基于改進GOMP算法的OFDM稀疏信道估計

申蒙蒙，陳善恒，席紀江，杜鐘祥

(1.中國礦業(yè)大學信息與控制工程學院，江蘇徐州,221000；2.徐州市第一人民醫(yī)院，江蘇徐州，221000)

0 引言

在實際的無線通信系統(tǒng)中，收發(fā)端之間的信道通常十分復雜，各種噪聲與衰落都是影響通信質量的重要因素，所以能夠估計出信道狀態(tài)信息對于無線通信系統(tǒng)十分重要，信道估計技術成為了衡量通信系統(tǒng)質量優(yōu)劣的關鍵因素。信道估計即根據(jù)接收信號估算信道的狀況，該估算過程與壓縮感知里的重構流程十分相仿。MIMO-OFDM系統(tǒng)的大量研究表明，其信道符合稀疏特點，因此在信道估計環(huán)節(jié)結合壓縮感知算法，能夠在確保性能的同時，節(jié)省了大量的導頻信息開銷。

現(xiàn)如今，信道估計已取得大批研究成果，常見算法按照傳輸信號前是否加入用于先驗的信號可分為三種。(1)在傳輸信號前加入一段信號用于輔助估計的訓練序列，在接收端根據(jù)該序列計算待估參數(shù)被稱作基于訓練序列的算法。其中被大量運用的算法如最小二乘法以及線性最小均方誤差法。(2)在傳輸信號前未使用訓練序列做輔助計算的算法即盲估計方法，根據(jù)信號固有特征完成待估參數(shù)的計算，其中被大批使用的算法如子空間分析法和斜投影法運算復雜度較高，因而不適合大規(guī)模投入使用。半盲估計則是取上述兩種信道估計算法的折中，即沒有過于龐大的運算量，也沒有過多的占用帶寬，其中被廣泛使用于無線通信系統(tǒng)的半盲估計算法包括基于少量導頻信號反饋的半盲估計算法，以及利用子空間分析法結合信號固有特點進行估算的方法。都具有良好的信道估計性能。

伴隨通信領域的發(fā)展，信道估計技術逐漸成為研究的熱點和重點。最小二乘算法因為其較強的實時性在傳統(tǒng)的信道估計算法里被廣泛使用，但大量的導頻信息成為傳輸信號的負擔。在頻譜利用率愈加重要的今天，減少傳輸導頻信息產生的負擔，成為現(xiàn)代通信領域的重要課題。壓縮感知最早在2006年被提出，其主要內容是，具有稀疏特性的信號使用較少的采樣值就可以較高概率地恢復原始信號，從此基于壓縮感知的信道估計成為研究的新方向。文獻[22]中，Raghavendra提出了經典貪婪算法(OMP)，完成了少量導頻信號就可以恢復原始信號。OMP算法進一步發(fā)展為廣義正交匹配追蹤算法(GOMP)，通過在原子迭代過程中用選擇選取相關性最大的S個原子代替原算法的一個原子，獲得了更高的收斂速度。孫翠珍等人在時域使用曲線擬合將導頻處的信道信息估計出來，極大的降低了算法的計算量。文獻[24]提出了DCT信道估計算法，利用FPGA實驗證明了該算法的信道估計性能。由此可得，在信道估計算法結合壓縮感知完成待估參數(shù)的計算，能夠在確保正確估計的條件下，減少頻譜資源的消耗。

1 壓縮感知理論

確保信號能夠被高倍壓縮率的條件是信號可以被稀疏表示，對信號x可做以下變換：

2 OFDM系統(tǒng)模型

2.1 OFDM通信系統(tǒng)基本模型

圖1 OFDM的基本框圖

在接收端，通過對OFDM信號做時間內的積分來恢復已調信號，假設解調第j個子載波，即對第j個子載波在T時間長度內積分來恢復已調信號，如式(8)所示。

其中0 ≤ i, j ≤ N?1

上文分別從時域和頻域兩方面描述了OFDM系統(tǒng)中子載波相互正交的特點，這使得解調時多個子載波不會互相混淆，也使得OFDM系統(tǒng)的調制與解調能夠被快速傅里葉變換IFFT和FFT代替，極大的降低了計算復雜度。

