基于周期性擾動學習的永磁直線電機自適應滑模位置控制

張康，王麗梅

(沈陽工業大學 電氣工程學院，沈陽 110870)

0 引 言

永磁直線同步電機(permanent magnet linear synchronous motor，PMLSM)與旋轉同步電機相比，具有更高的推力密度，更低的熱損耗，而且不存在機械耦合和滾珠絲杠問題，因此，廣泛應用于數控加工系統[1]。由于采用直接驅動方式，PMLSM伺服系統對系統周期性擾動、參數攝動及負載擾動等因素變得更加敏感，影響系統位置控制精確度。所以采取有效的控制策略抑制系統擾動，提高PMLSM的位置跟蹤性能對提高機床加工精確度具有重要的意義。

針對PMLSM伺服系統的高精密控制問題，文獻[2]采用電流預測控制策略，通過提高PMLSM的電流環特性，來提高系統的跟蹤特性，但需要被控對象的精確數學模型。文獻[3]針對PMLSM驅動系統中存在的干擾，設計了速度前饋控制器、零相位誤差跟蹤控制器和擾動觀測器，實驗結果表明了其控制策略的有效性，但擾動觀測器不能很好地解決系統抗干擾性能與魯棒穩定性之間的矛盾。滑模控制(sliding mode control，SMC)是一種常用的非線性控制方法，具有響應快、魯棒性強、實現簡單等優點[4]。但傳統滑模控制中，為了保證系統具有較強的魯棒性和穩定性，切換增益的設置要足夠大，以抵消系統的擾動，但較大的切換增益會導致高頻滑模抖振的發生[5]。文獻[6]采用 Elman神經網絡估計PMLSM伺服系統擾動，替代滑模控制律中的切換項，削弱了抖振現象，但系統的魯棒性也隨之降低。文獻[7]針對PMLSM系統利用小波神經網絡和粒子群算法結合觀測系統的不確定性，明顯地削弱了滑模抖振現象，但算法較為復雜，降低了系統響應速度。文獻[8]設計自適應律估計PMLSM伺服系統擾動的上界，改善滑模的抖振現象，由于把系統所有擾動進行集總估計，導致估計誤差較大，改善效果并不理想。

迭代學習控制(iterative learning control，ILC)可以利用之前的信息改善當前的控制輸入信號，提高系統的位置跟蹤性能，因此在PMLSM系統控制領域得到了廣泛研究[9-10]。文獻[11]將分段變論域模糊ILC應用到PMLSM系統中，使系統根據實際輸出誤差在變論域模糊ILC和PD型ILC之間實時切換，保證系統實現了高精確度的位移跟蹤和魯棒性，但是該方法對非周期性擾動非常敏感，容易導致跟蹤精確度降低，甚至系統發散。文獻[12]將小波濾波器應用到ILC算法中，利用小波濾波器剔除誤差的非周期分量，重構輸入誤差信號，加快了系統的收斂速度，但誤差信號失真對系統的控制性能可能產生影響。

針對PMLSM伺服系統存在的周期性擾動、參數攝動及負載擾動等不確定性，提出了一種自適應滑模控制(adaptive sliding mode control，ASMC)和周期性擾動學習(periodic disturbance learning，PDL)算法相結合的控制策略。滑模控制保證系統對不確定性擾動具有較強的魯棒性能。將系統擾動分為周期性擾動和非周期性擾動，利用ILC的學習能力設計PDL算法，對周期性擾動進行學習和補償，削弱系統抖振。同時設計自適應律估計非周期性擾動和學習誤差，進一步改善控制性能。最后對所提出的控制方法的有效性進行實驗驗證。

1 PMLSM的數學模型

忽略磁通畸變，d-q軸模型電壓方程為:

vd=Rsid+pλd-πvλq/τ，

(1)

vq=Rsiq+pλq+πvλd/τ。

(2)

式中：Rs為相電阻；vd、vq為d-q軸電壓；id、iq為d-q軸電流；λd、λq為d-q軸磁鏈；λd=Ldid+λPM；λq=Lqiq；Ld、Lq為d-q軸電感；λPM為勵磁磁鏈；τ為極距；v為動子線速度；p為微分算子。

