一種洛倫茲力微機械諧振磁傳感器建模及數值仿真?

劉 恒，張 玉，舒進華，楊添熠

(南京信息工程大學電子與信息工程學院，江蘇 南京 210044)

磁性傳感技術由于不受環境的濕度、污垢、油脂、灰塵以及安裝振動的影響，因此磁傳感器在電子儀器儀表和工業設備中有著廣泛的應用，如鐵磁材料剩余應力檢測、缺陷定位、磁共振成像、流程工業、煤礦勘探、電流測量和等方面[1－2]。基于MEMS的磁傳感器具有體積小、功耗低、成本低、性能穩定、批量生產和高靈敏等優點[1]，傳感器制備材料以硅為主，克服了磁傳感器制備須采用特殊磁性材料及其對被測磁場的影響。基于洛倫茲(Lorentz)力的微機械諧振式磁傳感器通過電容、壓阻和光學感測技術來檢測磁場。電容檢測通過表面或體硅微加工工藝實現，將待測磁場轉換為電信號輸出。表面工藝允許電子電路與磁傳感器制作在同一芯片上，溫度依賴性較小[3]。但諧振微結構在常壓封裝下有大的空氣阻尼，需要真空封裝才能提高傳感器靈敏度。壓阻檢測適于采用體微加工工藝實現和簡單的信號處理系統，但輸出電阻易受溫度影響導致存在電壓偏移，系統中需額外溫度補償電路。利用光敏檢測技術制備的磁傳感器具有抗電磁干擾的特性，系統需要測控電路比其他兩種的少，但檢測系統存在體積大、難集成缺點。上述檢測技術都存在著由焦耳效應而導致傳感器結構發熱諧振頻率漂移問題，因此測控電路需跟蹤諧振頻率的變化來維持傳感器工作在諧振狀態[4]。

在微機械諧振式傳感器模擬驅動控制中，有鎖相環頻率跟蹤和自激振蕩驅動兩種方案[5－6]。鎖相環頻率跟蹤控制利用交流電壓作用于驅動結構上產生交變的靜電力來激勵結構振動，利用鑒相器來比較驅動電壓和檢測振動信號的相位差，當相位差不滿足期望值時調整驅動電壓頻率直至滿足相位差要求。品質因數較小時，頻率調整時間較長，傳感器動態性能受到壓控振蕩器初始頻率和濾波器等影響。需配合微機械諧振傳感器的固有頻率來對集成的鎖相環芯片選型。自激振蕩利用上電隨機噪聲產生靜電力來激勵微結構振梁，在真空封裝下，微結構等效為一個高品質因數的帶通濾波器，通過不斷的反饋來增大靜電驅動力和振動幅度[7]。品質因數越大，選頻特性越好，頻率跟蹤特性更好[8]。品質因數小，難起振穩定。本文設計了一種洛倫茲力微機械諧振磁傳感器，并推導了傳感器靈敏度解析表達式，針對傳感器頻率跟蹤要求，分析基于鎖相環的頻率跟蹤電路并利用平均周期法分析了電路穩定性要求及結構、電路參數對頻率跟蹤的影響。

1 洛倫茲力微機械諧振磁傳感器

洛倫茲力微機械諧振式磁場傳感器表芯包括結構層和電極層。結構層包括上下、左右對稱的四個支撐結構振動的錨點F41、F42、F43、F44，4個多級折疊梁E31、E32、E33、E34分別依附于4個錨點上懸空。一個倒“工”字型的微機構質量塊M的4個末端分別與4個多級折疊梁連接。在支撐梁的支撐下，質量塊懸空，質量塊有阻尼孔，上下、左右對稱，質量塊垂直方向附有懸空平板。檢測電容4個錨點D21、D22、D23、D24固定，4個錨點分別連接有懸空的平板，質量塊附著的平板與檢測電容錨點連接的平板構成檢測電容，其中D21和D22為上下對稱的一組，D23和D24也為上下對稱的一組，當質量塊M沿X軸左右移動時，一組電容增大，則另一組電容減小，構成差分檢測電容對。質量塊M左右振動時，為了限制折疊梁幅度過大失效，A1和A2為對應的水平止檔錨點，在A1和A2的中部設置有止檔板，結構層見圖1。

圖1 洛倫茲力微機械諧振傳感器結構層示意圖

洛倫茲力微機械諧振傳感器在應用中電極連接及接口電路見圖2，錨點F41和F43通過電極層連接在一起，錨點F42和F44通過電極層也連接在一起；檢測電容錨點D21和D22也通過電極層連接，D23和D24也連接。當存在沿X軸方向的磁場時，直流偏置電壓V B與交流電壓V C(t)差分偏置作用于上下兩組錨點上，連接見圖2。當存在垂直紙面方向變化磁場B時，微結構存在Y軸方向的自上向下電流，根據左手定則，質量塊M受到洛倫茲力的作用左右振動。

圖2 洛倫茲力微機械諧振傳感器接口電路

根據原理，質量塊M受到的洛倫茲力F(t)為:

