水下非均勻環肋圓柱殼多學科設計優化

李靜茹，劉江，黎勝*

1 海南大學 機電工程學院，海南 海口 570228

2 大連理工大學 工業裝備結構分析國家重點實驗室 船舶工程學院，遼寧 大連 116024

0 引 言

艦艇聲隱身總體設計是一個多學科設計優化問題，涉及了結構力學、振動、聲學等學科。目前，常用的設計方法是串行設計方法，此方法人為割裂了各學科間的耦合關系，得到的設計結果會降低系統的總體性能。多學科設計優化(multidisciplinary design optimization, MDO)是 近 幾 年發展起來的旨在提高復雜工程問題優化設計效率的一種分解策略。有別于傳統的串行設計方法，多學科設計優化采用的是并行設計方法，不僅可提高效率，還可提高系統的整體性能。實際上，多學科設計優化是一種通過探索和利用工程系統中相互作用的協調機制來設計復雜產品及其子系統的方法[1]，其主流算法是基于分解技術的多級優化算法[2]，而分級目標傳遞法 (analytical target cascading, ATC）就是典型算法之一，其收斂性已得到證明，可以收斂到全局最優點[3]。

多學科設計優化在水下結構振動聲輻射領域的應用研究比較少。陳爐云等[4]基于iSIGHT 多學科優化設計軟件，以結構模態頻率和節點加速度為目標函數，對環肋圓柱殼進行了結構優化。黎勝[5]基于傳統目標傳遞法進行了水下加筋板振動聲輻射設計優化，證明了多學科設計優化方法應用的有效性。但是，相對于水下加筋板模型，實際設計中的結構都比較復雜，設計變量和目標函數會更多，從而大大增加了傳統目標傳遞法的收斂難度。因此，本文采用改進的目標傳遞法[6]，以典型的水下環肋圓柱殼結構（例如水下航行器）為例，驗證此方法在保證總體性能優化的同時具有更好的收斂性。

對于水下結構而言，動態性能的計算依賴于高精度的數值模型（例如有限元/邊界元耦合方法），此類模型計算量大且耗時，無法完成整個過程的優化，而使用代理模型（例如Kriging 代理模型）是解決此問題的可行方法。鑒于代理模型可以較好地實時預報水下相對復雜結構的振動聲輻射性能，本文以Kriging 代理模型作為優化過程中的分析模型來代替高精度數值模型。

艦艇總體設計對于輕量化、強度以及振動和聲輻射等多個學科方面都有嚴格的要求。本文擬通過研究水下環肋圓柱殼的多學科設計優化方法，在滿足多學科要求的前提下，為最優設計方法研究提供思路。首先，利用有限元/邊界元方法（FEM/BEM）計算樣本點響應數據，建立Kriging代理模型，以此作為設計優化過程中的目標響應分析模型；然后，將代理模型作為分析模型，分別利用傳統和改進的目標傳遞方法對水下非均勻環肋圓柱殼進行設計優化；最后，通過結果對比，驗證所用方法的有效性和優越性。

1 理 論

1.1 改進的目標傳遞法

目標傳遞法[7]是一種基于分解技術的多層次、多學科優化策略，適用于大規模的復雜工程問題，具有響應和連接變量在不同層級之間按順序傳遞及反饋的特點。不同于其他多學科優化算法（例如協同優化），目標傳遞法計算信息的傳遞發生在上、下兩層級完全優化之后，所以顯著減少了學科級優化的次數[8]。

為了增強分解后上、下層級之間參數變量的一致性，需要對目標傳遞法中的偏差項作一定的處理。通常，是在偏差項上乘以一個較大的正數，在相同容許誤差下，偏差項本身會變得相對較小。但是，此處理方法也有一個弊端，即大權重系數會在最優解附近導致數值的不穩定性。因此，本文摒棄采用大權重系數，轉而在目標傳遞法中設置拉格朗日乘子，利用對偶原理求解。

