一種非線性金融系統的力學分析及基于有限時間LaSalle不變集的混沌控制

陳嘉琦，倉詩建，薛 薇

(1.天津科技大學電子信息與自動化學院，天津300222；2.天津科技大學藝術設計學院，天津300222)

金融系統是關于資金集中與分配的一個體系，是國家經濟運行的核心部分，維護好金融系統的穩定運行和對金融系統紊亂進行有效地預測和控制對國家經濟宏觀調控非常重要，同樣也是眾多學者研究的熱點.金融系統中投資需求與利率等因素[1]之間的相互影響，導致系統狀態變化呈現復雜的動態特性.原本穩定的金融市場可能因某一個或幾個因素的微小變化而出現停滯、混亂情況，甚至出現金融危機[2]，這種現象是金融系統非線性動態特性的典型反應.

揭示金融系統的發展規律，應當深入研究系統內部復雜結構.已有很多學者提出并研究了一些非線性金融模型.Kopel[3]研究了古諾雙寡頭模型的復雜動力學行為，Wu等[4]設計了關于古諾雙寡頭模型的控制方法，Lorenz等[5]分析了 Goodwins非線性加速模型的吸引子和吸引盆等.其中，研究較多的金融模型是一種非線性金融模型[6-7]，數學表達式為

式中：參數a,b,c ∈ R+，分別代表儲蓄量、單位投資成本、商品需求彈性；狀態變量 x,y,z ∈ R ，分別代表利率、投資需求、價格指數.由系統(1)可知，投資需求與儲蓄量的大小關系，以及物價的結構調整都影響著x的變化，y的變化與利率和單位投資成本成反比，與投資率成正比；而z的變化既受通貨膨脹率的影響，又受商品市場供求矛盾的調控.

針對系統(1)及其衍生的金融混沌系統，研究人員研究了系統控制的方法和分岔[7-13]，以及將系統(1)擴至 4D超混沌系統并研究系統中存在的復雜特性[14-16].Son等[8]考慮了時滯反饋項分別對不同變量的影響和對全部變量的影響.Gao等[12]討論了時滯反饋系統 Hopf分岔的條件.Zheng等[14]利用一個異結構的4D超混沌系統對4D超混沌金融系統進行了投影同步研究.Zhang等[15]分析了4D超混沌金融系統的有界性.但是，大部分研究都只針對系統本身作理論分析和仿真驗證，卻很少結合實際情況.

本文將非線性金融系統分解成Kolmogorov系統形式，根據不同的力矩組合，從力學角度對該系統進行能量分析，并結合金融市場分析解釋系統中狀態變量和參數間的相互影響.為抑制金融系統的混沌行為，將有限時間理論和 LaSalle不變集定理進行結合，提出一種新的混沌控制方法.在理論分析的基礎上借助數值仿真，將混沌狀態的金融系統有效控制到穩定狀態，從而達到對金融系統混沌行為的有效控制.

1 系統平衡點分析及混沌行為

當參數(a,b,c)滿足 c -b - abc≤ 0 時，系統(1)存在單一平衡點 S1= ( 0,1/b, 0)；而當 c -b - abc＞0 時，系統(1)則存在 3個不同的平衡點 S1= ( 0,1/b, 0)，當參數(a,b,c)取不同值時，系統(1)會呈現不同的運動狀態，例如周期運動、混沌等.特別當系統(1)選擇初始條件 I0= ( 3,1,5)，參數集(a,b,c) = ( 1,0.2,1.1)時，可得到系統的3個Lyapunov指數值為 ( L E1, L E2, L E3)=(0.067,0,-0.628).由于 LE1＞0，這表明系統(1)處于混沌狀態，相軌跡如圖1所示.

圖1 參數集(a,b,c ) = (1 ,0.2,1.1)時系統(1)的相圖Fig.1 Phase diagram of system(1)parameter set (a,b,c)=(1,0.2,1.1)

2 系統力學分析

系統(1)的混沌行為已得到深入研究，作為具有實際意義的非線性系統，每個狀態變量和參數都有其對應的實際物理意義.分析它們的變化對系統本身混沌現象的影響是研究整個系統混沌現象的重要基礎.將系統(1)轉換成Kolmogorov型系統后，其狀態變量和參數仍具有各自對應的原始物理意義.

通常Kolmogorov型系統形式為

式中：X ={x,y,z}T表示狀態變量，{·,·}表示李代數結構，力矩{X,H}表示保守力矩.正對角矩陣ΛX表示耗散力矩，f表示外力矩.

將系統改寫成Kolmogorov系統的形式為

其中：X ={x,y,z}T，Λ = d iag{a,b,c}， f ={0,1,0}T.保守項{X,H}包括慣性力矩 K和內力矩 U，即H = K + U.根據式(3)不難得到系統的 Hamilton能量函數為

通過研究不同力矩組合對系統動力學特性的影響，進而探索系統(1)產生混沌現象的機制.

