基于改進差分進化和回聲狀態網絡的時間序列預測研究

許美玲 王依雯

時間序列廣泛存在于人類社會生活的方方面面,比如經濟領域的生產總值、商品的銷售量、股票的增長幅度等[1];天氣領域中城市的降雨量、平均氣溫等[2?3];社會領域中城市交通流量、外來人口遷徙量及汽車能量消耗值等[4];工業領域中高爐煉鐵的中心溫度[5]、鋼鐵企業能源預測[6]和原油物性預測[7]等.

隨著人工智能研究的不斷發展,人工神經網絡、支持向量機[8]等機器學習方法逐漸成為非線性時間序列建模和預測的主要工具.但是傳統的人工神經網絡如BP(Back propagation)神經網絡[9]存在訓練算法復雜、網絡結構難以確定、易陷入局部最優和收斂速度慢等問題.支持向量機模型若訓練樣本過大,存在訓練時間過長且效果不佳的問題.極限學習機(Extreme learning machine,ELM)[10]是針對單層前饋神經網絡設計的新型學習算法,學習速度快,泛化性能好,但其靜態前饋結構不適用于動態時間序列的建模.隨著學者們的不斷研究,發現回聲狀態網絡(Echo state network,ESN)[11]在時間序列預測方面存在一定的優勢,其訓練算法簡單,計算快速,且能保證解的全局最優性.雖然回聲狀態網絡具有以上優點,但是也存在一些問題,例如儲備池的適應性問題、穩定性問題及病態解的出現會影響網絡的泛化能力,容易產生過擬合等.

近年來,眾多學者們針對回聲狀態網絡存在的問題進行一些改進.文獻[12]提出一種基于L1 范數正則化的改進回聲狀態網絡,將L1 范數作為懲罰項,防止模型出現過擬合現象,提高模型的穩定性.文獻[13]利用改進的小世界網絡優化泄露積分型回聲狀態網絡,有效地改進了儲備池神經元的連接方式,減少了稀疏連接的隨機性,提高了儲備池的適應性.文獻[14]提出拉普拉斯回聲狀態網絡解決了由于實際訓練樣本的數量小于隱藏層節點數存在的不適定問題并獲得低維的輸出權重.文獻[15]提出一種魯棒回聲狀態網絡預測模型,采用更具魯棒性的拉普拉斯分布代替高斯分布對數據的噪聲進行描述,消除了異常點對模型泛化能力的影響.文獻[16] 結合回聲狀態網絡和Kalman 濾波,利用Kalman 濾波直接對網絡的輸出權值進行在線更新,擴展了算法的適用范圍,提高預測精度.文獻[17]利用遺傳算法直接優化ESN,實現自適應非線性動力系統的控制.文獻[18]采用人工魚群算法優化回聲狀態網絡,滿足了聚氯乙烯聚合過程的實時控制要求.文獻[19]利用粒子群優化算法對ESN 中未經訓練的權重進行優化,提高網絡的預測性能.

雖然已有學者采用智能優化方法優化回聲狀態網絡參數,但由于回聲狀態網絡的儲備池包含節點較多、搜索空間較大,優化效果還有待改善.遺傳算法(Genetic algorithm,GA)[17,20]通過模擬自然進化過程搜索最優解,但容易過早收斂,存在早熟現象.粒子群算法(Particle swarm optimization,PSO)[21]的魯棒性較差而且容易陷入局部最優解,參數的初始化對粒子群算法的性能影響較大.蟻群算法(Ant colony optimization)[22]盡管具有較強的魯棒性,但是有明顯的經驗性,收斂慢,對實際問題適用性不強.人工魚群算法(Artificial fish,AF)[23]雖然不易陷入局部最優,但不適合同時優化不同范圍或者范圍相差較大的參數,而且人工魚群算法本身較為復雜,效率低.研究中發現差分進化算法[24]簡單,具有較強的全局搜索能力,尋優速度快,且能平衡局部及全局的信息來進行搜索,更具實用性,魯棒性.教與學優化算法(Teaching-learning-based optimization,TLBO)[25]原理簡單、易實現,需要調優的參數極少,且計算效率比傳統的方法計算效率高.該算法自提出以來,已被廣泛用于函數優化、神經網絡優化、工程優化等領域.然而,每種算法都不是萬能的,教與學優化算法也存在早熟收斂現象.綜上,本文選用全局性較強的差分進化算法.