設置了拉格朗日乘子的改進目標傳遞法的數學表達式被分解為系統級和學科級問題來表達。

系統級問題：

圖1 所示為上述信息交換的流程。

圖1 目標傳遞法信息交換流程圖Fig. 1 Flow chart of information exchange in Target Cascading

通過求解原問題對偶問題的次梯度，得到拉格朗日乘子的迭代形式如下：

一般地，分為兩級問題的改進目標傳遞法的步驟如下：

1) 設迭代次數為0，在系統級給定初始拉格朗日乘子值，以及從學科級傳遞來的初始響應值和初始連接變量值；

2) 求解系統級；

3) 將求解的響應值和連接變量值傳遞給學科級問題；

4) 對學科級的每個子問題進行求解，注意將系統級傳遞來的響應和連接變量作為常量處理；

5) 分別計算響應偏差項和連接變量偏差項，若任意子系統的偏差項小于容許誤差，則迭代停止，計算完成。否則，轉向下一步驟；

6) 將學科級計算得到的響應和連接變量向上傳遞給系統級；

7) 對拉格朗日乘子進行迭代；

8) 若i=i+1，返回步驟2。

對于更多級數的改進目標傳遞法，可以通過重復使用或任意組合系統級和學科級來構成更為復雜的分解形式。

1.2 Kriging 代理模型

利用數值模型求解水下非均勻環肋圓柱殼的振動聲輻射問題所需的計算非常耗時，且計算量也過大，所以在設計優化過程中一般采用代理模型來替代高精度的數值模型。

常用的代理模型構建方法包括多項式響應面法、徑向基方法、人工神經網絡方法和Kriging 方法等[10-13]。目前，Kriging 方法已成為用于多學科設計優化的一種具有代表性的代理模型。構建Kriging 代理模型一般需要采取如下步驟：

1) 確定設計變量，通過實驗設計方法得到構建代理模型所需的樣本點；

2) 利用高精度數值模型，計算每個樣本點相應的響應值；

3) 根據樣本點及其相應的響應值構建Kriging代理模型；

4) 在設計空間內任選一點，比較分別經代理模型和高精度數值模型計算得到的結果，以驗證代理模型的精度。

Kriging 代理模型的一般數學表達式為

由式（8），可求解得到方差 σ2的估計值。

空間相關函數中的未知參數由極大似然估計方法得到，如式（9）所示。

1.3 非均勻環肋圓柱殼分析模型

1.3.1 強度分析

均勻環肋圓柱殼強度的計算一般包括靜水壓力下表征強度的3 個應力分量[14]，即肋骨處殼板橫剖面正應力最大值 σ1、相鄰肋骨中點殼板縱剖面正應力最大值 σ2、肋骨橫剖面正應力最大值σf。這3 個應力分量都已經有明確的解析解。本文研究的環肋圓柱殼因肋骨尺寸不等，且肋距不同，上述解析解不再適應。鑒此，本文采用有限元方法來處理此問題，忽略環肋圓柱殼兩端集中應力的影響，計算在一定工作載荷下整個肋距范圍內的殼板橫剖面的正應力、殼板縱剖面正應力以及所有肋骨橫剖面正應力的最大值。

1.3.2 振動聲輻射

有限元法是一種全域數值方法，它要求在整個求解域內離散，直接導致了計算模型變得龐大復雜，且求解無限域的問題時也是在有限域外表面設置無限吸收邊界來近似模擬，從而影響了計算精度。因此，本文采用有限元/邊界元耦合方法求解水下非均勻環肋圓柱殼的振動聲輻射性能。

首先，建立結構與流體耦合的有限元方程，即

然后，利用邊界元方法，將Helmhotlz 積分方程變為如下代數方程的形式：

2 算例分析

2.1 環肋圓柱殼參數設置

圖2 所示為建立的非均勻環肋圓柱殼有限元模型，其兩端截面的最外圓周線固支。環肋圓柱殼的非均勻是指肋骨尺寸、肋距不等。本文研究中肋骨布置關于中間對稱，共19 根，由左至右依次編號。其中，編號8，9，10，11，12 的肋骨腹板高度最大，編號13，14，15，5，6，7 的腹板高度次之，剩余編號的肋骨腹板高度最小。肋骨截面形狀為T 型截面，肋距為中間小、兩端大。為方便優化設計，將肋距寫成等差數列形式來完成非均勻設定。但是，不同于文獻[15]，本文僅對幾種不同的離散情況進行了分析，即將3 種肋骨腹板高度（h1，h2，h3）都作為連續變量來確定其最優解。