2.2 OFDM系統(tǒng)稀疏信道估計模型

無線信道表現(xiàn)出稀疏性，結合壓縮感知的理論模型可知，相關重構算法能較好地估計出來原始信道狀態(tài)。OFDM系統(tǒng)子載波中選取P個傳輸導頻符號，則接收端收到的導頻信息可表示為：

通過式(12)和壓縮感知理論模型對比分析可知，可將式中矩陣XP看做壓縮感知中的觀測矩陣，將矩陣WP看做壓縮感知中的基矩陣，把矩陣A看做壓縮感知中的感知矩陣。根據(jù)壓縮感知重構算法計算出信道的時域響應值h,經過傅里葉變換后即為頻域的信道沖激響應H。

3 改進OFDM系統(tǒng)信道估計算法

3.1 OMP算法

貪婪的壓縮感知重構(OMP)算法因為其用法簡單，易于實現(xiàn)等優(yōu)點而被頻繁使用。

OMP的執(zhí)行步驟簡單，易完成，所以OMP算法是一種經常被使用到的信道估計算法。OMP算法在每次迭代時利用信號殘差與觀測矩陣的每一列向量之間的內積值作為相關性的衡量，篩選出相關性最大的原子加入原子集，并通過最小二乘法計算信道估計值，繼續(xù)迭代至滿足停止條件，輸出最終的估計值。

(6)迭代次數(shù)加一，并判斷迭代是否終止，若未終止，則進入第(2)步，若迭代終止，則繼續(xù)第(7)步。

3.2 GOMP算法

OMP算法進一步發(fā)展為GOMP算法，與之不同的是GOMP算法選取一個小于稀疏度的固定常數(shù)，記為S ，在原子篩選時，選擇相關性最大的S 個原子，所以GOMP算法比OMP算法具有更快的收斂速度。當S=1時，GOMP算法即為OMP算法。GOMP算法的處理流程為：在每次迭代時用當前迭代時的殘差與觀測矩陣各個列向量之間的內積值來衡量相關性。選擇相關性最大的S 個原子，并將其加入原子支撐集，并將其索引值加入索引集，利用最小二乘法估計此次迭代的信道估計值，然后更新殘差。直到滿足當前迭代時，殘差的2-范數(shù)小于特定值ε，或者迭代次數(shù)滿足t = min(K, M / S )，其中t=M / S 是使原子構成的矩陣滿足列滿秩。

3.3 改進GOMP算法

3.3.1 原子“弱”選擇

在實際應用場景中，由于GOMP算法的條件為信號稀疏度已知，在實際中很難得到應用，受到原子“弱”選擇方法[25]的啟發(fā)，原子“弱”選擇方法不是按照相關性選擇原子，取而代之為設置一個閾值，將大于該閾值的原子組成原子集，拋棄其余原子，最后更新殘差并迭代至滿足迭代停止條件。

計算當前殘差和恢復矩陣的內積值，然后將內積值中滿足原子“弱選擇”標準對應列元素放入原子集，并其列序號放入到索引集。原子“弱選擇”方案使得該過程不受稀疏度K的限制，且可以按照當前殘差和恢復矩陣的內積值調整選擇原子的數(shù)目，有效避免預選過多和預選錯誤。提高了算法的穩(wěn)定性。

3.3.2 DICE準則

通過以上分析可知，OMP算法以及GOMP算法通過內積值的方法來選擇相關性較大的一個或S個原子，即分別計算當前殘差與觀測矩陣的各個列向量之間的內積值，用該值代表相關性。對于任意的兩向量β以及λ，以下表達式即為內積準則的表達方法：