理想情況下，PMLSM的電磁推力為

(3)

基于id=0磁場定向控制，電磁推力表示為

(4)

式中Kf為推力系數。

PMLSM運動方程為

(5)

式中：M為動子及所帶負載的總質量；x為動子位置；B為粘滯摩擦系數；Ffriction為摩擦力；Fripple為推力波動；Fd為負載擾動主要包括系統模型不確定性、電機動子質量變化及測量擾動等非線性因素引起的隨機擾動。

摩擦力用LuGre模型[13]表示為

Ffriction(v)=FCsgn(v)+(FS-FC)e-(v/vs)2sgn(v)。

(6)

式中：sgn(·)為符號函數；FC和FS分別為庫侖摩擦系數和靜摩擦系數；v為動子速度；vs為臨界Stribeck速度。

由端部效應引起的以動子位置信號x為自變量的周期性擾動的基波模型[13]可以表示為

Fripple(x)=Fripmcos(2πx/τ+φ0)。

(7)

式中：Fripm是端部效應力的幅值；τ為極距；φ0為初始相位電角度。

存在擾動情況下，直線電機動子位置x和電磁推力Fe之間的傳遞函數為

(8)

2 PDL-ASMC位置控制器設計

2.1 永磁直線電機伺服系統組成

伺服系統的控制目標就是在系統受周期性推力波動、摩擦力及參數攝動等不確定性受影響時所設計的控制器，使系統輸出可以跟蹤任意給定輸入。永磁直線伺服控制系統框圖如圖1所示。在系統中控制器包括PI電流控制器和PDL-ASMC位置控制器。利用PDL算法對系統中的周期性擾動進行學習并補償；滑模控制提高系統的魯棒性；采用自適應控制估計系統非周期性擾動和學習誤差，削弱系統抖振。

圖1 永磁直線電機伺服控制系統Fig.1 Permanent magnet linear motor servocontrol system

2.2 PDL-ASMC控制器設計

為方便控制器設計，將PMLSM動力學系統重新描述如下，其中擾動分為周期性擾動和非周期性擾動

(9)

為保證嚴密性，假設滿足下面的條件：

假設1 期望軌跡xd(t)在迭代周期[0,T]內，對于時間t是二階可微的。

假設2 非周期性擾動r(t)有界

|r(t)|≤rd,?t∈[0,T]。

(10)

e(t)=xd(t)-x(t)。

(11)

對于PMLSM系統，采用跟蹤誤差及其時間導數的線性組合來定義滑模面

(12)

式中：c必須滿足Hurwitz條件，即c>0。

對式(12)兩邊同時對時間t求導得

(13)

將式(9)代入式(13)可得滑模面S(t)的動態方程為

(14)

當S(t)=0時，系統狀態軌跡到達滑模面。

在第k次學習的PDL-SMC位置控制器設計為

(15)

PDL控制器設計為

(16)

式中：q、β1、β2為正常數；Sk(t)為第k次學習時的滑模面。

設計滑模控制律為

vk(t)=-gsgn(Sk)-ηSk(t)。

(17)

式中g>0為切換增益；sgn(S)為開關函數可以表示為

(18)

將式(15)代入式(14)，滑模面動態方程可以簡化為

(19)

在第k次學習的PDL-ASMC位置控制器設計為

(20)

自適應律設計為

(21)

式中γ為正常數。估計誤差定義為

(22)

將式(20)代入式(14)得

(23)

圖2 基于PDL-ASMC控制器的 PMLSM 伺服控制系統框圖Fig.2 Block diagram of PMLSM servo control system based on PDL-ASMC controller

2.3 穩定性分析

定理1 對于PMLSM系統，在假設1到3的條件下，當迭代次數接近無窮大時，式(20)中提出的控制律可以保證直線電機伺服系統位置跟蹤誤差在[0,T]上漸近收斂于零。

證明：為了證明位置跟蹤誤差e(t)和滑模面S(t)的收斂性，在第k次學習中定義李雅普諾夫函數為

(24)

證明包括兩個步驟。第一步是推導兩個連續迭代之間Lyapunov函數Vk(t)的差值。同時，第二步是對位置跟蹤誤差的收斂性進行證明。

1)連續兩次學習Lyapunov函數的差值。

(25)

