人教A版新教材拓展性習題的分析與思考

【摘 要】習題是教材的重要組成部分，研究人教A版新教材中拓展性習題的數量、情境、活動等指標，解析其教學功能，并給出教學建議，真正發揮其教學功能，促進學生數學核心素養的形成.

【關鍵詞】探究性習題;指標分析;教學功能

習題是教材的重要組成部分，是數學教學過程中組織學生學習，促進數學理解的重要載體.各版教材均設置了不同層次的習題來滿足學生學習的個性化需求，引導學生展示數學理解力，滿足學生自主探究的欲望，拓展學生的數學視野[1].人教A版新教材的習題分為“復習鞏固”“綜合運用”“拓廣探索”三個層次，其中，“拓廣探索”習題著眼于鼓勵學生數學探究和知識拓廣，所選問題具有探究性、創造性與開放性.本文將此類習題稱為拓展性習題，并以人教A版必修新教材中的拓展性習題為例，對該類習題的數量、情境、活動等指標進行分析，解析其教學功能，并提出在具體教學時的建議，敬請指正.

1 幾個指標的分析

1.1 習題數量的分析將必修部分拓展性習題統計如下表（見表1）.由表1可知，人教A版必修新教材中的拓展性習題數量為108道，約占習題總數（共605道）的17.9%，拓展性習題主要分布在“三角函數”“平面向量”“指數函數與對數函數”“函數的概念與性質”“立體幾何初步”等五個單元中，這是由這些章節在整個高中數學體系中的地位決定的，是后續學習的重要基礎，因此很有必要通過一系列的探究、拓展來實現對知識的深刻理解和熟練掌握.

若與其他教材相比，“指數函數與對數函數”單元中的拓展性習題數量（共13道）比其它版教材（北師大版8道，蘇教版7道，湘教版1道）都要高，一方面是因為人教A版本單元的教材定位是在掌握指數運算和對數運算的基礎上，揭示兩種運算下數值的變化特征，為后面研究指、對數函數兩類模型的增長差異提供感性認識，如習題4.1第10題和習題4.3第9題.另一方面，人教A版教材在本章增加“不同函數增長的差異”和“函數的應用”兩節內容，習題數量相應地隨之增多.而“平面向量”這一單元的拓展性習題數量卻遠少于其他版本（如蘇教版23道），這是因為人教A版教材將此類習題的重心放在“向量的數量積”這一核心運算上.

1.2 習題呈現的情境

拓展性習題的情境可根據情境的屬性分為真實情境、虛設情境、純數學情境[2]，其中真實情境取材于日常生活、外部現實世界（自然、藝術、體育、人文等），或文學作品、科幻作品等的故事情境，虛設情境是有一定現實依據的人為構造的情境.人教A版教材按此標準統計如下（見表2）.

從表2可以看出，新教材拓展性習題以純數學情境為主要的呈現方式，以真實情境或虛設情境作為素材背景的拓展性習題約占總數的三分之一，這樣的占比契合此類問題的訓練目標.如果數量過多，則會加重學生信息表征的負荷，沖淡此類問題的核心旨意;如果數量過少，則易造成文本素材的呈現比較呆板且脫離生活實際，不利于學生數學應用意識的培養.由此可見，新教材在編寫拓展性習題時準確把握了情境設置的“度”，一方面強調素材在探究和拓展方面發揮作用，另一方面強調以現實背景引出數學問題，注重數學與現實生活的密切聯系.

1.3 解答習題的活動

教材在設計拓展性習題時，注重考慮為學生創造一定的數學活動條件和空間，學生在此過程中進行解答、寫作、項目、閱讀、實驗等活動.按照文[2]的觀點這些活動的含義如下（見表3）.

