利用新教材培養高中生數學建模素養*

趙加營

數學建模是數學六大核心素養之一，是高中數學課程的重要內容，在高中數學教學中占有重要地位。在《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“2017年版課標”）中“數學建模”的各項內容、要求見文末表1。由此可見，2017年版課標在數學建模的“課時學分、內容要求、教學提示、學業要求”等方面提出了具體、明確的指導意見，為落實新課程、實施新教材指明了教學實踐路徑。

表1 數學建模的課標要求

此外，2017年版課標在附錄部分還對數學建模素養做了三個水平的劃分（限于篇幅，這里不再列出），這也為我們開展數學建模教學提供了依據。下面結合蘇教版高中數學新教材必修一、必修二的教學，談談高中生數學建模素養的培養。

一、加強數學建模教學

筆者曾設計相關數學建模測評試題（見附錄）來評價學生的數學建模素養，從測評結果看，學生在水平三上處于很低狀態。因而，重視數學建模素養的培育，把數學建模教學常態化，是刻不容緩的現實要求。為此，我們需要做到如下兩點。

首先，保障課時。依據新教材中提供的素材，參照2017年版課標的課時安排，確保數學建模教學課時到位。如必修課程中“主題五數學建模活動與數學探究活動”建議6課時，在實際教學中，“數學建?；顒印睉才?課時，具體見表2。

表2 必修課程數學建模教學課時（建議）

其次，要精心設計教學。數學建模的教學準備往往要比其他教學內容花費更多時間，需要從問題背景、概念內涵、數據分析、其他學科知識等多方面查閱資料，為問題簡化提供基礎。在原有的數學建模水平一和水平二的教學實施基礎上，應特別重視水平三的教學設計和操作實踐。教師需精心設計熟悉的、關聯的、綜合的情境，引導學生發現和提出問題，建立合適的數學模型，準確求解模型，自覺檢驗模型，進而完善模型，最終分析和解決問題。教師應幫助學生積累數學建模的策略，掌握模型思想，提升解決問題能力，不斷發展數學建模素養。

例如，必修一關于“體重與脈搏”的問題中只給出“動物消耗的能量E與通過心臟的血流量Q成正比，動物的體重與體積成正比”的信息，備課時要查閱資料，擬出問題：①什么是血流量？什么是脈搏率？②心臟每次收縮擠壓出來的血量與心臟大小的關系？③動物心臟大小與這個動物體積的關系？④動物體內消耗的能量與身體的表面積的關系？⑤動物表面積與體積的大致關系？⑥如何在Excel中進行數據擬合？如何找到最優擬合函數？

實施本課題教學時，需從課前、課中、課后三個環節進行精心安排。

課前：讓學生查閱紙質資料或電子資源，搞清以上①至⑥問題，會在Excel中作出數據的散點圖，會用“添加趨勢線”尋找擬合函數。

課中：出示問題，引發思考，引導學生按照“簡化假設、建立模型、求解模型、檢驗結果”的步驟逐一完成。

課后：回顧與評價本次建模過程，總結體會其中要點，掌握重點步驟，消除難點，解開疑點，積累建模經驗。例如，構建數學模型時，若所給數據較大，可以對已知數據取對數，從而使變換后的數據“均勻”，有利于發現趨勢或規律。

二、開展數學建?；顒?/h2>

認真實施新教材的設置內容，充分保障新教材中“數學建模活動”的教學課時和訓練學時，確保數學建模教學進入常態化，改變原來為應試而進行的零散、偶然、短暫的應用題教學現象。

組織學生開展數學建模的選題、開題、做題、結題活動，結合數學教學軟件（如幾何畫板、Geogebra、Cabri 3D等）、“互聯網+”等教育信息技術，開展數學實驗、現場操作、實際體驗、合作探究等研究活動。例如，學習“數列”后，進行存款利息、按揭貸款、理財產品等數列模型構建活動；學習“解三角形”后，進行旗桿、教學樓、電視臺等高度測量活動，體驗三角形模型的應用；學習“函數”后，進行一次、二次、反比例、冪、指、對、三角等函數模型構建活動；綜合運用所學知識，對超市商品價格、路線最優設計、效益最大化、能耗最小化等問題進行建模活動?？傊瑢祵W課堂之中的數學建?；顒樱▊戎赜谒揭凰蕉哪繕耍┖驼n堂之外的建模操作活動（側重于水平三的目標）結合起來，讓學生體會數學的有用、有趣、有美、有神，既提升興趣、增強動力，又訓練思維、培育素養。