經典的基于壓縮感知的信道估計算法常用內積準則來衡量向量之間的相似性。但用此方法代表相關性仍然有弊端，恢復信號時，觀測矩陣中一些類似的原子對于信號殘差的匹配存在影響，從而降低信號恢復的精度。

所以選擇一種合適的度量方法用來篩選支撐集中原子，成為了影響信號重構算法優(yōu)劣性的好壞的重點，所以本節(jié)根據(jù)此問題改進了度量準則，即在原子的第一篩選階段使用Dice系數(shù)匹配準則。向量β以及λ之間的Dice系數(shù)匹配準則表達式為

對比分析內積準則與Dice系數(shù)匹配準則的數(shù)學表達式可知，內積準則表達式中分母的計算方法會破壞原有矢量的特點，所以內積準則難于區(qū)分類似原子，而Dice系數(shù)匹配準則的計算方法能夠有效的解決該弊端。所以Dice準則能夠篩選出更合適的原子，從而提高重構精度。

3.3.3 GOMP算法優(yōu)化方案

為使得GOMP算法篩選出更優(yōu)的原子，對其在以下兩方面進行改進：

在原子篩選階段，利用Dice準則取代傳統(tǒng)的內積準則。并融合原子“弱選擇”方式，在稀疏度未知時，在迭代時將大于該閾值的原子加入原子集，拋棄小于該閾值的原子。

該改進算法的執(zhí)行流程為：

(1)首先給各個數(shù)值賦初始值：令迭代次數(shù)t=1，殘差初始值r0=y，初始引集Λ0=φ，初始原子集A0=φ;

(2)將當前迭代時的殘差與觀測矩陣每個列向量按照Dice度量準則計算相關系數(shù)，將最大的I個值對應的列向量記為集合αJt2，其索引值構成集合Jt1；同時，將其中大于閾值Th =αmax{a bs( ut)}的值對應的列向量記為集合αJt2，其索引值記為集合Jt2。其中門限參數(shù)α的取值范圍是[0,1)。

3.4 重構性能仿真分析

本小結實驗通過MATLAB2014軟件完成，為了驗證改進算法的性能，在Matlab中進行了OFDM系統(tǒng)信道的仿真，采用誤碼率以及歸一化相對誤差作為指標，進行了GOMP以及改進GOMP算法的仿真。設置子載波數(shù)為256，循環(huán)前綴的長度為64，信道總路徑數(shù)為256，多普勒頻移默認為0。對步長s取值為3、6、9時，GOMP算法以及改進GOMP算法在不同信噪比時的信道估計性能進行仿真。仿真結果如圖2及圖3所示。

由圖2可得，GOMP算法與改進GOMP算法在信噪比較小時的誤碼率較大，當信噪比增加時，誤碼率逐漸減小。且由圖可得，誤碼率和步長成正比，步長越小，誤碼率越低。信噪比取40dB時，步長設置為3的GOMP算法誤碼率是0.8557×10-2，而改進的GOMP算法誤碼率為0.2356×10-2，由此證明改進的GOMP算法在誤碼率方面優(yōu)于GOMP算法。

圖2 改進算法與GOMP算法的誤碼率比較圖

圖3可以看出，歸一化均方誤差隨著信噪比的增大而減少，當步長選擇相同時，同一信噪比時改進算法比GOMP算法有更低的歸一化均方誤差。

圖3 改進算法與GOMP算法的歸一化均方誤差比較圖

4 小結

本文在OMP算法和GOMP算法基礎上融合Dice準則篩選原子與原子的“弱選擇方式”，極大改善了傳統(tǒng)算法中內積準則無法從冗余字典中選取最優(yōu)原子的弊端，提升了算法的穩(wěn)定性。然后將此算法進行Matlab仿真實驗，并與GOMP算法進行對比分析，仿真結果表明該算法簡單易于實現(xiàn)，在信噪比一定時，改進算法的誤碼率與均方誤差均有改善，可以有效提升信道估計性能。