式中:B(t)為待測磁場，T；i(t)為電流，A；L為電流在垂直方向的微結構長度，m，微結構尺寸和電壓加載方式確定后，L就為已知量。在洛倫茲力作用下，微結構振動位移x(t)，m，有:

式中:m為微結構的模態質量，kg；c為封裝后的阻尼系數；k為4個多級折疊梁的等效剛度，N/m。微結構的固有諧振頻率f0，Hz，ωn為角頻率，rad/s，表示為:

當激勵電流頻率與微機構固有頻率一致時，微結構振動位移x(t)表示為:

式中:Q為封裝后的品質因數，反比于阻尼系數c。微結構質量塊M上的平板與檢測電容錨點上的平板構成差分檢測電容。差分檢測電容C1對應左邊上下電容對，檢測電容C2對應右邊上下電容對，檢測電容表示為:

對應差分檢測電容ΔC為:

式(5)～式(7)中:N為檢測電容平板對數量，ε為空氣介電常數，S為1對平板的交疊正對面積，m2；d0為平板對初始極板間距，m。檢測電容通過電荷放大器和差分放大器輸出對應電壓V0(t)。

式中:C P為接口電荷放大器反饋電容，F；α為差分放大器的比例放大系數。當微結構和接口電路等效電阻為R時，對應流過微結構的電流i(t)為:

結合式(1)、(4)、(8)、(9)，微結構諧振狀態下輸出電壓V0(t)為:

式(10)對待測磁場B(t)求導，得到靈敏度β，V/T為:

根據式(11)有，靈敏度β與微結構本身的折疊梁剛度k，封裝制品因數Q，初始檢測電容C0，平板間距d0，電流方向的微結構長度L，微結構接口等效電阻R有關。封裝后可以通過調節反饋電容C P，加載的直流偏置電壓V B與交流電壓V C(t)的幅值及差分放大器的放大系數α來改變靈敏度。傳感器要求輸出具有良好的線性度，就要求控制上述參數不變。

2 基于鎖相環的傳感器諧振頻率跟蹤控制

洛倫茲力微機械諧振磁傳感器需要測控電路維持微機械諧振，測控電路產生的洛倫茲力變化頻率跟蹤微結構由于應力、溫度、振動幅度與頻率的耦合等導致的諧振頻率漂移。基于鎖相環的測控電路信號轉換圖見圖3，微結構在洛倫茲力作用下發生振動產生位移，通過檢測電容將結構位移轉換為檢測電容變化，通過電荷放大器和差分放大器實現檢測電壓的輸出。輸出電壓為正余弦變化的電信號，差分放大器調節增益系數α得到鎖相環需要的電壓幅值。鎖相環(Phase lock loop)一般包括3個模塊:鑒相器(PD)、低通濾波器(LPF)、壓控振蕩器(VCO)。由于洛倫茲力與微結構振動位移相位差為90°，鎖相環實現輸出電壓V0(t)與驅動交流V C(t)保持90°相位差。壓控振蕩器輸出幅度恒定的余弦波電壓加載在微結構上。

圖3 洛倫茲力微機械諧振傳感器信號轉換圖

為了便于分析，將圖3所示的信號轉換合并，得到圖4的動力學分析框圖，在接口電路基礎上增加了鎖相環。為了改善頻率跟蹤的動態特性，在濾波器后增加了積分環節。

圖4 洛倫茲力微機械諧振傳感器系統分析模型

根據圖4，洛倫茲力F(t):

式中:V d、θ、ω依次為壓控振蕩器輸出的交流電壓的幅度、相位、頻率，F為洛倫茲力的幅度，可表示為:

當待測磁場在某時刻確定時，其他參數也確定，F是固定的。壓控振蕩器相位θ為:

式中:z為輸入受控電壓，kvco是電壓－頻率轉換系數，在限定范圍內，壓控振蕩器輸出電壓的頻率與輸入控制電壓有線性關系，ω0為壓控振蕩器初始角頻率。相位θ表示為:

相位差經過積分控制器調節后有:

式中:k I為積分系數，控制器調節性能參數。鑒相器為異或門，u1(t)、u2(t)為輸入信號，UP和DOWN為輸出。鑒相器輸出方波幅度為U d，輸入信號相位差為?，y為濾波器輸出信號，為濾波時間常數，有:

根據圖4及式(12－17)，系統的動力學方程為:

假設振動位移x(t)為幅度和相位時變的[9]，有:

結合式(19)和方程組(18)，求解有:

結合慢時變系統的特性，用平均周期法近似化簡式(20)和(21)，有:

對式(16)、式(17)、式(22)、式(23)關于時間t求導并令為0，有平衡點:

對式(24)除以B(t)就得到傳感器的靈敏度，靈敏度與微結構等效剛度k、諧振頻率ωn等有關。在平衡點對方程組(18)線性化，Jacobian矩陣為:

矩陣對應特征方程為:

式中:特征值為λ。根據勞思判據，系統穩定條件是各系數大于0，同時滿足:

化簡求解后有:

改變積分控制器的系數k I來調節系統的穩定性。分析不同系數下特征值在s平面上分布情況可確定積分系數對改變系統的動態性能的影響。在k I為0時，系統具有四個極點，分別是:s1＝－ζ，s2＝－ωn/2Q，s3＝－ωn/2Q，s4＝0，其中極點s2為固定的極點，在k I增大的過程中，極點s1不斷遠離虛軸，系統響應時間變短，其他各極點也將不斷變化，達到臨界值后將出現跟蹤頻率的振蕩。

3 微機械諧振式磁傳感器的閉環數值仿真

為了對平均周期法定量分析的鎖相環頻率跟蹤測控電路進行驗證，在MATLAB/Simulink下建立鎖相環頻率跟蹤測控電路數值模型。微結構參數根據版圖設計確定，微結構層由單晶硅摻雜濃硼深刻蝕，電極層由金濺射到玻璃上，結構層和電極層通過陽極鍵合在一起[10]。封裝環境為低真空度封裝，有限元仿真確定封裝品質因數，數值模型仿真見圖5，模型參數見表1。

圖5 洛倫茲力微機械諧振磁場傳感器仿真模型

表1 傳感器及測控電路參數

根據式(28)，結合圖5和表1參數計算得到臨界k I為17.76。由于微結構在振動中存在溫度的變化造成諧振頻率的偏移[11]，等效為結構剛度的變化。在數值模型中加入了振梁機械剛度在2 s由0階躍變化到40 N/m，見圖6，測試系統頻率跟蹤的性能[12]。

圖6 剛度擾動

外部磁場輸入利用仿真時鐘疊加進入并線性增大，在仿真時間5 s內由0逐漸增加到1.25 T，見圖7，模擬外部不斷變化的磁場。

圖7 輸入的待測磁場

圖8為k I為15時的頻率跟蹤仿真曲線，滿足約束等式(27)，在剛度擾動下，諧振頻率從10 kHz變化到8.944 kHz，頻率跟蹤曲線穩定；圖9為k I為30時的頻率跟蹤仿真曲線，不滿足約束等式(27)，頻率跟蹤曲線一直振蕩，微結構幅度振蕩，k I越大，振蕩越厲害，仿真與理論分析一致。

圖8 滿足約束條件的頻率跟蹤(k I＝15)

圖9 不滿足約束條件的頻率跟蹤(k I＝30)

圖10為滿足約束等式的鑒相器輸出電壓，在2 s前，頻率跟蹤穩定，相位差恒定；當頻率跳變后，鑒相器相位差發生變化，測控電路不斷調整直到差值恒定。圖11為對應的激勵交流電壓，幅度恒定5 V，但頻率根據微結構諧振頻率變化。鑒相器差值和交流驅動電壓的仿真與電路期望一致，驗證理論分析正確性。

圖10 鑒相器對應的相位差

圖11 激勵交流電壓

在圖6的剛度擾動和圖7的待測電場激勵下，圖12為檢測輸出電壓，中間線為仿真輸出時域電壓曲線，邊緣頂線(理論)為根據平衡點ˉa0計算的幅值；圖13為激勵磁場反向減小對應檢測輸出電壓，中間線為仿真的時域電壓曲線，邊緣頂線(理論)為平衡點ˉa0計算的幅值，兩種情況仿真和理論分析完全一致，在2 s處均存在頻率跟蹤的漸穩現象。

圖12 微結構在不同磁場下的諧振幅度(正向)

圖13 微結構在不同磁場下的諧振幅度(反向)

在滿足式(28)且壓控振蕩器初始頻率ω0不同，初始頻率越小，跟蹤穩定時間越長，頻率穩定后，再次跟蹤過程相同，頻率跟蹤過程見圖14；當積分系數k I滿足式(28)，積分系數越小，跟蹤時間越長，見圖15，積分系數太小，難以滿足快速跟蹤要求；濾波器時間常數ξ越小，濾波特性越好，過大的時間常數會導致頻率跟蹤的過沖及振蕩，見圖16。仿真實驗表明平均周期法分析鑒相器為異或門的鎖相環測控電路的正確性，為后續硬件電路調試提供了基礎。

圖14 不同初始頻率的頻率跟蹤

圖15 不同積分系數的頻率跟蹤

圖16 不同濾波器時間常數的頻率跟蹤

4 結論

建立了洛倫茲力微機械諧振式磁傳感器的動力學分析模型，并針對設計的傳感器建立了鑒相器為異或門的鎖相環測控電路數值仿真模型。針對傳感器系統的高階和非線性問題，利用平均周期法結合各模塊的狀態方程，推導了頻率跟蹤的鎖相環積分器約束條件和系統穩態平衡點。數值仿真實驗定量的驗證了頻率的跟蹤穩定需滿足積分系數的約束要求，同時與接口電路的一些參數無關，穩態平衡點的仿真結果與理論分析一致。頻率跟蹤動態過程與壓控振蕩器初始頻率ω0、積分系數k I、濾波器時間常數ξ有關。