2.1 系統僅包含保守力矩

當系統(1)僅包含慣性力矩(動能)和內力矩(勢能)時，有= { X ,K}+ { X ,U} = { X ,H}，對應的方程為

圖2 初始值為 I0時，系統(5)狀態變量 x、y、z及Hamilton能量H的時序圖Fig.2 Time sequence diagram of the state variables x，y，z nd Hamilton energy H of the system(5) when the initial value is I0

2.2 系統包含保守力矩和耗散力矩

選取系統的 Hamilton能量函數H作為 Lyapunov函數，那么關于時間的導數為

根據Lyapunov穩定性理論可知，系統(6)是穩定的，而且所有狀態變量漸近收斂到 0.另一方面系統(6)的散度為

由于參數(a,b,c)均為正實數，當t→+∞時，由式(8)可知，系統(6)相空間的體積趨近于0.系統(6)的利率x，投資需求y和價格指數z都趨近 0.系統(6)的相軌跡、狀態變量和 Hamilton能量變化規律如圖3所示.此時，金融系統陷入完全停滯僵化的狀態，經濟市場缺少活力.

圖3 系統(6)的動態特性Fig.3 Dynamic characteristics of the system(6)

2.3 系統包含保守力矩和外力矩

此時，外力矩 f中的投資率 1相當于一個外部強激勵，f的存在極大地提升了經濟市場的活力，但狀態變量的運動變得沒有規律，系統進入混沌狀態.其Hamilton能量變化H˙=y，投資需求y由資本邊際效率(預期增加一個單位投資可得到的利潤率)和利率的對比關系決定.能量2/2 H=y 的吸收和釋放隨投資需求y的不規則運動而交錯增減，是有限區域內的混沌.系統的相軌跡和能量變化規律如圖4所示.

圖4 系統(9)的動態特性Fig.4 Dynamic characteristics of the system(9)

金融系統受到擾動，系統中某些因素不按規則運行，但始終保持在有限的范圍內，不會發散出去導致金融系統的崩潰.當市場經濟發展迅速，貨幣流通量大時，國家為了防止通貨膨脹的出現，可以通過提升利率x，匯集市場中流動資金的同時控制貸款總額，從而降低投資需求y，加快價格指數z的變化，同時二者的變化反作用于利率x，使其降低，從而三者間無規則往復變化，互相影響.

2.4 系統包含所有力矩

圖5 系統(1)處于混沌狀態時的能量Fig.5 Energy of the system(1)in chaotic state

比較 2.3節和 2.4節，這兩種情況都會產生混沌行為，系統產生混沌振蕩的唯一因素是外力矩f中的投資率 1.在 2.4節中，混沌的產生是外力矩 f與耗散力矩ΛX的相互作用的結果，在耗散力矩ΛX的作用下，系統各狀態變量的振蕩幅度減弱，系統的混沌行為得到一定程度的控制.2.4節比 2.3節加入了儲蓄量a、單位投資成本b和商品需求彈性c.儲蓄量a的大小直接影響利率x的變化，儲蓄量a偏高時，央行會降低利率x，引導儲蓄分流；當儲蓄量a偏低時，央行會提高利率x，從市場匯集資金增加儲備，二者呈反比關系.單位投資成本b的增加會降低投資需求y，單位投資成本b的降低會促使投資需求y的增多，呈反比關系.商品需求彈性c表示一定時期內商品需求量的變化對該商品價格的相對變動的反應程度，價格變動引起需求變動變化大，商品富有彈性(非必需品)；價格變動引起需求變動變化小或無變化，商品缺乏彈性(必需品)，呈反比關系.所以通過調節儲蓄量a、單位投資成本b和商品需求彈性c的值可以對利率x、投資需求y和價格指數z的變化規律進行控制，從而有效控制金融系統的發展趨勢.

3 基于有限時間LaSalle不變集的混沌控制

3.1 有限時間穩定理論

考慮非線性系統[17]

式中：x ∈ Rn為狀態變量； f:D →Rn為定義域D到n維空間 Rn中的一個連續非線性函數.

定義 1[18]當且僅當系統(10)穩定，且在有限時間內收斂時，其平衡點x=0在連續有限時間內穩定，有限時間收斂可表示存在一個連續函數T(x):D0{0} → ( 0,+ ∞)使 ? x0∈ D0? D.系 統(10)的解記作x(t,x0).

(1)當 t∈ [ 0,T(x0)]時 ，有 x(t,x0) ∈ D0{0}和x(t,x0) = 0 ；(2) 當 t＞ T(x0)時，有 x (t,x0) = 0.

當D=D0=Rn，系統的狀態變量總能在有限時間內穩定到平衡點.

定理 1[19]設存在一個連續正定函數V(t)滿足微分不等式

這里m和ξ為常數，且m＞0，0＜ξ＜1.對于任意初始時間t0，V(t)都滿足不等式

式中

文獻[20]已對定理1進行了證明，此處不再贅述.

