探究和發現線面平行判定定理

黃玉平

立體幾何是高中數學的重要章節，它的突出功能是培養學生數學抽象、直觀想象、邏輯推理等核心素養。筆者到學校聽課時經常發現：一些教師處理立體幾何的公理與定理教學時速度很快，發現定理的過程一筆帶過，時間主要用來做大量習題，將重心放在解題技巧講解上。期末考試之后分析數據時發現，學生立體幾何得分仍然很低，學生的立體感不好，知識體系混亂，學習效益差。究其原因，問題的根源仍在于課堂教學，在于教師是否能夠把握課程標準的要求，是否理解教材，是否理解學生，在設計上是否基于學科核心素養的培養。

以“直線與平面平行的判定”為例，許多教師覺得簡單，因教材不要求證明，多數教學設計直接給出定理，只將注意力放在定理的記憶和運用上，甚至是解題技能上，未能真正讓學生深入理解知識的形成和產生過程，不能很好地促進學生數學思維的形成，未能實現真正的深度學習。

本文對這節課的設計，重點在于引導學生通過探究和發現，提出直線與平面平行判定定理的猜想，并通過邏輯推理、直觀感知和操作確認，驗證猜想，或否定重來，或推理證明，最終發現判定定理。

下面將線面平行的判定定理的形成過程設計成一個教學片段，模擬師生的對話來展開。

一、教學目標

（一）學生通過對線面平行的定義進行分析，加深對線面平行概念的理解，通過對公理的進一步分析，尋找線面平行的線索，通對;

（二）學生提出線面平行判定定理的猜想，進行操作與觀察，培養空間想象素養;

（二）學生通過嘗試與思考，驗證猜想的合理性，探索線面平行判定定理，培養創新思維，提升邏輯推理素養。

二、教學方法

采用師生對話的啟發式教學法，小組合作學習，發現式學習。教師構建開放的問題情境，引導學生開展小組合作，提出猜想，并進行驗證，最后整理給出直線與平面平行的判定定理。

三、教學過程

教師：同學們好！前面我們學習了直線與平面的三種位置關系，請同學們分別用三個圖來表示它們。

學生1：畫出三個圖：

教師：今天這節課，我們來學習直線與平面平行的判定，目標是找到條件A，使直線與平面平行。

即：若A，則。

情境一：分析定義

首先，我們回到線面平行的定義，尋找線索。

教師：根據定義，直線與平面沒有公共點。

分別從直線和平面的角度看，可以得到： 直線上所有點都不在平面內平面內所有點都不在直線上

教師：我們試著改成判定線面平行的命題，看是否成立？

教師：猜想一：如果，，那么;這個猜想能成立嗎？

學生2：如圖1，在直線上找到除A外的一點，它不在平面上，但是直線與平面不行平，猜想不成立。

教師：增加一個點，猜想二：如果，，，那么。是否成立？這個方向正確嗎？

學生3：如圖1，在直線上找到除A外的兩個點，它們都不在平面上，猜想仍然不成立。無論取多少點，這樣的猜想都不能夠成立。

教師：以上是將直線和平面都看成由點構成的。根據公理一（如圖4），我們知道：平面可以由直線構成，這些直線可能怎樣排列呢？

學生4：直線可以是互相平行的，也可以是過同一點，如圖5和圖6：

教師追問：互相平行的直線只能是一個方向嗎？

學生4：可以是平面內任意方向。

教師：將平面看成由直線構成的，請同學們仿造前面的例子，提出線面平行判定的猜想。

學生5：直線與平面內所有直線都沒有公共點

教師：再具體分析下去，并提出猜想。

學生5：平面內所有直線都與直線沒有公共點直線與平面內所有直線或者平行，或者互為異面直線關系

學生6：猜想三： 如果，那么。

學生7：猜想四：如果與是異面直線，，那么。

教師：請每位同學用書本和筆，擺出符合猜想三的條件：先固定兩條互相平行的直線，平面經過直線，將平面繞旋轉至任意位置，觀察結論是否成立，分小組討論，給出本組的觀點。

學生8：猜想三在多數情況下成立。

學生9：猜想三只有一種情況不成立，即當時，結論不成立。

教師：如果在平面內增加一條與平行的直線，結論會怎樣？原因是什么？

學生10：結論仍然一樣：只有一種不成立，其它情況都成立。

教師：我們可以完善一下猜想三。

學生11：猜想五： 如果，，那么。

教師：如果它是正確的，請證明，如果它是不成立，請舉出反例。

學生12：證明（略）

教師：請各位同學再驗證猜想四。

學生13：猜想四大多數情況下，直線與平面都是相交，只有一種情況直線與平面平行。

教師：請再觀察，并思考，這種情況中，線面平行的真正原因是什么？

學生14：這個平面內有一條與平行的直線！

教師：可以得到怎樣的猜想？

學生14：將猜想四增加一個條件，得到猜想六：如果與是異面直線，，，，那么。

教師：請同學們對比猜想五與猜想六，它們相同的條件和不同的條件是什么？作用是什么？

同學15：兩個猜想中，相同的條件都是平面內有一條直線與直線平行，猜想六中如果與是異面直線和的條件，與猜想五中的作用是相同的。因此這兩個猜想本質上是一樣的。

教師：下面我們證明猜想5。

學生16：證明（略）。

教師：猜想5被證明是成立，它就是直線與平面平行的判定定理。

教師：我們將判定定理用最簡要而明確的語言表達。

學生17：如果平面外的直線與平面內的一條直線平行，那么平面外的這條直線與平面平行。

教師：定理的條件可以歸納為三條，用三個字或詞表達：平行，外，內。定理實質是：由線線平行得到了線面平行。請大家再看看，前面那個圖，最能說明這個實質：

學生18：圖5。平面可以看成由全部互相平行的直線構成的，根據公理4，只要平行于其中一條直線且不與它們重合，就必然平行于這些直線，從而與平面無公共點。

四、結束語

學生是學習的主體，教學活動只有讓學生充分地、真實地參與，才會真正對學生數學素養的形成產生深遠的作用。教師具備的知識和經歷都比學生豐富，因此教師眼中容易理解的知識，對于學生來說，可能不自然，不直觀，不能簡單地告知學生結論，對知識的產生過程一筆帶過。

在課堂教學中，將知識發生發展的過程中的關鍵環節設計成開放的情境，讓學生通過探索和思考，“跳一跳”，“想一想”，不斷提出猜想，驗證猜想，可以加深學生對知識本質的理解，同時能促進數學核心素養的持續提高。

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