LTNE條件下界面對流傳熱系數(shù)對部分填充多孔介質通道傳熱特性的影響

李琪，張容銘，胡鵬飛

（東北電力大學能源與動力工程學院，吉林省吉林市 132012）

引 言

自然界與工程實際中有許多涉及多孔介質內的流動和傳熱現(xiàn)象，如熱交換器、催化化學反應裝置、過濾設備、太陽能集熱器、核能工程、地熱工程等。但由于多孔介質內部及其與自由流體界面存在復雜的物質及能量傳遞，所以在研究過程中采用的流動及傳熱的模型并不統(tǒng)一。

Vafai等[1]指出局部熱平衡模型（LTE模型）是基于假設多孔介質內固相和流相的溫度是一致的，因此只有當固相和流相的溫差很小時，LTE模型才成立。而在實際應用中這種溫差可能無法忽略，因此需要采用局部熱非平衡（LTNE）模型進行傳熱分析。同時，在應用LTNE模型時，還需要在界面處附加一個熱邊界條件。為了解決此問題，Amiri等[2]首先提出了兩種方法，第一種方法（模型A）假設流相和固相根據(jù)各自溫度梯度和熱導率劃分總熱流，第二種方法（模型B）假設流固兩相所接收的熱流相等并都等于總熱流。Vafai等[3]基于LTNE模型獲得了全部填充多孔介質通道內流固兩相溫度及Nusselt數(shù)的解析解，并在此基礎上研究了LTE模型的有效性。Mhimid等[4]同時考慮了LTE和LTNE兩種模型，數(shù)值研究了垂直圓柱形顆粒堆積床內的顆粒干燥過程。Marafie等[5]進一步研究了全部填充多孔介質通道內考慮慣性效應影響下LTE模型的有效性，指出Darcy數(shù)和慣性參數(shù)對建立局部熱平衡假設的有效性影響較小。Alazmi等[6-7]分析了多孔介質中不同流動和熱界面條件的影響。數(shù)值研究和分析了半無限多孔介質在不同參數(shù)下的不同流動和熱界面條件之間的差異[6]。在LTNE模型的不同熱邊界條件下，得到了完全填充多孔介質通道內溫度場和Nusselt數(shù)的數(shù)值解。發(fā)現(xiàn)在不同的邊界條件下多孔通道的Nusselt數(shù)可能有很大的不同[7]。Min等[8]通過假設固相和流相在多孔區(qū)交替分布，對部分填充多孔介質平行平板通道中的傳熱和流動進行了分析，得到了溫度場和Nusselt數(shù)的解析解，并且該結果與已有的數(shù)值和實驗結果吻合較好。Dehghan等[9-11]對多孔通道或微通道中具有LTNE條件的熱對流發(fā)展進行了攝動分析。