(26)

根據式(25)和式(26)，可得

(27)

將式(23)代入上式，并考慮式(17)，可得

(28)

考慮到sgn(Sk)Sk=|Sk|，可將上式簡化為

(29)

(30)

對β1|Sk(t)|求導，可得

(31)

根據式(30)和式(31)，可得

(32)

將式(23)和式(17)代入上式，可得

β1|Sk-1(t)|。

(33)

(34)

由經驗方程(a-b)T(a-b)-(a-c)T(a-c)=(c-b)T(2(a-b)+(b-c))可得

(35)

根據式(16)，可將上述方程展開為

(36)

(37)

(38)

(39)

根據式(38)和式(39)，可得

(40)

(41)

2)位置跟蹤誤差的收斂性

結合式(29)、式(33)、式(37)和式(41)，可以得到李雅普諾夫函數Vk(t)在第k次學習和第k-1次學習之間的差值為

(42)

ΔVk(t)≤0。

(43)

基于李雅普諾夫穩定性理論,當Sk(t)≠0，t∈[0,T] 時，V(t)是負定的，表明李雅普諾夫函數V(t)是收斂的，可以確保系統狀態在有限時間內到達滑模面。另外，由于滑模面的定義滿足Hurwitz多項式，所以位置跟蹤誤差e(t)是漸近收斂的。

3 仿真結果與分析

系統仿真實驗中永磁直線同步電機參數：M=0.38 kg,τ=14 mm,B=0.8 N·s/m,Rs=1.1 Ω,Kf=28.5 N/A,Ld=Lq=0.019 H,λPM=0.028 Wb。周期性擾動參數FC=10 N,FS=20 N,vs=0.5(LuGre型摩擦力)；Fripm=30 N，φ0=0 (端部效應)。分別采用帶飽和函數的滑模控制器(S-SMC)和PDL-ASMC位置控制器進行控制，并比較仿真結果。S-SMC位置控制律為

(44)

式中：Φ為邊界層厚度；sat(·)為飽和函數。

S-SMC位置控制器參數設置為：c=50；β1=2.1；Φ=0.001，PDL-ASMC位置控制器參數設置為：c=50；β1=0.4；β2=0.3；g=0.6；η=160；γ=0.003；q=0.1。

期望位置輸入曲線如圖3所示，穩態后在3.4 s時加入50 N負載阻力。在PDL逼近周期性擾動的過程中，各次學習誤差的均方均根如圖4所示。由圖4可以看出，隨著學習次數的增加，學習誤差的均方根漸進收斂。圖5、圖6分別為學習15次后的學習結果和學習誤差，可以看出PDL可以精確地學習系統的周期性擾動。

圖3 正弦期望位置輸入Fig.3 Sinusoidal expected position input

圖4 學習誤差均方根Fig.4 Root mean square of learning error

圖5 擾動學習值與實際擾動Fig.5 Disturbance learning value and actual disturbance

圖6 第15次迭代的學習誤差Fig.6 Learning error of the 15th iteration

圖7(a)和圖7(b)分別為S-SMC控制和學習15次之后的PDL-ASMC位置跟蹤誤差曲線。圖7(a)可以看出ASMC控制的位置穩態誤差控制在±6.76 μm之間，由圖7(b)可以看出PDL-ASMC的位置穩態誤差控制在±1.0 μm之間。在3.4 s突加負載后，S-SMC控制的位置誤差波動為2.41 μm，穩態恢復時間為 0.27 s ，而PDL-ASMC的位置誤差波動為0.39 μm，穩態恢復時間為 0.12 s。因此可看出，當系統受周期性擾動和突加負載的非周期性擾動時，PDL-ASMC系統由于利用PDL學習周期性擾動的結果對系統進行補償以及采用自適應律對學習誤差和非周期性擾動進行估計，使得其穩態誤差更小，穩態恢復時間更快，魯棒性更強。

圖7 輸入正弦信號時系統位置跟蹤誤差曲線Fig.7 Position tracking error curve of system when inputting sinusoidal signal

