凸約束轉化為凸約束的方法，令u＝Tc/m，σ＝Γ/m，z＝ln(m) ，其中Γ為推力松弛向量，則式(4)中的非凸約束將被轉化為式(9):

然而線性函數中省略了f(P) 的泰勒展開式中的二階項，令向量(Pξ－Q) 和向量(P－P0)之間的夾角為l，容易求得f(P) 和其二階余項的相對誤差如式(12)所示:

通過在節點處連續線性化障礙約束，式(13)便可以表示為式(14)的形式:

式中，s為松弛因子。 根據式(12)可知f(P)的二階余項為正，這使得約束更加嚴格。 圖5 可以看出，著陸器的實際可飛行空間區域大于理論可飛行空間區域，故計算所得解是有效的。

圖5 障礙轉化前后關系Fig.5 Relationship before and after barrier transformation

線性化后的問題由于縮小了解的范圍有可能導致問題無解，故引入松弛因子來適當放寬約束條件，以在避障和最優解之間取得平衡。

3.2 二階錐優化

在整個控制時域中，每個離散時間點的狀態滿足式(17):

4 實驗仿真與結果

4.1 仿真條件

本文算法通過Matlab 和Yalmip 聯合求解，初始參數選擇如表1 所示。

表1 初始參數Table 1 Initial parameters

4.2 仿真驗證

本文在障礙物分別為凸錐、半球和凸包的多障礙環境下對凸優化算法進行驗證。

4.2.1 凸錐多障礙

選擇3 個障礙物作為約束條件，并且這3 個障礙物最好能夠排成1 個平面以凸顯避障的效果，其參數如表2 所示。

表2 凸錐障礙參數Table 2 Parameters of convex hull obstacle

仿真結果如圖6 所示，多重障礙物之間明顯存在可行路徑，但是安全區域較小。 從圖6 可以看出著陸器連續繞開了3 個具有不同半錐角的障礙物，著陸位置為[0.0697，0.1070，0.9918]m，著陸速度為[－0.5184，－0.1682，－0.1468]m/s，消耗燃料384.4954 kg，得到了全局最優解，說明面對多重障礙時凸優化算法有效。

4.2.2 半球多障礙

相對于凸錐障礙而言，多重半球障礙環境下著陸器的可行安全飛行空間更窄，通常情況下需要穿越2 個相鄰半球之間的縫隙，并且經常需要采取爬升的策略進行避障。 半球障礙參數如表3所示，其仿真結果如圖7 所示，可見飛行軌跡穿越黃色和橙色半球之間的縫隙，繞開綠色半球從而到 達 目 標 點； 著 陸 位 置 為[0.0697， 0.1071，0.9918] m， 著 陸 速 度 為[－0.4482， 0.1854，－0.121]m/s，消耗燃料286.8325 kg。

圖7 半球仿真結果Fig.7 Results of hemisphere simulation

4.2.3 凸包多障礙

點云圖是由計算機隨機生成的，以模擬傳感器所掃描的障礙的點云數據，如圖8(a)所示，由點云生成凸包的結果如圖8(b)所示。

圖8 凸包生成結果Fig.8 Results of convex hull generation

得到的凸包由2 個不規則多面體組成，相比前2 種模型而言，凸包更能反映障礙物的幾何特征，可飛行區域也是最精確的。 仿真結果如圖9所示，著陸器為了穿越狹窄的空間，首先采取了拉低的策略穿過低矮的峽谷，而后面對斜擋的障礙采取爬升的策略飛掠障礙表面，在極小的飛行空間內找到了一條安全可行的軌跡；著陸位置為[0.0697， 0.107， 0.9918] m， 著 陸 速 度 為[－0.1762，－0.4675，－0.1171] m/s，消耗燃料361.8431 kg。

圖9 凸包仿真結果Fig.9 Results of convex hull simulation

凸包障礙模型的仿真結果表明對于任何形式的障礙物通過式(7)和式(14)建立的凸包約束均適用，不再受特定形式障礙約束的限制，大多數的物體都可以通過凸包來更好地近似，克服了凸錐和半球對障礙物近似效果不好的缺點。 盡管與凸錐和球體相比，凸包之間的計算更為復雜，但是相對于非凸的物體而言，還是要簡單得多。

5 結論

1)在凸錐模型的基礎上建立了半球模型和通用凸包模型來描述月面障礙物，其中凸包模型能夠更準確地對障礙物進行近似；

2)利用凸優化技術得到一種在多重障礙約束環境下的燃料最優的制導算法，解決了月面多障礙環境下的精確自主避障問題。