利用MATLAB模擬直角三角形恒定電流線圈的磁場分布

田歡歡

關鍵詞：畢奧.薩伐爾定律;磁感應強度;直角三角形載流線圈

一、緒論

載流線圈周圍的磁場分布是大學物理中重要的知識點之一，而在大學物理中僅對直導線、圓環、螺線管等載流導體周圍的磁場進行了介紹。在理論和實際應用中，由導線形成的其他形狀的載流導體的磁場分布也非常重要，例如三角形載流導體的磁場。

很多學者在畢奧-薩伐爾定律的基礎上，對三角形載流導體的磁場分布已進行了系列研究。鄧衛娟和李秉寬利用場強疊加原理推導了正三角形載流線圈的空間磁場分布;李秉寬、顧國鋒和蘇安推導了三角形載流線圈空間磁場分布的普遍表達式;姜海麗、孫秋華、劉艷磊和馬伯洋利用矢量場旋轉和矢量疊加求出了任意形狀的三角形電流的磁場分布;鄺向軍首先導出了載流直導線空間磁場的x、y、z分量表達式，然后將這一表達式運用到任意三角形電流，從而得到了它的空間磁場分布，并利用該結果對正三角形載流線圈其平面和中心軸線的磁場進行了討論。通過數值模擬，可以直觀形象的再現各種形狀載流導體的磁場，但是目前尚未見有學者對三角形載流線圈的磁場分布進行過數值模擬。

本文根據畢奧-薩伐爾定律推導出直角三角形載流線圈磁場的空間分布表達式，利用MATLAB軟件編程進行仿真，繪制了磁感應強度分布圖，對教學和實際工程應用具有一定的指導作用。

二、三角形載流線圈磁場分布的數值計算方法

對于任意一個通有恒定電流的閉合回路在周圍空間產生的磁場大小和方向可以通過畢奧一薩伐爾定律計算出來：

考慮一個通有恒定電流的單匝直角三角形線圈模型，如圖1所示。假設線圈的兩條直角邊的邊長分別為a和b，其中流過的恒定電流的大小為I。，流向為0一A—B一0。根據式（1），可將整個線圈在空間中產生的磁場分解成三條直導線單獨產生的磁場的矢量疊加。設從三條直導線上取出一個電流元分別，其在空間中P（x，y，z）點處產生的磁感應強度可以根據式（1）寫出為：

整個線圈在P點產生的磁感應強度矢量就等于所有電流元在P點產生的磁感應強度的矢量求和，即：

三、模擬結果與分析

利用MATLAB軟件編程來分析直角三角形載流線圈周圍的磁場分布。取a=3m，b=4m，d1=0.01m，電流大小I。=10A。

圖2顯示的是與直角三角形線圈平行的平面上的磁感應強度大小分布情況。從圖2（a）和（b）中可以看出，斜邊附近的磁感應強度大小呈鋸齒狀，這是因為直角三角形線圈本身不是對稱的，兩直角邊上的電流元在斜邊附近點處的磁感應強度疊加后其大小不一致。在離線圈較遠的地方（如圖2（c）和（d）），中央區域的磁感應強度較三個角落處的大，幾何中心的磁感應強度最大;同時發現，再增加的值，磁感應強度大小分布呈現的特征基本與圖2（d）的相似。隨著z值（即與線圈所在平面的垂直距離）的增加，各場點的磁感應強度大小不斷減小，該規律與畢奧一薩伐爾定律反應的磁感應強度的大小隨場點與源點問的間距的增加而減少的普遍規律一致。

總磁感應強度主要由z方向上的分量來決定。

圖4給出的是與直角三角形線圈所在平面垂直且平行y軸的平面上的總磁感應強度的大小情況。圖5（a）和（b）給出的是與圖4（a）和（b）對應且y分別為-1.0m、0.0m、1.0m、2.0m、3.0m、4.0m時總磁感應強度的大小。圖5（c）給出的是與圖4（c）對應且z分別為-1.0m、-0.8m、-0.6m、-0.4m、-0.2m、0.0m時總磁感應強度的大小。從圖中可以看出，當觀察平面不穿過線圈時（即圖4（a）和（e）、圖5（a）），z=Om時的磁感應強度最大;當線圈0B邊在觀察平面內時（即圖4（b）和圖5（b）），z=0m時的磁感應強度為0，而在z=0m附近處（靠近導線表面時）的磁感應強度最強，遠離導線時，磁感應強度迅速減小，幾乎為O;當線圈0A邊的中垂線在觀察平面內時（即圖4（c）和圖5（c）），呈現的規律與圖4（b）和圖5（b）的一致，即導線處的磁感應強度為0，靠近導線表面時的磁感應強度最強，遠離導線時，磁感應強度迅速減小，幾乎為0。

四、結語

本文從畢奧一薩伐爾定律出發，將直角三角形載流線圈分為3段通電直導線，推導出直角三角形載流線圈磁場的空間分布表達式。根據疊加原理，利用MATLAB軟件編程進行仿真，繪制了與直角三角形線圈平面平行、垂直的平面上時磁感應強度分布圖。模擬結果表明，在與直角三角形線圈平面平行的觀察面上，x和y方向上的磁感應強度分量對總磁感應強度的貢獻不大，總磁感應強度主要由z方向上的分量來決定;導線處的磁感應強度為0，靠近導線表面時的磁感應強度最強，遠離導線時，磁感應強度迅速減小，幾乎為0。模擬結果直觀展現了直角三角形載流線圈周圍磁感應強度分布情況，對教學和實際工程應用具有一定的指導作用。