將教材中拓展性習題按上述活動類型分類統計如下（見表4）.由表4可知教材設置拓展性習題時充分考慮學生的認知水平和量力性原則，以傳統的解答活動為主要的活動類型，習題結構完整，問題指向清楚，對相關知識起到了拓展與提升的作用.同時，新教材按照新課程理念設置了以項目、實驗、閱讀和寫作等多元活動來引領學生學習的習題，通過不同類型的活動探究數學知識的本質，提升對知識的理解，促進學生深度學習.新教材注重引導學生通過閱讀情境中的信息掌握新知和數學思想方法，培養學生數學閱讀能力和知識遷移能力;新教材還設置了針對某一主題引領學生進行項目化學習，要求學生在此過程中進行調查、統計、分析與撰寫報告等一系列實踐與反思的活動，培養學生運用數學知識分析客觀事實（現象）的能力，提高數學素養.但是，新教材在實驗活動和寫作活動這兩類習題上數量相對偏少，占比僅為3.7%和1.8%.

2 教學功能解析

眾所周知，拓展性習題在深化理解，鞏固認知，拓寬視野等方面有著重要的功能.除此之外，這類習題還有一些隱性的教學功能值得研析.

2.1 承前啟后，體現整體教學

有些拓展性習題具有承前啟后的教學功能，若能在教學中注重開發利用，可極大提高教學的整體性，加強學生對知識的整體理解.題1 （習題1.4第6題）設a，b，c分別是△ABC的三條邊，且a≤b≤c.我們知道，如果△ABC為直角三角形，那么a2+b2=c2.反過來，如果a2+b2=c2，那么△ABC為直角三角形.由此可知，△ABC為直角三角形的充要條件是a2+b2=c2.請利用邊長a，b，c分別給出△ABC為銳角三角形和鈍角三角形的一個充要條件，并證明.

這道題基于學生已有的認知和活動經驗，不僅對已學知識（勾股定理）或方法（化斜為直）進行鞏固與拓展，還為新知的學習提供探究準備，充分體現整體的教學理念，讓學生在已有的經驗中進行探究活動，更利于知識目標的達成.題1正是必修第2冊P43學習余弦定理時旁白中的問題“你能用其他方法證明余弦定理嗎？”的呼應.

2.2 聯系現實，突出數學應用

正如前文分析，一些拓展性習題以現實生活為情境，充分體現了數學的應用價值，加強了數學與現實生活的聯系，引領學生“用數學”去進行學習活動.

題2 （習題9.1第11題）你可能想了解全校同學生活、學習中的一些情況，例如，全校同學比較喜歡哪門課程，每月的零花錢平均是多少，喜歡看《新聞聯播》的同學的比例是多少，每天大約什么時間起床，每天睡眠的平均時間是多少，等.選一些自己關心的問題，設計一份調查問卷，利用簡單隨機抽樣方法調查你們學校的情況，并解釋你所得到的結論.這道題與學生的生活密切相關，需要學生親身實踐，確定學習的主題、方向、方法，并用數學的方法分析，闡明自己的理解和觀點.整個研究的過程就是“用數學”，少了枯燥的解題，多了豐富的應用，這樣的學習經歷對培養學生的綜合實踐能力和數學素養是大有裨益的.

2.3 文化滲透，突顯數學價值

新課程標準倡導將數學文化滲透在日常教學中，包括將數學文化融入在習題中，這一點在新教材的拓展性習題中也得到體現.題3 （習題1.1第5題）集合論是德國數學家康托爾于19世紀末創立的.當時，康托爾在解決涉及無限量研究的數學問題時，越過“數集”限制，提出了一般性的“集合”概念.關于集合論，希爾伯特贊譽為“數學思想的驚人的產物，在純粹理性的范疇中人類活動的最美的表現之一”，羅素描述其為“可能是這個時代所能夸耀的最偉大的工作.”請你查閱相關資料，用簡短的報告闡述你對這些評價的認識.

作為高中數學學習的起始課，在習題中安排本題旨在讓學生主動去了解“集合”，走進“集合論”，在拓寬知識的同時感受數學史料的樂趣，了解集合論的發展史，激發學習興趣，有利于整個高中數學學習的心理趨向.