為使差分算法可以更加準確地找到最優解及適用性更強.本文提出一種改進的差分算法,一方面對縮放因子(Scale factor,F)和交叉概率(Cross rate,CR)采用自適應,另一方面對變異策略采用自適應.綜上所述,本文利用改進的差分進化算法來優化回聲狀態網絡中儲備池的4 個重要參數,對每個個體都分配一個適合的F、CR和變異策略,使個體變異更加趨向于適應度好的個體,從而加快該算法的收斂速度,更準確地找到最優解,提高預測精度.

1 回聲狀態網絡

Jaeger 等[11,26]提出的回聲狀態網絡(Echo state network,ESN)是一種簡化的遞歸神經網絡,用稀疏連接的儲備池代替全連接的隱含層,增強了對動態系統的建模能力,避免一般神經網絡基于梯度下降原理的收斂速度慢、易陷入局部最優的問題.

1.1 ESN 基本原理

如圖1 所示,回聲狀態網絡是一種三層遞歸神經網絡,由輸入層、隱含層和輸出層三部分組成,隱含層又稱儲備池,含有成百上千個稀疏遞歸連接的神經元,神經元之間的連接權值隨機生成且固定不變.

圖1 ESN 結構示意圖Fig.1 Structure of ESN

ESN 的狀態方程和輸出方程如下:

式中,u(t)∈RM×1是M元輸入向量,y(t)∈RM×1是M元輸出向量,bx ∈RN×1為輸入偏置,b ∈RM×1為輸出偏置.由當前時刻t的輸入u(t) 和前一時刻t?1 的儲備池內部狀態x(t ?1) 通過激活函數的映射得到當前時刻的狀態x(t)∈RN×1.φ(·)為神經元的激活函數,可以選取Sigmod 函數或者tanh 函數.輸入連接矩陣Win ∈RN×M的元素在區間[?1,1]取值.Wx ∈RN×N為儲備池內部連接矩陣,稀疏連接.通過偽逆求得輸出連接矩陣w ∈RN×M.輸入連接矩陣Win和內部的連接矩陣W x隨機生成,且在回聲狀態網絡的訓練階段始終保持不變.網絡只需求輸出連接矩陣w,因此降低了計算復雜度.

1.2 網絡關鍵參數

回聲狀態網絡的核心是儲備池,儲備池性能的好壞取決于4 個重要的參數:儲備池規模N、儲備池的譜半徑R、稀疏度D以及輸入變換因子S,如何選取這4 個參數至關重要.下面介紹儲備池的參數選擇對模型性能的影響.

1)儲備池規模

儲備池的規模N即為儲備池中神經元數目,是影響ESN 預測性能最重要的參數.N的值過大,造成過擬合;N的值過小,造成欠擬合.

2)儲備池的譜半徑

譜半徑R為內部連接矩陣Wx的最大特征值的絕對值.R的取值范圍一般為[0,1]之間,但對于不同的時間序列其取值將視情況而定.

3)稀疏度

儲備池內部神經元連接的稀疏程度稱為稀疏度D.儲備池的神經元之間不是全連接,而是少部分連接.具體實現方法是使儲備池的連接權值W x中的大多數元素等于零.Jaeger 等認為稀疏度D ∈[0,0.1]即可保證儲備池具有足夠的動力特性.

4)輸入變換因子

輸入變換因子S是指在信號輸入儲備池前縮放的比例因子,表征輸入連接權值的取值范圍.根據式(1)可知,其大小決定激活函數的工作區間,也決定了輸入對儲備池的狀態變量作用的強度.其取值范圍通常在[0,1]之間.

回聲狀態網絡參數的選擇往往會針對數據的不同特性而變化,因此如何選擇適合不同數據的儲備池參數是本文研究的重點.本文采用差分進化算法來自動選擇適合當前數據的儲備池的參數,提高網絡的預測性能.

2 改進差分進化算法

差分進化算法(Differential evolution,DE)是基于群體智能的優化算法[24].由于算法簡單易于實現、魯棒性好、搜索能力強等優點被廣泛應用于電力、煉油、工業及科學研究等領域[27?28].

2.1 差分進化算法

一般來說,常常選用差分進化算法解決模型參數優化問題.標準的差分進化算法包括4 個操作:初始化、變異、交叉和選擇.下面介紹這4 個操作的具體實現.