4 實驗結果與分析

基于數字信號處理器的PMLSM伺服系統實驗硬件結構圖如圖8所示。實驗選用TMS320F28335作為核心控制單元，采樣周期為0.5 ms，伺服系統主要由永磁直線同步電機、PC+DSP運算控制單元、固定分辨率為0.05 μm的直線光柵尺，霍爾電流傳感器，IPM逆變器。利用匯編語言實現控制算法及電流矢量控制，輸出6路PWM波控制IPM 模塊的導通。圖9為基于DSP的PMLSM實驗系統實物圖，實驗數據通過485串口傳送給上位機。在實驗中，電機參數和控制器參數與仿真實驗相同。

圖8 基于DSP的PMLSM控制系統硬件結構圖Fig.8 Hardware block diagram of PMLSM control system based on DSP

圖9 基于DSP的PMLSM實驗系統實物圖Fig.9 Photograph of PMLSM experiment systembased on DSP

采用的期望位置輸入與仿真實驗相同，并在穩態后3.4 s時加入50 N負載阻力。圖10(a)和圖10(b)分別為S-SMC控制和PDL-ASMC速度響應曲線。對比速度響應曲線，在電機起動時，圖10(b)相比于圖10(a)能更快的到達穩定運行狀態；突加負載擾動時,圖10(b)相比于圖10(a)也表現出更好的魯棒性。

圖10 系統速度響應曲線(正弦信號)Fig.10 Velocity response curve of system(Sinusoidal signal)

圖11(a)和圖11(b)分別為S-SMC控制和PDL-ASMC位置跟蹤誤差曲線。可明顯看出，在PMLSM起動時，圖11(b)比圖11(a)的響應速度更快。圖11(a)的位置穩態誤差控制在±1.47 μm內，突加負載后，位置誤差增加到8.64 μm，穩態恢復時間為0.26 s；圖11(b)的位置穩態誤差控制在±0.52 μm內，突加負載后，位置誤差增加到1.97 μm，穩態恢復時間為 0.13 s，仿真結果與試驗結果基本一致。因此可看出，當系統受其自身存在的周期性擾動(主要為端部效應和摩擦力)和突加負載擾動時，基于PDL-ASMC控制的永磁直線伺服系統表現出位置跟蹤性能更好、誤差收斂速度更快，魯棒性更強的優點。

圖11 系統位置跟蹤誤差曲線(正弦信號)Fig.11 Position tracking error curve of system(Sinusoidal signal)

當采用圖12所示的期望位置輸入曲線時，S-SMC控制和PDL-ASMC速度響應曲線如圖13(a)和圖13(b)所示。圖13(b)相比于圖13(a)速度響應曲線更平滑，且在速度突變時超調較少。S-SMC控制和PDL-ASMC控制位置跟蹤誤差曲線分別如圖14(a)和圖14(b)所示。由圖14可以看出，當動子速度突變時，PDL-ASMC策略要比S-SMC策略位置響應速度快。由圖14(a)和圖14(b)的局部放大圖可知PDL-ASMC的位置跟蹤誤差波動頻率和幅值均小于S-SMC的位置跟蹤誤差，且明顯削弱了系統抖振現象。

圖12 不規則期望位置輸入Fig.12 Irregular expected position input

圖13 系統速度響應曲線(不規則信號)Fig.13 Velocity response curve of system(irregular signal)

圖14 系統位置跟蹤誤差曲線(不規則信號)Fig.14 Position tracking error curve of system(irregular signal)

由于PDL對端部效應引起的周期性波動有很強的學習能力及滑模控制響應快的特點，使得PDL-ASMC可以更精確地跟蹤期望位置輸入曲線。

5 結 論

為了提高永磁直線同步電機伺服系統位置跟蹤精確度和魯棒性能，本文提出了一種基于周期性擾動學習的自適應滑模控制器。周期性擾動學習算法能有效處理系統中的周期性擾動。在滑模控制器的設計中綜合了周期性擾動學習算法，保證了系統對周期性擾動的抑制。采用自適應算法對系統的非周期性擾動進行估計，減小了最小切換增益，從而削弱了系統抖振。實驗與仿真結果表明，在周期性擾動和非周期性擾動狀態下，基于PDL-ASMC控制器的永磁直線伺服系統都具有位置跟蹤性能好、魯棒性強和響應速度快的優點。