圖2 非均勻環肋圓柱殼有限元模型Fig. 2 FEM model of non-uniform stiffened cylindrical shells

非均勻環肋圓柱殼的設計變量取為6 個，分別是從中間肋骨開始的第1 檔肋距l、肋距公差Δl、3 種肋骨腹板高度h1，h2，h3以及圓柱殼殼板厚度t。表1 所示為6 個變量的取值范圍。

表1 設計變量及取值范圍Table 1 Design variables and their range

考慮輕量化、強度以及振動和聲輻射方面的要求，建立了6 個目標函數，包括：環肋圓柱殼的質量M；整個肋距范圍內的殼板橫剖面正應力最大值 σ1； 殼板縱剖面正應力最大值 σ2；肋骨橫剖面正應力的最大值 σf；結構1-2 階共振頻率f1；結構1-2 階共振頻率處的聲功率W。按照優化目標，希望在小于屈服極限的情況下最大化3 個應力分量和1-2 階共振頻率，以及最小化共振頻率處的聲功率級和圓柱殼質量。

根據目標傳遞法的要求，將此優化問題分為系統級和學科級。分解前，首先可以求出給各學科的最優響應，并將其作為理想目標值；然后，建立系統級和學科級的優化流程。系統級優化目標是協調各學科的一致性，以及最小化所有學科目標函數與理想目標間的偏差；學科級優化目標是最小化各學科與系統級傳遞過來的響應和連接變量之間的偏差值。值得注意的是，對于質量學科而言，連接變量只有后4 個設計變量。圖3 所示為非均勻環肋圓柱殼多學科優化的組織結構。

圖3 非均勻環肋圓柱殼多學科優化組織結構圖Fig. 3 Flowchart of MDO in non-uniform stiffened cylindrical shells

2.2 建立Kriging 代理模型

建立Kriging 模型與選取的樣本點有著重要關系。樣本點數量、空間相關性影響著Kriging模型的精度。科學合理地選取樣本點是實驗設計的主要內容。本文選用最優對稱拉丁超立方體抽樣方法來選擇樣本點。使用此方法選取的樣本點數量一般為設計變量個數的4 倍。當然，如果預測的響應在設計空間內變化劇烈，也可以多選擇一些樣本點來達到更好的全局近似。本文選取24 個樣本點，利用有限元/邊界元方法計算24 種情況下的響應值，并建立了實時預報設計空間內任一點響應值的代理模型，再選取(0.1，0.11，0.27，0.25，0.12，0.028)和(0.09，0.099，0.243，0.225，0.108，0.025 2)這2 個非樣本點（分別記為預測點1 和2）來檢驗所建代理模型的精度。表2 示出了采用有限元耦合方法求得的各響應值與基于代理模型得到的響應值的對比結果。由表可見，基于代理模型的計算結果與常規數值模型方法所得結果最大相差3.5%，最小相差0.084 2%。最大誤差在允許范圍內[16]，這說明由24 個樣本點建立的Kriging 模型預測精度較高，在設計優化過程中可以代替數值模型作為目標響應值的分析模型。

表2 基于代理模型和常規數值模型的響應值Table 2 Responses calculated by surrogate model and conventional numerical model

2.3 基于改進目標傳遞法的優化結果

將所建的Kriging 代理模型作為分析模型，根據1.2 節所述步驟求解。本文改進的目標傳遞法設置的容許誤差為0.01。值得注意的是，為了盡量減少各優化目標因不同的絕對值及其取值范圍帶來的不同相對權重，避免結果“偏向”某一學科，本文將各目標值除以目標初始值進行了無量綱化，旨在一定程度上減少這種傾斜，然而仍然不能完全消除此影響[4]。