上述文獻都是基于完全填充多孔介質通道內進行流動和傳熱分析。而Yang等[12-14]獲得了不同熱界面條件下全部填充多孔介質通道及中間填充多孔介質通道內流固兩相溫度及Nusselt數(shù)解析解，發(fā)現(xiàn)并強調了界面處流固兩相的溫度梯度分岔現(xiàn)象。Mahmoudi等[15-16]分析了在通道中心處填充多孔介質通道內流體的流動及傳熱特性。發(fā)現(xiàn)當多孔介質填充高度與通道高度之比即多孔介質填充率大于0.6時，LTE模型是無效的，為了以合理的壓降為代價使傳熱效果最大化，多孔材料的最佳填充率為0.8[15]。通過對比模型A與模型B，發(fā)現(xiàn)采用模型A所獲得的流固兩相溫差要小于采用模型B所獲得的流固兩相溫差，并且發(fā)現(xiàn)當兩種模型的多孔介質填充率小于0.9時，整體傳熱性能與熱界面模型的選取及Darcy數(shù)的值無關[16]。在體積平均理論的基礎上，Ochoa-Tapia等[17]提出了部分填充多孔介質通道的界面熱通量條件（模型C），認為界面附近多孔介質區(qū)固相的熱通量是基于其與自由流區(qū)域流體對流換熱，并通過該條件確定界面附近多孔介質區(qū)流固相熱流分布。通過應用上述三種熱邊界條件（模型A、B和C）并結合速度滑移界面條件，Yang等[18]研究了中間填充多孔介質平行板通道內的傳熱特性，推導出LTNE模型下的溫度場精確解，并討論了不同熱邊界條件之間的關系。Xu等[19]基于LTNE模型并結合模型C及速度和動量均連續(xù)界面條件研究了部分填充金屬泡沫通道的流動和傳熱特性，分析了孔密度、孔隙率、Reynolds數(shù)及多孔層填充厚度等參數(shù)對流動和傳熱的影響。Torabi等[20]采用LTNE模型并結合模型A分析了底部填充多孔介質非對稱通道內的傳熱，發(fā)現(xiàn)了Nusselt數(shù)、溫度場和熵產率的分岔現(xiàn)象。后來，Torabi等[21-22]分別研究了模型A和C下的部分填充多孔介質通道內的強制對流傳熱，得到了溫度場和熵產的半解析解，著重分析了熱導率比、Biot數(shù)、Darcy數(shù)、流固兩相的內熱源項等對通道傳熱的影響。Li等[23-24]采用LTNE模型并結合模型A分析了部分填充多孔介質通道中的傳熱，得到了溫度場和Nusselt數(shù)的解析解和精確解，分析了應力跳躍系數(shù)對傳熱和流體流動的影響，并討論了LTE模型的有效性[23]，引入內熱源后，發(fā)現(xiàn)Nusselt數(shù)的精確解存在奇異性，并對這種奇異性現(xiàn)象進行了分析[24]。

綜上所述，前人對于部分填充多孔介質通道內傳熱特性的研究中，幾何模型、多孔介質內部和界面區(qū)的動量及能量傳遞模型都有所不同。而在考慮局部熱非平衡時，針對模型C下界面附近的對流換熱的研究還不夠充分，特別是目前的研究都是基于速度和應力均連續(xù)的界面條件進行的。因此，本文針對部分填充多孔介質通道，在多孔介質區(qū)采用Brinkman-extended Darcy模型及LTNE模型并結合應力跳躍及模型C界面條件，得到了通道各區(qū)域流相及固相溫度分布和Nusselt數(shù)解析解，并在此基礎上分析和研究界面對流傳熱系數(shù)、Darcy數(shù)、空心率、固流兩相熱導率之比以及Biot數(shù)等對通道傳熱效果的影響，比較界面對流傳熱系數(shù)與界面應力跳躍系數(shù)分別對部分填充多孔介質通道內傳熱效果的影響，并進一步分析了本文基于模型C所獲得的傳熱特性與前人模型A所得結果的區(qū)別及聯(lián)系。

1 物理及數(shù)學模型

1.1 部分填充多孔介質通道物理模型

如圖1所示，本文研究的物理模型為兩側對稱布置等高多孔介質層的平行板通道。通道壁面施以恒熱流。通道的總高度為2h0，自由流體區(qū)的總高度為2hf，則空心率S=hf/h0。假設通道中的流體是由水平壓力梯度?p/?x驅動的不可壓縮層流，強制流動換熱充分發(fā)展，多孔介質各向同性且流體飽和滲透，滲透率、孔隙率、熱導率等物理參數(shù)均為常數(shù)。

圖1 多孔介質-自由流體通道物理模型Fig.1 Physical model of the porous-fluid channel

1.2 部分填充多孔介質通道數(shù)學模型

假設通道內流體運動狀態(tài)為水平壓力梯度dp/dx驅動的充分發(fā)展層流狀態(tài)且y方向壓力梯度為0（即（-?p）/?y=0），流動與換熱充分發(fā)展，忽略自然對流和輻射換熱的影響，忽略熱彌散和黏性擴散的影響，則流體流動與換熱控制方程可簡化[13,15-16,23]，其中自由流體區(qū)的運動方程為：

