一道動態平衡高考題的兩種解法

張守柏

在物體平衡問題中，有一類動態平衡問題，這類問題的特點是一部分力是變力，是動態力，力的大小和方向隨平衡態發生變化。這類題目難度大，對學生而言是一個難點，但是在高考中考查頻率非常高。解決物體動態平衡問題時，我們常用的方法有數學解析法、三角形圖解法、相似三角形法等。但在動態平衡問題中有一種情形：在三個共點力作用下而處于平衡狀態的物體，這三個共點力其中有一個力是大小和方向都保持不變的恒力，而另外兩個力的大小和方向都隨平衡態發生變化，但這兩個力的夾角（不等于90°）保持不變。這種動態平衡問題，解題的難度最大，若找不到恰當的解法則很難解答，尤其若采用以上常規解法來解，則難以解決，但此時若用數學知識正弦定理或三角形外接圓法則就容易多了。用數學知識來解決物理問題，這正是高考對學生的一種基本能力的考查要求。因此，我們在教學過程中應該加強對學生這一能力的培養。下面我以2017年理綜全國卷Ⅰ第21題為例加以說明。

題目：（多選）現有一柔軟輕質細繩ON的O端點固定不動，在細繩中間某處M點拴一重物，用手拉住繩的另一端點N。如圖1所示，開始時，繩OM段保持豎直狀態，繩MN段則剛好被拉直，繩OM與MN之間的夾角為α（其中角α>90°）。現將重物向右上方緩慢拉起，但保持夾角α不變，直到繩OM被拉至水平，則在此過程中下列說法正確的是（? ）

A.繩OM段的拉力先變小后變大

B.繩MN段的拉力逐漸變大

C.繩OM段的拉力先變大后變小

D.繩MN段的拉力保持不變

解法一：利用數學知識——正弦定理

基本思路：如圖2所示，當物體受到三個共點力作用而保持平衡狀態時，這三個力就可以構成一個封閉的三角形，那么此時這三個共點力中任何一個力的大小與這力所對角的補角的正弦值之比都相等，即有

下面我們就用此種方法來解答，具體解法如下：

解法二：作三角形外接圓

解題思路：當物體受到三個共點力作用而處于平衡狀態時，這三個共點力可以構成一個封閉的三角形，這個三角形就有一個對應外接圓。由于這三個共點力中有一個力是大小和方向都保持不變的恒力，而且這個力所對的角保持不變。因此，在力的三角形中有一條有向線段不變，同時這條線段所對的角也就保持不變，這時我們就可以以表示這個力的有向線段為弦作三角形的外接圓，那么這條弦所對的圓周角都相等。

下面我們再用上面的方法來解答一下。具體解答如下：

假設重物的質量為m，則重力為mg，設繩OM段受到的拉力大小為TOM、繩MN段的拉力大小為TMN。在重物緩慢拉起的過程中每一時刻都認為是平衡狀態，這三個力的合力為零。所以，這三個共點力的有向線段就能構成一個封閉的三角形，現在以表示重力mg的有向線段為弦（非直徑弦，因為角α>90°）作一三角形外接圓。如圖4所示，在此過程中重力mg保持不變，而繩拉力TOM與繩拉力TMN夾角180°-ɑ不變，則有向線段mg所對的圓周角不變，有向線段三角形中TMN與TOM的交點在一個圓弧上移動，由圖可以看出，在OM被拉到水平的過程中，繩MN中拉力一直增大最后達到最大值，繩OM中拉力先增大后減小，所以B、C答案正確。

以上兩種解法在解決共點力的動態平衡問題，尤其是其中的一個力是恒力，而另外兩個力大小、方向都變化的動態平衡問題，則非常簡便快捷，可以輕松解答此類題型。通過比較我們還可以看出，此種情形采用正弦定理法更事半功倍。