1)隨機初始化個體數量為NP,迭代次數為G的一個種群,記X(X1,G,X2,G,···,X i,G,···,X NP,G),其中Q為待優化問題的維數,初始化公式:

Xmax和Xmin分別為種群個體范圍的上限和下限,rand(?)函數表示生成范圍在(0,1)之間的隨機數.

2)變異操作則是利用變異策略來產生新的個體,有利于后代進行搜索以便找到最好的解.變異策略有:

得到變異種群V G(V1,G,V2,G,···,V i,G,···,V NP,G),其中V i,G代表變異的新個體,i1,2,···,NP,j1,2,···,Q.r1,r2,r3,r4,r5為隨機生成的數,代表不同于i 的個體,Xbest,G代表當前種群適應度最好的個體,F為縮放因子.變異策略“DE/current-to-pbest/1”由Zhang 等提出[29],如式(9),將當前種群按適應度排序,選擇出適應度較好的前p%個個體,Xpbest,G從中隨機選擇.該變異策略帶有小范圍的外部存檔arch 來存儲迭代時競爭失敗的父代個體,大小為NP.若外部存檔arch 的個體數大于NP,則隨機刪除多余的個體.從當前種群和外部arch 中隨機選擇,提高種群多樣性.F為縮放因子,其決定著每個個體變異的尺度來得到新的個體,因此它對差分算法的性能有著決定性影響.

3)交叉操作的交叉公式為:

其中,i1,2,···,NP,j1,2,···,Q,生成的試驗向量為U G(U1,G,U2,G,···,U i,G,···,U NP,G),每個試驗個體為CR為交叉概率因子.

4)選擇操作就是對新舊個體進行淘汰制操作,規則就是比較新舊個體的適應度,適應度好的個體順利進入下一代,適應度差的就被淘汰,以此來獲得適應度較好的種群.選擇公式:

式中,Xi,G為第G代的第i個個體,如果目標矢量X i,G的適應度比試驗矢量Ui,G適應度好,則X i,G進入下一代成為Xi,G+1;反之,Ui,G進入下一代成為X i,G+1.

2.2 參數的自適應

在標準的差分進化算法中,縮放因子F和交叉概率CR是一個確定值,意味著種群中的每個個體都是用同樣的F和CR來進行后面的變異和交叉操作,但是合適的參數選擇通常與個體成員相關,不同的個體對應著不同的控制參數.為了使參數F和CR的選擇適合每一個個體,本文采用自適應方法,控制參數在進化的過程中根據個體適應度之間的關系自適應變化.

1)縮放因子F的自適應

從變異策略方程式可知,差分矢量實際上是對基向量各維的擾動,F則控制擾動量的大小.如果生成差分矢量的兩個個體Xp,G和Xq,G在搜索空間中離得很遠,則生成的差分矢量比較大,此時F應減小,否則對基向量Xb,G的各維的擾動量太大,將會使變異個體超出整個搜索空間,不利于局部搜索.如果Xp,G和Xq,G在搜索空間中的位置相近,則生成的差分矢量的值 (X p,G ?X q,G) 就會很小,此時F應增大,否則基向量Xb,G的各維的擾動量太小,就起不到變異的作用,不利于在進化初期的全局搜索.因此,本文采用自適應策略為每個個體選擇合適的縮放因子F i,在全局搜索和局部搜索之間取得平衡.

式中,fb,f p,f q分別為個體Xb,G,X p,G,X q,G的適應度,F l和F u分別為F i給定的最小值和最大值.上式表明如果Xp,G和Xq,G的適應度相差很小,說明這兩個個體在搜索空間里離得很近,則F i取值大,以防止對基向量的各維擾動過小;如果Xp,G和X q,G的適應度相差很大,說明這兩個個體在搜索空間里位置離得很遠,則F i取值小,以限制擾動量過大.