多孔介質區(qū)的運動方程采用Brinkmanextended Darcy模型:

式中，uf和up分別是自由流體區(qū)和多孔介質區(qū)的流體速度，μf表示自由流體區(qū)流體的動力黏度，μeff表示多孔介質區(qū)流體的有效動力黏度，p為壓力。上述運動方程對應的流動邊界條件為：

式中，ui是流體在界面處流速，β為界面應力跳躍系數(shù)。如式（5）所示，本研究將采用Ochoa-Tapia等[25]提出的界面應力跳躍條件。并且Ochoa-Tapia等[26]發(fā)現(xiàn)β的值在-1～1.5之間時界面應力跳躍條件與Beavers等[27]提出的速度滑移模型吻合良好，當β=0時該條件為應力連續(xù)性界面條件。

自由流體區(qū)的能量方程為：

多孔介質區(qū)流相和固相的能量方程分別為:

式中，tf1和tf2分別表示自由流體區(qū)和多孔介質區(qū)的流相溫度，ts為多孔介質區(qū)的固相溫度，kf是自由流體區(qū)流體熱導率，kef和kes分別為多孔介質區(qū)流相和固相有效熱導率，hsf為流體與固體之間的對流傳熱系數(shù)，asf為多孔介質區(qū)流相與固相之間接觸的單位面積。熱邊界條件為：

在本研究中，利用模型C[式（12）]為熱邊界條件來獲得溫度分布和Nusselt數(shù)Nu的精確解。其中hi,s是界面對流傳熱系數(shù)。將式（7）從0到hf積分：

將式（8）和式（9）相加，并將結果從hf到h0積分，可得：

將式（11）和式（12）代入式（17），得:

其中，um定義為通道內的平均速度:

在模型C下，qi和qw之間的關系可表示為:

2 數(shù)學模型解析解

2.1 方程無量綱化

為了減少方程變量，引入下列無量綱化參數(shù):

將無量綱化參數(shù)代入式（1）～式（6），可得到無量綱化的運動方程

及其邊界條件：

聯(lián)立式（23）～式（28）可以求解上述微分方程并得到通道內各區(qū)域速度分布的解析解，具體求解方法可參考文獻[28]。文獻[28]對底部填充多孔介質通道內流體流動特性進行了研究，其方法類似。本文通道內速度分布的解析解與Li等[23]得到的結果一致，其為：

其中

把式（29）～式（33）代入式（20），通道內的平均流速為：

根據(jù)式（21）和式（22），界面熱流之比的無量綱形式為：

將式（29）～式（33）代入式（35），結果為：

2.2 溫度分布

將式（22）代入式（7）～式（15）為模型C下的無量綱能量方程和熱邊界條件：

通過Matlab編程求解式（37）～式（45）可以得到模型C下的溫度分布：

其中

2.3 Nusselt數(shù)

部分填充多孔介質通道的Nusselt數(shù)Nu的計算公式為[29]：

其中，hx是對流傳熱系數(shù)[30]：

將式（22）代入式（50）和式（51），Nu的無量綱表現(xiàn)形式為：

由式（40）可知：

因此Nu可寫作：

其中，θm為通道平均溫度：

2.4 平均溫度

將所得流場精確解式（29）～式（33）及溫度場精確解式（46）～式（49）代入式（55），則通道內流相的平均溫度為：

其中

其中

將式（56）、式（57）代入式（54）可以得到Nu的解析解。

3 解析解模型的驗證

將本文計算得到的溫度場解析解方程式（46）～式（49）與文獻[22]中相同條件下的結果比較，結果見圖2。發(fā)現(xiàn)在β=0，S=0.5，K=2，Bi=10，Da=10-3，ε=0.5的情況下，本文所計算的流相與固相溫度的結果與Torabi等[22]所計算的兩側填充多孔介質平行板通道內流固兩相溫度分布的半解析解結果吻合良好。表1為Bi=10，Da=10-5，ε=0.9，Hs=1，S→0時，不同K下本文Nu計算結果與Yang等[12]計算的在完全填充多孔介質通道內Nu解析解結果對比。由于本文計算為部分填充通道，在近似計算完全填充多孔介質通道的Nu結果會產生一定誤差，但誤差很小。同時，根據(jù)式（54）～式（57），當S→1時，本文基于模型C預測的Nu為8.235，與無填充多孔介質的平行板通道內的流體傳熱Nu一致[29]。綜上，證明了本文計算結果的正確性。