表3 為分別通過改進的目標傳遞法和傳統的目標傳遞法得出的結果，即通過改進目標傳遞法得到的6 個設計變量優化結果為(0.1，0.111，0.270 4，0.254，0.121，0.022 4)，記為結果1；通過傳統的目標傳遞法得到的優化結果為(0.082 5，0.09，0.217，0.201，0.097，0.026 6)，記為結果2。由表可見：相較于初始值，兩種目標傳遞法在6 個目標函數上都達到了更好的優化效果：應力分量、1-2 階共振頻率更大，共振頻率處的聲功率級和圓柱殼質量更小；在整個肋距范圍內，對于包括殼板橫剖面正應力最大值 σ1、 殼板縱剖面正應力最大值 σ2、肋骨橫剖面正應力的最大值 σf和結構1-2 階共振頻率f1這4 個目標函數，改進的目標傳遞法比傳統的目標傳遞法都得到了較大的值，即優化效果更好；改進的目標傳遞方法對聲功率級（共振頻率處的聲功率級）W和環肋圓柱殼質量M目標函數的優化結果比傳統的目標傳遞法要大，即優化效果較差，但增大的最大幅度為聲功率級目標，只有0.9%。當傳統的目標傳遞法達到收斂后，計算第1 級和第2 級每個學科的響應以及相應連接變量的偏差，用向量的二范數度量。由于學科級有6 個不同的目標，因此可以得到6 個偏差值(殼板橫剖面正應力最大值偏差 Δσ1、殼板縱剖面正應力最大值偏差 Δσ2、肋骨橫剖面正應力的最大值偏差 Δσf、結構1-2 階共振頻率偏差 Δf1、共振頻率處的聲功率級偏差 ΔW、環肋圓柱殼質量偏差ΔM)，如表4 所示。由表可見，最小的偏差值為0.014 3，而改進的目標傳遞法得到的最小偏差值小于0.01 才會達到收斂標準。可見，利用拉格朗日對偶原理得到的改進目標傳遞法其收斂性強于傳統的目標傳遞法。

表3 優化結果Table 3 Optimization results

表4 傳統目標傳遞法學科級與系統級的偏差值Table 4 Deviation terms between system level and discipline level in conventional ATC

綜合表3 和表4 的數據可知：改進的目標傳遞法在殼板橫剖面正應力最大值 σ1、殼板縱剖面正應力最大值 σ2、肋骨橫剖面正應力的最大值σf和結構1-2 階共振頻率f1這4 個目標函數上與傳統的目標傳遞法相比，達到了更好的優化效果，且其他2 個目標函數的優化結果與傳統的目標傳遞法相差無幾；在此基礎上，改進的目標傳遞法比傳統的目標傳遞法還具有更好的收斂性。因此，本文提出的利用拉格朗日對偶原理的改進目標傳遞法優于傳統的目標傳遞法。

3 結 語

本文利用Kriging 代理模型和改進的目標傳遞法完成了水下非均勻環肋圓柱殼的多學科優化。首先，根據水下航行器的輕量化、強度以及振動和聲輻射方面的要求，選取了第1 檔肋距、肋距公差、3 種肋骨腹板高度、圓柱殼板厚度作為設計變量，質量、應力、共振頻率、共振頻率處的聲功率級作為目標函數進行優化；然后，選用最優對稱拉丁超立方體抽樣方法選取樣本點，利用有限元/邊界元方法對樣本點的響應進行數值計算，利用計算結果建立Kriging 代理模型，并計算驗證了其精度；最后，為了保證優化結果的收斂性，利用引入拉格朗日乘子的改進目標傳遞法，基于6 個設計變量，對6 個目標函數進行了優化設計。結果表明，代理模型預報的結果與常規數值模型所得結果最大相差3.5%，因此，采用Kriging 代理模型來代替高精度的數值計算模型有效地解決了計算量過大、計算時間過長的問題，且具有較高的精度；使用改進的目標傳遞法可以得到與傳統的目標傳遞法基本相同的優化結果，且其收斂性相較于傳統的目標傳遞法提高了30%。水下非均勻環肋圓柱殼是水下航行器的經典簡化模型，其性質和工況相比于實際的水下航行器結構比較簡單，后續還可利用本文方法，對典型的實際水下航行器結構進行優化設計，以檢驗本文方法在實際生產中的適用性，以增強分析方法的穩定性，最終達到在實際生產中指導水下航行器設計的目的。