2)交叉概率CR的自適應

從交叉策略方程式可知,CR是來控制變異矢量Vi,G對試驗矢量Ui,G的貢獻的.如果CR過大,則控制變異矢量Vi,G對試驗矢量Ui,G的貢獻越多,對目標矢量的破壞也就越大,從而使原本適應度很好的個體結構遭到破壞,不利于種群的進化.如果CR過小,則不易產生新的個體,會使整個搜索過程緩慢甚至停止,不利于種群后代的搜索.因此,CR的取值應該根據個體的適應度的變化而變化,對適應度很好的個體,此時CR應減小,避免對該個體造成破壞,使其進入下一代的機會更大;對適應度差的個體,此時CR應增大,有利于改變該個體的結構則使產生適應度好的個體的可能更大.每個個體的交叉概率CR i計算如下:

式中,CR u,CR l是CR i給定的最大值和最小值,fmin和fmax分別代表第i個個體的適應度、種群適應度的平均值、最優個體的適應度和最差個體的適應度.上式表明如果當前第i個個體的適應度大于當前種群適應度的平均值,說明該個體不好,此時CR應增大;如果該個體的適應度小于當前種群適應度的平均值,說明該個體性能好,此時CR應減小,使該個體更可能進入下一代.

2.3 變異策略的自適應

在標準的差分進化算法中,變異策略只使用一種,意味著種群中的每個個體都使用同樣的變異策略進行變異,但是合適的變異策略選擇通常與問題和初始的種群息息相關,不同的優化問題對應著不同的變異策略,且初始化具有隨機性.為了使變異策略的選擇獨立于優化問題和初始化,根據文獻[30],本文采用自適應方法,使變異策略在進化的過程中,在指定的策略池中內自適應地選擇,策略池包括的策略:“DE/rand/1”、“DE/rand/2”、“DE/targetto-best/1”和“DE/current-to-pbest/1”[29],如式(4)、(5)、(8)、(9).

首先在LP代及LP代之前,策略池中的每個策略被選擇的概率是一樣的,假設策略池有M個策略,那么初始時每個變異策略被選擇的概率是 1/M.每次迭代時,將通過第m個策略生成進入下一代個體的數量記作,將通過第m個策略生成的個體沒有成功進入下一代的個體數量記作.從LP+1 代開始,根據之前和的記憶,來更新策略池中每個策略被選擇的概率.例如,在G代時,第m個策略被選擇的概率為:

式中,m1,2,···,M,G>LP,表征當前G代中第m個策略生成的試驗矢量成功進入下一代的可能性大小.為了使每個策略被選擇的概率和為1,則將除以各個策略的成功率的和.為避免變異策略生成進入下一代個體的成功率為0,本文中ε的值設為0.01.

3 改進的差分進化算法優化儲備池參數

ESN 優點在于網絡學習過程中僅需調節儲備池到輸出層之間的輸出連接權值,而其他連接權值一般都隨機賦值后保持不變.儲備池參數設置直接影響ESN 的預測性能,人工調節參數既費時又不能選擇出最適合的參數值,所以本文提出基于改進的差分進化算法優化回聲狀態網絡(Improved differential evolution-echo state network,IDE-ESN)的參數.本文將實驗數據分為訓練集、測試集兩部分,目標函數為訓練集誤差最小.具體闡述如算法1 所示,流程圖如圖2 所示.

圖2 IDE-ESN 算法流程圖Fig.2 Flow chart for IDE-ESN

4 仿真實驗

為驗證本文所提模型的有效性,本文選擇Lorenz 時間序列、大連月平均氣溫?降雨量數據集進行仿真實驗.同時,在相同的數據集上,與人工魚群[18]優化ESN(AF-ESN)、粒子群[19]優化ESN(PSOESN)、教與學優化算法[25]優化ESN(TLBO-ESN)和極限學習機預測模型(ELM)[10]的仿真結果進行比較.模型預測性能好壞的評價指標為均方根誤差(Root mean square error,RMSE)、平均對稱絕對誤差(Symmetric mean absolute percentage error,SMAPE)和標準化均方根誤差(Normalized root mean squared error NRMSE).RMSE、SMAPE 和NRMSE 的計算公式定義如下:

式中,y(t) 為測試數據的真實值,y′(t) 為網絡預測值,為真實值的平均值,n為測試集的大小.

4.1 Lorenz 時間序列

Lorenz 系統方程描述如下:

當a=10、b=28 和c=8/3 時,系統是具有混沌特性.采用龍格庫塔方法產生2 500 組離散時間序列.

算法 1.改進差分進化回聲狀態網絡

步驟 1.隨機初始化種群X(X1,G,X2,G,···,X i,G,···,X NP,G),NP為種群個體數,G=0 為初始代數.種群個體的每一維代表儲備池的一個參數,每一個參數都有選擇范圍,因此對個體的每一維進行約束.