表1 在Bi=10，Da=10-5，ε=0.9，Hs=1，S→0時，本文與文獻［12］Nu計算結果的對比Table 1 Comparison between the calculated results of Nu in this paper and those in Ref.［12］at Bi=10，Da=10-5，ε=0.9，Hs=1，S→0

圖2 在β=0，S=0.5，K=2，Bi=10，Da=10-3，ε=0.5時，本文溫度場計算結果與文獻[22]的比較Fig.2 The comparison between the calculated results of temperature field in this paper and Ref.[22]atβ=0，S=0.5，K=2，Bi=10，Da=10-3，ε=0.5

4 分析與討論

4.1 不同參數(shù)對溫度場的影響

圖3所示為在固流兩相熱導率之比K=10，Biot數(shù)Bi=0.1，Darcy數(shù)Da=10-3，界面應力跳躍系數(shù)β=0時，不同空心率S下，界面對流傳熱系數(shù)Hs對通道溫度分布的影響。由圖3（a）可以看到在S=0.1，Hs=10.0時，多孔介質區(qū)內的流相溫度先降低后升高，而固相溫度則變化不大，導致多孔介質區(qū)接近中部位置處固相和流相溫度之間出現(xiàn)最大溫差。而隨著Hs的減小，此最大溫差所處的位置逐漸向界面處移動，如Hs=0.1時，多孔介質區(qū)內流固兩相溫差最大位置已發(fā)生在界面處，這是由于Hs較小時界面處流體和固體骨架之間的換熱減弱。此外，隨著Hs的減小，流固兩相的溫差逐漸增加，此規(guī)律也可以從圖3（b）～（d）中看出。但在圖3（c）、（d）中，即當S=0.5和0.9時，Hs取值0.1～10.0時，最大兩相溫差均發(fā)生在界面處，這是因為隨著多孔介質填充厚度的減小即S增加，固相導熱熱阻減小造成固相溫度逐漸接近壁面溫度而流相溫度也近似線性發(fā)展。在圖3中，Hs為定值時，隨著S的增加，自由流體區(qū)內流相溫度逐漸減小；改變Hs時，流相溫度變化比固相溫度更明顯。此外，Hs較大且S較大時，流固兩相溫差較小，這時可認為LTE模型在相應條件下有效。

圖3 在Da=10-3，K=10，Bi=0.1，β=0時，Hs對不同S下溫度場的影響Fig.3 Effect of Hs on the temperature field in different S at Da=10-3,K=10,Bi=0.1 andβ=0

圖4是在S=0.1，ε=0.9，β=0時，不同界面對流傳熱系數(shù)Hs，熱導率之比K，Biot數(shù)Bi下的固相和流相溫度場曲線。圖4（a）中當K=0.1且Bi=0.1時，與圖3（a）相比流固兩相溫度的變化范圍明顯減小，Hs的變化對溫度場中流相溫度的作用被削弱。而圖4（b）中K=0.1且Bi=10，與圖4（a）相比Bi增加，多孔介質區(qū)內流固兩相間的換熱增強，因此兩相溫差明顯減小，且低Hs下的固相的溫度曲線不再近似線性；而由于K較小兩相溫度變化的范圍仍然較小，流固兩相溫差仍然較小。圖4（c）中當K=10和Bi=10時，與圖4（b）相比K增加，兩相溫度變化范圍增加，且兩相溫度與K較小時的兩相溫度相比減小；與圖3（a）相比Bi增加，流固兩相之間的換熱增加，使得在任何Hs下的兩相溫度的差距明顯小于Bi較小時兩種情況下兩相溫差，這種現(xiàn)象也可以在圖3（a）、（b）的比較中看出。圖4（d）中Da=10-5，與圖3（a）相比Da減小，低Hs下兩相溫差增大，但是高Hs下的多孔介質區(qū)內兩相溫差減小。這與模型A不同[23]，使用模型C時，Da對兩相溫度的影響與Hs的取值有關。