2.4 指導學習，引導深度學習

新教材中還設置了一類引導學生根據已學知識和經驗進行再探究的拓展性習題.

題4 （習題5.3第10題）借助單位圓，還可以建立角的終邊之間的哪些特殊位置關系？由此還能得到三角函數值之間的哪些恒等關系？

這類習題體現的是學生在相同學習經驗的基礎上進行的“二次學習”，用已經積累的活動經驗指導新的思維活動，這是一種反思性的學習體驗，也是對自己原有思維進行的遷移活動，是培養學生自學能力和展示數學學習力的途徑之一，這樣的過程有利于培養學生的發散性思維，促進學生的深度學習.

3 教學建議

如何開發利用拓展性習題？筆者認為除了日常教學中重視運用此類問題進行探究性學習、專題學習外，還可以嘗試以下教學組織與實施.

3.1 設計開放問題，培養發散思維

2020年全國高考新課程卷命制了結構不良試題，2021年八省聯考填空題中出現開放題，這些無不指向新高考要求學生具備發散思維，而發散思維的培養需要教師在平時教學中設計開放性的問題，引導學生進行探究與思考.拓展性習題就是最佳的學材，以此作為引導學生進行發散性思維學習的載體和典型案例，使其在問題解決的過程中學習一類知識，掌握數學思想方法.

學生會根據自己所學知識進行發散聯想，不同知識水平的學生寫的求值問題必定不同，學生還會在交流中進行思維碰撞，誘發自己的二次思維，形成自己的發散性思維.同時，教學中還可以引導學生對續寫的問題進行整體思維，尋找它們之間的關聯，最終形成解決一類問題的“知識框圖”，也是解決此類問題的“線路圖”（如下圖），大大提升知識的理解深度.

3.2 開發實際問題，引領項目學習

很多實際問題受時空、資金等因素影響，學生無法在學習時真實地完成，可以模擬問題情境，讓學生以項目學習的視角開展探究與拓展性學習，引導他們運用所學數學知識對模擬的實際問題進行分析與解決，培養知識遷移能力，促進深度學習[3].案例2 （習題6.4第23題）根據實際需要，利用本節所學的知識完成一次有關測量的實習作業，并寫出實習報告（包括測量問題、測量工具、測得數據和計算過程及結論）.

以此習題作為研究實際生活中“測量”問題的一個項目，具體實施時加入具體的生活情境，讓學生在身臨其境中經歷項目學習的完整流程：測量的預設、測量的方案設計、測量的數據處理、測量結果的評估等.學生在實踐中抽象出實際問題的數學對象，選擇合適的數學模型進行研究，運用合理的數學工具進行分析等等，這一系列都直指數學核心素養：用數學的眼光觀察世界，用數學的思維分析世界，用數學的語言描述世界.整個過程可能需要通過小組合作來完成，培養學生團隊協作的精神.

最后需要指出的是，在實際教學中由于受急功近利的考試氛圍影響，拓展性習題會處于高評價、低使用的尷尬境況，本文旨在呼吁一線教師重視拓展性習題的教學與研究，從學生長遠發展考慮，真正發揮其教學功能，以此促進學生數學核心素養的形成.

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部制定.普通高中數學課程標準（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2]徐斌艷.高中數學教材探究內容分析指標體系及比較研究[J].課程·教材·教法，2012（10）：35-40.

[3]丁益民.結構不良試題的認識、功能與教學實施——以2020年新課程卷第17題為例[J].數學通訊，2021（02）：11-14.

作者簡介 丁益民（1981—），男，中學高級教師，主要從事高中數學教材教法研究，曾獲江蘇省教學成果獎一等獎，江蘇省教科研先進個人，蘇州市學科帶頭人，在《中學數學雜志》等數學期刊發表論文百余篇.