幾種波動方程疊前深度偏移方法對比研究

張向輝，龐 濤，李 江

(1.陜西延長石油(集團)有限責任公司，陜西 延安 716000； 2.中煤科工集團西安研究院有限公司，陜西 西安 710077)

波動方程疊前深度偏移方法由于其先進的理論基礎和在復雜區精確的成像效果，近年來得到廣泛的研究發展與應用。波動方程疊前深度偏移的技術核心是地震波場的延拓算法，不同的波場延拓方法構成了不同的偏移方法。目前主要的波場延拓方法有有限差分方法和基于傅里葉變換的頻率波數域方法。Claerbout等[1-2]將波動方程有限差分方法(FD)應用于地震疊后偏移，為FD方法奠定了理論基礎。差分網格和計算步長是影響該有限差分偏移方法精度和效率的關鍵因素；另外，受地下反射界面傾角限制，有限差分方法易產生波形畸變現象[3-5]。高階有限差分可以消除復雜構造區的頻散現象，但其計算量較大[6]。為了提高計算效率，馬在田等[7-8]提出了有限差分高階方程的降階算法；Gazdag等[9-10]提出了相移偏移算法，該方法通過傅里葉變換在F-K域進行波場延拓與成像，大大提高了波動方程疊前深度偏移的計算效率，但該方法基于層狀介質假設，僅適應于速度垂向變化；Gazdag等[11]發展了相移加插值的波場延拓方法來適應速度的橫向變化；Stoffa等[12]提出了分步傅立葉方法，一定程度上適應了速度的橫向變化；Ristow等[13]提出了傅立葉有限差分偏移算法；Wu Rushan[14]提出了廣義屏波場方法。這些方法均在SSF方法的基礎上針對速度橫向變化引起的二階以上擾動波場進行求解，實現地震波場在復雜介質中的傳播模擬[15-16]。

本文從疊前深度偏移的基本原理出發，介紹了FD、PS、SSF、FFD等幾種波場延拓算法，分析了存在速度誤差時SSF、FFD方法的相對誤差，并通過模型測試對幾種方法進行成像效果對比，分析了各種方法的特點及適用性，為實際應用中疊前深度偏移方法的選擇提供依據。

1 方法原理

1.1 有限差分法

實際應用較廣泛的是45°有限差分方程，即：

(1)

式中，P為波場函數；V為地震波速度；t為地震波旅行時間；z為深度；x為炮檢距。

由于地震波傳播過程中的能量衰減，可以認為在一定的距離之外地震波場能量為0，利用邊界條件、初始條件、波場延拓及成像條件，即可求出地下反射界面P(x，z，t=0)。

1.2 相移方法

時間—空間域二維聲波方程可表示為：

(2)

相移法偏移的波場延拓算子可表示為：

(3)

1.3 分步傅里葉方法

對于橫向變速介質，依據速度分裂的思路可以將復雜速度場分解為勻速背景場和變速擾動場2部分，對應的慢度場也相應地分為2部分：

S(x，z)=S0(x，z)+ΔS(x，z)

(4)

式中，S(x，z)為介質慢度；S0(x，z)為背景慢度；ΔS(x，z)為擾動慢度。

據此，波場可依據慢度分成背景波場和擾動波場2部分：

P(x，z；ω)=P0(x，z；ω)+PS(x，z；ω)

(5)

(6)

(7)

式(6)、(7)構成分布傅里葉偏移的波場延拓公式。

1.4 傅里葉有限差分方法

FFD偏移方法的波場延拓分為3步來完成[17]。

(1)第1步，F-K域相移處理：

(8)

(2)第2步，頻率—空間域基于速度擾動的時移校正：

(9)

(3)第3步，頻率—空間域基于速度高階擾動的有限差分處理：

(10)

式中，a1=2.0；b1=(1+p+p2)/2；p=c/v；c為常數，表示橫向均勻速度。

2 方法對比

2.1 算法誤差分析

在F-K域，波場傳播的頻散關系方程的相對誤差表示為[18]：

(11)

(12)

FFD波場延拓算法相對誤差為：

(13)

式中，r2=sin2θ。

圖1 偏移算子相對誤差曲線Fig.1 The relative error of migration operator

2.2 偏移效果測試

設計如圖2所示的4層介質模型進行成像效果測試，正演模擬獲得該模型不同位置的地震單炮記錄如圖3所示，可以看到模擬數據中有直達波、反射波和斷點繞射波。幾種疊前深度偏移方法的成像效果如圖4所示，各種方法均獲得模型的基本構造特征，但FD方法網格頻散現象嚴重，出現較明顯的高頻背景噪音。相移偏移對水平界面成像較好，但對起伏界面成像分辨率較低。分步傅里葉偏移方法對水平界面、起伏界面和深部斷層構造均取得較好的成像效果，傅里葉有限差分方法進一步提高了復雜速度結構區域的成像精度，相比其他幾種偏移方法取得了最好的成像效果。

圖2 測試模型速度剖面Fig.2 Velocity section of test model

圖3 正演模擬記錄Fig.3 Forward simulation records

圖4 不同算法的疊前深度偏移結果Fig.4 Pre-stack depth migration results of difference method

2.3 影響偏移效果的關鍵因素

在波動方程疊前深度偏移過程中，波場延拓步長和對邊界反射的衰減函數是影響偏移效果的關鍵因素[19-20]。較小的延拓步長可以獲得精細的成像效果，但大大增加了偏移計算的時間，為了對偏移剖面分辨率和計算時間進行兼顧，一般延拓步長取速度網格值的3～4倍為宜。

為了減小邊界反射對成像剖面的影響，在波場延拓計算時需引入邊界衰減函數對其進行消除或壓制。典型的邊界函數有e指數衰減函數、冪型衰減函數和余弦型衰減函數。3種邊界函數的曲線特征如圖5所示。其中，指數型函數從衰減區域到數據計算邊界變化劇烈，冪型函數從模型區域到衰減區域的變化較為劇烈，而余弦型函數在衰減區域兩端的變化均較為平緩。

圖5 3種邊界衰減函數的曲線特征Fig.5 Curve characteristics of three boundary attenuation functions

應用不同邊界衰減函數對邊界反射的吸收效果測試如圖6所示。當對邊界反射未做衰減處理時，成像剖面上有較多的同相軸假象；通過采用不同的衰減函數，剖面中的同相軸假象減弱或消失，剖面信噪比提高，表明邊界反射得到不同程度的吸收衰減；對比不同邊界衰減函數時的成像效果可見，余弦型衰減函數對邊界反射具有最好的吸收效果。

圖6 不同邊界條件的處理效果Fig.6 Results from difference boundary conditions

3 結論

有限差分方法的成像效果受差分計算網格影響較大，同時差分網格會引起空間離散和假頻，在偏移剖面中形成背景干擾。相移偏移具有較高的計算效率，但無法適應速度的橫向變化。分步傅里葉方法在相移的基礎上對速度變換引起的擾動波場進行了校正，一定程度上適應了速度的橫向變化。傅里葉有限差分偏移通過時移和有限差分處理校正速度擾動對波場傳播的影響，是成像效果較好的偏移方法。在波動方程疊前深度偏移過程中，波場延拓步長和邊界反射衰減函數是影響其成像效果的主要因素，在成像處理中相關參數要合理選擇。