圖4 在S=0.1，ε=0.9，β=0時，Hs對不同K，Bi和Da下溫度場的影響Fig.4 Effect of Hs on the temperature field in different K,Bi and Da at S=0.1,ε=0.9 andβ=0

圖5為在S=0.1，ε=0.9，Da=10-3，Hs=0.1時，不同K和Bi下，應力跳躍系數(shù)β對溫度場的影響。在圖5（a）中K=0.1和Bi=0.1時，β對固相溫度的影響可以忽略，而隨著β的增加流固兩相溫差逐漸減小，但總體來看由于K較小，流固兩相溫差仍然較小。在圖5（b）中當K=0.1和Bi=10時，與圖5（a）相比β對固相溫度的影響增強，且此時Bi增加使流固兩相溫差進一步減小，且這一現(xiàn)象通過圖5（c）、（d）也可以發(fā)現(xiàn)。此外隨著β的增加，多孔介質區(qū)內流固兩相溫差逐漸減小，且減小的程度隨著β的增加而降低。通過圖5（c）、（d）與圖5（a）、（b）對比也可以發(fā)現(xiàn)，K較大時，流固兩相的溫差較大，而在K較小時，流固兩相溫差則較小，且增大Bi可以進一步減小兩相溫差。

圖5 在S=0.1，ε=0.9，Hs=0.1，Da=10-3時，不同K和Bi下β對溫度場的影響Fig.5 Effect ofβon the temperature field in different K and Bi at S=0.1,ε=0.9,Hs=0.1 and Da=10-3

4.2 不同參數(shù)對Nu的影響

圖6（a）中，在K較小時，如K<0.1時，Hs和K的變化對Nu的影響并不明顯，但在K較大時，隨K的增大Nu明顯增加，且在K>1時，隨Hs的增加Nu明顯增加，這是由于在高K下，Hs對兩相溫度的影響較大。特別地，在低K區(qū)域S=0.3時的Nu小于S=0.1時的Nu，但S=0.9時的Nu明顯要大于S=0.1時的Nu，因此Nu與S的關系并非單調的。對比圖6（a）、（b）可以發(fā)現(xiàn)，增加Bi對低K區(qū)Nu的影響并不明顯，這從圖4與圖3（a）的對比中也可以看到，在高K下Bi的變化對溫度場的影響更明顯；在高K區(qū)，不同Hs下的Nu之間差異明顯減小，可以認為Bi的增加削弱了Hs對Nu的影響。為了進一步研究S與Nu之間的關系，得到了ε=0.9,β=0時不同K，Bi，Da和Hs下Nu隨S的變化曲線，如圖7所示。

圖6 Da=10-3，ε=0.9，β=0時，不同Bi，Hs及S下，Nusselt數(shù)與熱導率比之間的關系Fig.6 Nusselt number versus effctive thermal conductivity ratio in different Bi,Hs and S at Da=10-3,ε=0.9,β=0

圖7 在ε=0.9，β=0時，不同Hs，K，Da和Bi下Nusselt數(shù)與空心率（S>0）的關系Fig.7 Nusselt number versus hollow ratio（S>0）atε=0.9,β=0 with different values of Hs,K,Da and Bi