3.2 LaSalle不變集理論

考慮非線性系統

式中狀態變量 X ∈Rn，f :D →Rn為定義域D到n維空間 Rn中的一個連續可微函數，滿足 Lipschitz條件.設系統至少有一個平衡點 X*，且不知道該平衡點的位置.引入如下概念：

定義2f(x)在區域上滿足Lipschitz條件時，應存在一個常數l使得定義域D中任意兩個不同的實數x1和x2滿足不等式.若f(x)在區域上D滿足 Lipschitz條件，必定存在f(x)在區域D上滿足一致連續.

定義 3設x(t)為系統(14)的解，存在時間t→+∞，使x(t) = Q ，則Q為x(t)的一個正向極限點.

定義 4設存在一個域 M ?Rn，若對任意初始條件x(0)=x0∈M ，系統(14)的解 x (t) = Φ(t,x0)滿足x(t)∈M ，?t≥0，則M 為系統(14)的正向不變集，可以包含系統的1個或多個平衡點，也可以是狀態空間的一個子集合[21].

定理 2(LaSalle不變集定理[22])設Ω是一個有界閉集合，從Ω集合內出發的系統(14)的解x(t)?Ω，若?V(x):Ω→R，具有一階連續偏導，使dV/dt≤0，又設 A = {x|dV/dt= 0,x ∈ Ω}，M?A是最大不變集，則當t→+∞ 有x(t)→M ，若M={0}，則系統平衡點穩定.

3.3 金融系統有限時間LaSalle不變集控制

將系統(1)從平衡點 S1= ( 0,1/b, 0)轉移到平衡點S0= ( 0,0,0)，并添加控制器u1,2得到受控金融系統的狀態方程為

控制器u1,2的設計見式(16)，因金融系統中的利率x的變化受投資需求y以及價格指數z的影響，使得系統可能出現混沌行為，控制器的設計從削除影響利率因素的角度出發，利用控制器u1消除系統中的物價波動以及投資需求與利率的相互影響，并通過控制器u2增強利率的自身負相關性，以達到自身穩定的目的.

其中參數r＞0，指數E為真分數，p為狀態變量.將式(16)代入狀態方程(15)的第一項得到

因為0＜E＜1，所以 0 ＜ ( E +1)/2＜1.根據定理 1可知，系統(17)能在有限時間 T1=/ (m1( 1 -ξ))內到達x=0處，其中ξ= ( E + 1 )/2.當 x=0時，=0且= 0 ，系統的狀態變量x漸近穩定到x=0處.再將x= 0 代入系統(15)的后兩項，并構造 Lyapunov函數V2= ( y2+ z2)/2，對其求導得到

再令 g (x) = - a x - xE，則必定存在正實數l使，所以g(x)滿足 Lipschitz條件，式(17)變換為

構造Lyapunov函數V3

式中L為正實數，且L＞l，對V3沿著式的軌跡求時間微分，得到

3.4 數值仿真

將控制器u1,2以及p加到系統(15)的第一項上，那么受控金融系統可表示為

當(a,b,c) = ( 1,0.2,1.1)、初始條件為I0時，系統(1)處于混沌狀態.現保持系統(1)的參數和初始條件不變，采用四階 Runge-Kutta法求解方程，設步長h= 0.001，狀態變量 p0= 1 ，并選取控制參數E= 1 /2、r=1，對系統(1)的混沌行為進行控制.在第 60秒時加入控制器，狀態變量x在控制器作用下迅速穩定，狀態變量y、z隨后很快全部穩定到平衡點，系統(1)的混沌振蕩得到控制.圖6給出受控系統(23)的3個狀態變量的時間響應曲線，由此可以看出該控制方法可以將金融混沌系統的 3個狀態變量從混沌狀態控制到穩定狀態.且狀態變量的超調量幾乎不存在，說明該控制方法的魯棒性較強.

圖6 受控系統(23)的時間響應曲線Fig.6 Time response curve of the controlled system(23)

注意，這里的控制器u1,2只作用于系統的x˙，也就是對利率變化的調節.在對原系統施加控制后，振蕩的x在有限時間T1內被控制到穩定狀態，穩定后的x可保證狀態變量y和z的振蕩隨后同樣得到有效控制.若要用控制器對y˙進行控制，只需先將y在有限時間內控制到穩定狀態，從而帶動x和z的收斂振蕩，最終系統達到穩定平衡.同樣的設計思路也適用于對z˙進行控制.

4 結 語

本文從兩個方面研究了一種非線性金融系統.其一，從力學角度，將系統分解成 Kolmogorov系統形式，分析了不同力矩單獨和共同作用于該金融系統時的結果，剖析了該金融系統產生混沌行為的原因，并結合金融市場解釋了儲蓄量和單位投資成本等因素間的作用關系.其二，將有限時間理論和 LaSalle不變集定理結合，設計了一種自適應控制器.該控制器結構簡單、響應速度快且魯棒性較強，只對利率的變化的調節就能將混沌的金融系統控制到穩定狀態，為該金融系統的動力學研究提供了新的思路和參考.