三、積累數學建模課程資源

首先，深入研究新教材中有關數學建模的例題、習題，除涉及相關知識點外，充分挖掘其蘊含的數學思想、數學文化、模型結構，精心設計教學內容，做好反思評價，積累課本中的數學建模資源。在研究教材中數學建模素材的基礎上，做好這些問題的拓展工作，充分發揮教材例題習題的輻射功能和母題功能。

其次，認真研究2017年版課標及“課標解讀”中數學建模案例，將這些案例融入數學建模的教學中，特別是體現水平三的建模問題，根據模型系列，歸納梳理，形成數學建模資源。

最后，從數學期刊、數學應用與建模專著、數學應用競賽、大學建模競賽中，或直接引用，或改編改造，或簡化移植，作為數學建模教學的資源。

將以上的建模教學資源，按照模型類別或教學時序，編輯成冊，形成具有本校特色的數學建模校本課程，不斷積累、修改、完善，為數學建模素養的達成提供課程保障。

附錄

測試題1（數與代數）

（1）（由《中學數學應用與建模》第80頁例8改編；水平一，記為Q11）

長為180cm的銅棒，要截成10段材料，規格是12cm，23cm兩種，每種規格都要有，試找出材料利用率在95%以上的落料方案。

（2）（由《普通高中數學課程標準（2017年版）解讀》第103頁“水平二的問題”改編；水平二，記為Q21）

一個容積一定的無蓋圓柱形罐，它的底面半徑為r，高為h，問當h∶r為多少時，罐的表面積最?。?/p>

（3）（由《普通高中數學課程標準（2017年版）解讀》第103頁“水平三的問題”改編；水平三，記為Q31）

我們經常能在超市中看到這樣的情形：同種商品會有大小不同的型號，價格各不相同，比如某品牌的牙膏有40g，120g，180g等幾種質量規格的產品，價格分別為3.70元，9.30元，13.20元。試對影響商品銷售價格的因素進行分析，選擇主要因素，忽略次要因素，研究主要因素與價格的關系，從而得到商品價格關于牙膏質量的函數關系。

測試題2（圖形與幾何）

（1）（2010年江蘇高考試題第17題第1問，水平一，記為Q12）

某興趣小組測量電視塔AE的高度H（單位：m），垂直放置的標桿BC的高度h=4m，點A、B在地平面上，EC與AB相交于點D，仰角∠ABE=α，∠ADE=β。該小組已經測得一組α、β的值，tanα=1.24，tanβ=1.20。請據此建立幾何圖形，并算出H的值。

（2）（水平二，記為Q22）

墻上有一壁畫，最高點離地面4米，最低點離地面2米，觀察者從離地面高1.5米處觀賞該壁畫，問：觀察者離墻多遠時，眼睛觀察壁畫上下沿形成的視角最大？你能利用幾何知識作出觀察者的位置嗎？

（3）（水平三，記為Q32）

電影作為一種消費，人們總是希望自己能坐在電影院的最佳位置，使得視覺、聽覺得到最好的享受。在設計影院時，已經充分考慮了觀眾看電影的舒適度，對于影院的地板傾角、前后排椅子之間的距離等都經過了精心的設計。而盡管如此，不同位置看電影肯定也有很大差異，什么位置是看電影的最佳位置呢？試建立數學模型分析。

測試題3（概率與統計）

（1）（由《普通高中課程標準實驗教科書數學選修2-3》習題2.4第10題改編，水平一，記為Q13）

某城市平均每10個家庭中2個家庭有小汽車。若從這個城市中任意選出5個家庭，試求2個以上（包括2個）的家庭有小汽車的概率。

（2）（水平二，記為Q23）

某高級中學要調查學生談戀愛的比例。設計了一副紙牌，其中75張印有問題①，25張印有問題②，兩個問題為：①你談過戀愛嗎？②你學生證末位號碼是偶數嗎？

調查100名學生，讓被調查學生任意抽取1張牌（隨即放回，并不讓調查者知道被調查者抽到的問題，以保證被調查者給出真實的回答），學生根據牌上所對應的問題用“是”或“否”加以回答。若有18人回答“是”，學生證末位號碼是偶數的概率為0.5。請估計該校學生談過戀愛的人數的比例。

（3）（由《生活中的概率趣事》第92頁問題改編，水平三，記為Q33）

某市的出租車共有3200輛，其中藍色的有2720輛，綠色的有480輛。在一起晚上發生的肇事逃逸案中，目擊者確認肇事出租車是綠色的，實驗證明目擊者在晚上正確分辨綠色和藍色（正確地將綠色歸為綠色，藍色歸為藍色）的概率是80%。如果你作為法官，會采納目擊者的證詞嗎？請從數學角度說明理由。