對于圖7（a），K和Bi都為0.1，圖中存在第一種曲線類型：Nu隨著S增加先減小后增加，Da=10-3時，在S=0.2附近存在一個臨界空心率Scr使得Nu最小；并且這個Scr在Da=10-5時會減小到0.05左右。同時Da減小時，低S下的Nu會隨著S的增加加速下降，并且此時Nu最小值小于Da=10-3時Nu最小值。圖7（b）中在K較小時的Nu曲線情況與圖7（a）中的大致相同，Nu都較小，且在K較小時增加Bi對Nu影響可以忽略，這是因為K表示固相有效熱導率與流相有效熱導率之比，減小K意味著固相有效熱導率降低，影響壁面熱流傳遞到固相，降低整個通道內的傳熱效果，即使增強流固相之間對流傳熱效果也可忽略。但是由于Bi的增加，Hs對各種情況下Nu的影響被削弱，這與圖3（a）與圖4對比得到的結果一致。在圖7（c）中，Nu與S的關系與圖7（a）、（b）相比發(fā)生很大變化，在Hs=10.0和1.0時，呈現(xiàn)第二種曲線類型：當Da=10-3時，Nu會隨著S的增加先增加后減小，在S=0.1附近存在Scr使得Nu最大，并且這個Scr會在Da=10-5時明顯減小，而Da對Nu最大值的影響則并不明顯，但Hs的減小卻會明顯減小通道內的Nu，且Nu與S之間的變化關系也因為Hs的變化發(fā)生變化。Hs=0.1時，可以看到Nu曲線呈現(xiàn)第三種曲線類型：Nu與S關系曲線中的極值點消失，曲線變?yōu)镹u隨著S的增加單調降低。而這種單調曲線也呈現(xiàn)在圖7（d）中的各種條件下的Nu曲線。Da=10-5與Da=10-3的情況相比，低S下的Nu會隨著S的增加加速下降，即Nu對于較小的S更加敏感。圖7（d）與圖7（c）相比Bi增加，多孔介質區(qū)內流固兩相換熱增強，使整個通道Nu增加，各Hs下的Nu曲線的差距明顯減小。基于模型C得到的Nu曲線與Li等[23]基于模型A得到的在相同條件下的Nu曲線對比發(fā)現(xiàn)，在Hs較大時，模型C與模型A的Nu隨S變化曲線非常相似，當Hs繼續(xù)增加時，模型C的Nu會無限接近于模型A的Nu但不會超越，并且具有相同的三種曲線類型，這是由于界面流固兩相對流換熱的存在使得界面處流固兩相始終存在溫差，因此模型C的Nu在數(shù)值上要小于模型A；而在Hs較小時，特別是在K較大Bi較小的情況下，兩種模型的差異較大。總地來看，在K較小時，Hs對Nu的影響可以忽略，而在其他情況下，特別是K較大時，Hs對Nu的影響不可忽略，Nu會隨著Hs的增加而增加，并且Hs的減小會減小Scr下的Nu最值。

為了討論應力跳躍系數(shù)β對Nu的影響，圖8給出了在ε=0.9，Hs=0.1時，不同β，K，Da和Bi下Nu與S的關系。在圖8（a）中，K=0.1，Bi=0.1，Da=10-3且S<0.25時，可以看到Nu會隨著β增加而增加，而S>0.25時Nu會隨著β的增加而減小，整體來看β對Nu的影響程度會隨著自身的增加而減弱。而在Da=10-5時，β對Nu的影響非常小，可以被忽略。圖8（b）與圖8（a）相比Bi增加，β對Nu的影響沒有明顯變化。而對于圖8（c）、（d）而言，與圖8（a）、（b）相比，K的增加提高了Nu，且在圖8（d）中，Bi的增加進一步提高了Nu，使部分填充多孔介質通道傳熱增強，原因同圖7。另外，圖8（c）、（d）中，與圖8（a）、（b）一樣在S<0.25時，Nu隨著β的增加而增加，且β對Nu的影響比S較大時的影響更加明顯，而在S>0.25時，β對Nu的影響則可以忽略。總地來看，β的變化并不會改變Nu與S關系曲線的類型。對比圖7和圖8可以發(fā)現(xiàn)，K較小時（K=0.1），β對Nu的影響要大于Hs對Nu的影響，而K較大時（K=10），Hs對Nu的影響要明顯強于β對Nu的影響。同時，Bi對Hs在Nu上作用的影響明顯要強于其對β在Nu上作用的影響，且Da的減小會極大削弱β對Nu的影響。