步驟 2.將個體的每一維分別賦值給儲備池對應的參數:儲備池規模N,稀疏度D,譜半徑R和輸入變換因子S,進行適應度評價,選出最優個體.適應度評價為計算ESN 模型在訓練集上的均方根誤差.

步驟 3.根據式(12)來選擇每個個體對應的縮放因子F i.

步驟 4.當迭代次數G ≤LP時,在變異策略池中隨機選擇變異策略,生成變異個體Vi,G.當迭代次數G>LP時,根據前G ?LP代得出的和依式(14)和(15)計算每個變異策略被選擇的概率,并選擇概率最大的變異策略來產生變異個體Vi,G.

步驟 5.用式(13)為每個目標個體選擇CR i,通過交叉策略,即式(10)來生成試驗個體Ui,G.

步驟 6.通過對原個體與試驗個體進行適應度評價比較,選出適應度好的個體來進行種群更新.即若f(X i,G)>f(U i,G),則若f(X i,G)≤f(U i,G),則X i,G+1X i,G,+1.并更新最優個體.

步驟 7.在迭代的過程中,種群中的個體慢慢趨于相同,為了增加種群的多樣性,避免陷入局部最優,在迭代次數大于5 時,隨機選取NP/5 個體,根據Logistic 混沌映射產生與原個體差異較大的新的個體.若迭代次數G大于最大迭代次數Max iteration,執行步驟8;反之執行步驟3.

步驟 8.輸出最優個體,在測試集數據上進行驗證.

改進的差分進化算法優化ESN 模型參數的范圍設定:儲備池規模N范圍設為[20,100]、稀疏度D范圍設為[0.01,0.5]、譜半徑ρ范圍設為[0.1,1]及輸入變換因子S范圍設為[0.0001,0.1];種群大小NP 設為25,最大迭代次數設為30.縮放因子F的范圍設為[0.1,0.9],交叉概率CR的范圍設為[0.1,0.9].前 70%數據用于訓練,30% 數據用于測試,其中訓練樣本中舍棄前50 個樣本產生的狀態以消除初始暫態的影響.人工魚群優化ESN 模型及粒子群優化ESN 模型的參數設置同改進差分優化ESN 模型.表1 給出了對于Lorenz 序列IDEESN 選出的最好的參數值.

表1 Lorenz-x(t)序列:IDE-ESN 模型參數Table 1 Lorenz-x(t)series:parameters in IDE-ESN

表2 給出了不同模型對Lorenz-x(t)的單步預測結果,可以看出本文所提模型在RMSE、SMAPE及NRMSE 方面均好于其他對比模型,更具優勢.其中,人工魚群優化ESN 模型的預測精度不及粒子群優化ESN 模型,可以看出同時優化多個范圍不同的參數時,人工魚群優化ESN 模型存在局限性.圖3 給出了IDE-ESN 對Lorenz-x(t)測試數據的預測曲線和誤差曲線.從圖中可以看出,預測誤差很小,IDE-ESN 能夠很好地擬合Lorenz-x(t)序列.得到各個算法誤差指標如表2 所示.

圖3 Lorenz-x(t)序列:IDE-ESN 的預測曲線及誤差曲線Fig.3 Lorenz-x(t)series:prediction and error curves obtained by IDE-ESN

表2 Lorenz-x(t)序列:測試集仿真結果Table 2 Lorenz-x(t)time series:prediction results on the test dataset

表3 給出對于Lorenz 序列不同模型在30 次迭代次數下運行時間,可以看出AF-ESN 模型運行時間最長,該模型的時間復雜度最大.PSO-ESN 的時間復雜度最小,本文所提模型IDE-ESN 運行時間雖然比PSO-ESN 長,但是預測精度高,綜合來看,IDE-ESN 模型更具優勢.圖4 給出對于Lorenz 時間序列,本文所提出的改進的差分進化算法優化ESN(IDE-ESN)、粒子群優化ESN(PSO-ESN)、人工魚群優化ESN(AF-ESN)及教與學優化算法優化ESN(TLBO-ESN)在迭代過程中的適應度值(Fitness)的變化曲線圖.為更能清楚地顯示各個模型適應度曲線的差別,對適應度的值取以30 為底的對數.從圖中可以看出IDE-ESN 算法在迭代的過程中,誤差越來越小,收斂速度較快并最終穩定于較小的適應度值.