圖8 在ε=0.9，Hs=0.1時，不同β，K，Da和Bi下Nusselt數(shù)與空心率（S>0）的關系Fig.8 Nusselt number versus hollow ratio（S>0）atε=0.9,Hs=0.1 with different values ofβ,K,Da and Bi

5 結 論

本文研究了上下壁面內側填充多孔介質層平行板通道內的強制對流換熱特性。通道壁面施以恒熱流邊界條件。在多孔介質區(qū)內采用Brinkmanextended Darcy模型和LTNE模型為運動及能量方程，并采用應力跳躍條件和模型C為其界面條件。得到了通道內流相與固相溫度以及Nusselt數(shù)的精確解析解，并在此基礎上分析和研究了界面對流傳熱系數(shù)Hs、應力跳躍系數(shù)β、空心率S、固流兩相熱導率之比K、Darcy數(shù)Da以及Biot數(shù)Bi等對通道內流體傳熱效果的影響，得到如下結論。

(1)Hs較小時，β和Da的增加會減小兩相溫差。而在高Hs下，Da減小也會減小兩相溫差，這與模型A下計算得到的結果一致[23]。

(2)Da，K和Hs較大且Bi和S較小時，流固兩相間會在接近多孔介質區(qū)中部出現(xiàn)最大溫差，而該最大溫差會隨著S增加和Da及Hs的減小向界面區(qū)移動。

(3)對于不同K（K=0.1，10）與Bi（Bi=0.1，10），Nu與S的關系曲線存在不同的類型，與模型A不同的是，模型C的Nu曲線類型與Hs有關。Hs較大時，模型C的Nu曲線類型與模型A下的結果相似，有三種類型：存在Nu最小值，存在Nu最大值以及Nu隨S增加單調遞減；而Hs較小時，有兩種類型：存在Nu最小值以及Nu隨S增加單調遞減。且總體而言，模型C下的Nu要小于相同條件下模型A下的Nu，增大Hs會使模型C的Nu逐漸接近模型A的Nu但不會超越。

（4）在K較小時（K=0.1），β對Nu的影響要大于Hs對Nu的影響，Hs對Nu的影響則可以忽略，并且β在較小時與應力連續(xù)界面的Nu稍有區(qū)別；而在K較大時（K=10），Hs對Nu的影響要遠大于β對Nu的影響，且Hs增加會明顯提高通道內流體傳熱強度Nu。

符號說明

asf——多孔介質區(qū)流相與固相之間接觸的單位面積，m-1

Bi——Biot數(shù)

cp——流體的比定壓熱容，J·kg-1·K-1

Da——Darcy數(shù)

f——摩擦系數(shù)

G——x方向壓力梯度

Hs——無量綱界面對流傳熱系數(shù)

hf,h0——分別為自由流體區(qū)的一半高度和通道一半高度，m

hsf,hi,s——分別為多孔介質區(qū)內孔隙對流傳熱系數(shù)和界面對流傳熱系數(shù)，W·m-2·K-1

hx——局部傳熱系數(shù)，W·m-2·K-1

k——多孔介質滲透率，m2

kef,kes,kf——分別為多孔介質區(qū)流相有效熱導率，多孔介質區(qū)固相有效熱導率和自由流體區(qū)液相熱導率，W·m-1·K-1

Nu——Nusselt數(shù)

p——壓力，Pa

q——熱流量，W·m-2

S——通道空心率

t——溫度，K

U——無量綱速度

u——速度，m·s-1

x——徑向坐標，m

Y——y方向無量綱坐標

y——縱坐標，m

β——界面應力跳躍系數(shù)

γ——界面熱流與壁面熱流之比

ε——多孔介質孔隙率

θ——無量綱溫度

μ——動力黏度，kg·m-1·s-1

ρ——流體密度，kg·m-3

下角標

eff——有效參數(shù)

f——流體

f1——自由流體區(qū)流相

f2——多孔介質區(qū)流相

i——界面

m——平均

p——多孔介質

s——多孔介質區(qū)固相

w——壁面