圖4 Lorenz-x(t)序列:不同模型的適應度曲線Fig.4 Lorenz-x(t)series:the curves of fitness for different models

表3 Lorenz-x(t)序列:不同模型的運行時間Table 3 Lorenz-x(t)series:run time of different models

4.2 大連月平均氣溫 ? 降雨量序列

大連市月平均氣溫和月降雨量數據集包括從1951 年1 月到2001 年12 月的數據記錄值,采樣間隔為月.大連月降雨量序列作為實驗數據的第二維,來輔助大連月平均氣溫的預測.70% 的數據用于訓練,30% 數據用于測試,其中訓練樣本中舍棄前50個樣本產生的狀態以消除初始暫態的影響.儲備池規模N范圍設為[20,100]、稀疏度D范圍設為[0.01,0.5]、譜半徑R范圍設為[0.1,1]及輸入變換因子S范圍設為[0.0001,0.1];種群大小NP設為25,最大迭代次數設為30.縮放因子F的范圍設為[0.1,0.9],交叉概率CR的范圍設為[0.1,0.9].為證明本文所提模型有效性,對于PSO-ESN、AF-ESN模型,設置同樣的儲備池參數范圍、種群大小及迭代次數.表4 給出本文所提出的模型選出的最適合大連月平均氣溫?降雨量序列的儲備池參數.

表4 大連月平均氣溫:IDE-ESN 模型參數Table 4 Dalian monthly average temperature-rainfall series:parameters in IDE-ESN

圖5 給出了IDE-ESN 模型對大連月平均氣溫?降雨量序列測試數據的預測曲線和誤差曲線.從圖中可以看出,本文模型能夠很好地擬合大連月平均氣溫?降雨量序列曲線,絕對誤差較小.表5給出了不同模型對大連月平均氣溫?降雨量序列的單步預測結果,可以看出本文所提模型在RMSE、NRMSE 方面均好于其他對比模型.從表5 可以看出雖然PSO-ESN 模型的RMSE 小于AF-ESN,但是SMAPE 卻很大,說明PSO-ESN 模型不能很好地預測出大連月平均氣溫的序列趨勢.而AF-ESN雖然能夠較好地擬合出序列的變化趨勢,但是在RMSE 和NRMSE 方面誤差較大,說明在某些點上的預測上存在較大偏差.本文所提IDE-ESN 模型無論在RMSE 方面還是NRMSE 方面都小于其他對比模型,具有明顯優勢.

圖5 大連月平均氣溫:IDE-ESN 的預測曲線及誤差曲線Fig.5 Dalian monthly average temperature series:prediction and error curves obtained by IDE-ESN

表5 大連月平均氣溫:測試集仿真結果Table 5 Dalian monthly average temperature series:prediction results for the test dataset

圖6 給出對于大連月平均氣溫數據集,IDEESN、PSO-ESN、AF-ESN 及TLBO-ESN 在迭代過程中的適應度值的變化曲線圖,從圖中可以看出IDE-ESN 算法較快收斂,且誤差較小.表6 給出對于大連月平均氣溫數據集不同模型在30 次迭代次數下的運行時間,可以看出AF-ESN 模型運行時間最長,該模型的時間復雜度最大.IDE-ESN 模型運行時間略大于PSO-ESN 模型,TLBO-ESN 模型運行時間是本文提出模型運行時間的兩倍.PSOESN 模型雖然運行時間最短,但預測精度較差.

表6 大連月平均氣溫:不同模型的運行時間Table 6 Dalian monthly average temperature series:run time of different models

圖6 大連月平均氣溫:不同模型的適應度曲線Fig.6 Dalian monthly average temperature series:the curves of Fitness for differential models

5 結論

本文針對不同的時間序列,利用改進的差分進化算法來動態選擇回聲狀態網絡的參數,以適應于不同時間序列的動力學特性,從而提高預測精度和泛化性能.對于標準的差分進化主要有兩方面的改進:1)對于算法的控制參數的自適應選擇,主要包括縮放因子F和交叉概率CR;2)變異策略的自適應選擇.對兩組時間序列進行預測,仿真實驗結果表明,本文所提出的模型較其他預測模型有了很大的改善,既具有較高的預測精度,又具有較快的收斂速度和運行速度,在時間序列預測分析中具有實用性和有效性、普遍性.