非圓齒輪數控滾齒加工誤差PID控制仿真研究

胡閃閃 夏 鏈

（合肥工業大學，合肥 230009）

滾齒作為一種常見且高效的加工方式，可以加工常規齒輪和非圓齒輪[1-2]。但是，受導軌直線度誤差、滾珠絲杠反向間隙、刀具磨損、刀具受熱受力變形以及系統控制誤差等多種因素影響，齒輪輪廓容易產生誤差[3-7]。近年來，非圓齒輪以自身諸多的優點[8]獲得了進一步發展，但存在加工精度不高的問題。非圓齒輪數控滾切加工是由多個運動軸聯動實現的。由于非圓齒輪節曲線是非圓形，導致各軸頻繁加減速，易引起機床振動、切削力突變等現象，進一步降低了非圓齒輪齒面加工精度。但是，隨著機床運行速度的不斷提高，機床運動控制誤差將會成為影響非圓齒輪加工精度更大的一個因素。

目前，滾齒加工機床各運動軸控制多采用比例-積分-導數控制器（Proportional Integral Derivative，PID），可以通過人工手動調節PID控制器參數。為了減少調節時間和獲得更好的PID控制參數，通過粒子群優化算法對數控滾齒機存在較大跟蹤誤差的工件軸C軸和徑向進給軸X軸的PID控制器參數進行優化，將優化結果輸入控制模型進行仿真驗證，實現了減少跟蹤誤差的目的。仿真結果表明，采用粒子群算法優化帶前饋的PID控制是可行的。

1 非圓齒輪滾齒加工

1.1 非圓齒輪滾齒加工模型

根據直齒非圓齒輪齒廓形成原理，直齒非圓齒輪滾齒加工運動關系主要包括展成運動、徑向進給運動和軸向進給運動，如圖1所示。其中：展成運動（范成運動）即工作臺（C軸）按照滾刀與毛坯之間的嚙合關系跟隨主軸（B軸）做回轉運動，并且保證在變速比條件下滾刀與工件回轉中心之間的距離隨時變化；徑向進給運動即滾刀根據工件極徑變化產生的徑向往復運動（X軸），完成中心距變動；軸向進給運動即滾刀沿著工件軸向（Z軸）的走刀運動。

圖1 直齒非圓齒輪加工原理圖

1.2 建立直齒非圓齒輪數控滾齒電子齒輪箱結構模型

直齒非圓齒輪滾切加工時，滾刀回轉運動作主運動，工件回轉運動與徑向進給運動作跟隨運動。

滾刀與工件之間的運動關系為：

式中：ωb為滾刀轉速；ωc為工件轉速；vx為滾刀沿齒坯軸徑向進給的速度；r為節曲線極徑；θ為節曲線極角；k為滾刀頭數；m為模數。

在每個插補周期中，電子齒輪箱（Electronic Gear Box， EGB）[9]模塊根據主軸B軸編碼器的反饋信號與非圓齒輪多軸聯動控制數學模型，實時計算工件回轉軸移動增量Δθc與徑向進給移動增量Δx，實現主從同步控制。其中，徑向進給移動增量Δx的值由電子齒輪箱計算結果和工藝參數得出，軸向進給移動增量Δz的值從通用插補執行模塊讀取，如圖2所示。

圖2 直齒非圓齒輪數控滾齒電子齒輪箱結構模型

2 伺服控制系統建模

在伺服控制系統中，傳統的PID反饋控制可以讓外界干擾、參數變化等現象對系統有較小的影響，但在非線性輪廓控制中跟蹤性能較差會產生較大的輪廓誤差。為了提高伺服跟蹤性能，使輸出指令快速地跟蹤輸入指令，引入前饋控制對未來信息進行判斷，拓寬系統頻帶。所以，采用反饋與前饋相結合的控制方式，即能降低反饋控制帶來的跟蹤滯后，又能對偏差進行及時校正補償，從而改善伺服跟蹤性能。

圖3中：R(s)、Y(s)分別為系統的輸入和輸出信號；E(s)為系統輸入和輸出信號之間的偏差；P(s)為被控對象的傳遞函數；G(s)為PID控制器傳遞函數；F(s)為前饋環節的傳遞函數。

圖3 單軸復合控制原理圖

系統誤差傳遞函數為：

為實現系統偏差值為0，則輸入信號等于輸出信號，即E(s)=0、R(s)=Y(s)，系統前饋環節傳遞函數F(s)滿足F(s)=1/P(s)。

將前饋環節傳遞函數F(s)展開成s的級數：

式（3）表明，需要引入位置的一階、二階甚至高階導數才能完全消除跟蹤誤差，但實際控制系統由于是非線性的且線性范圍有限，在很大定程度上增加了設計高階微分器的難度。此外，微分階數越大，輸入噪聲的敏感度將會更明顯地影響到實際控制系統，導致工作性能降低。因此，從實際應用角度來說，通常微分階次為二階時，控制效果較好。

速度前饋補償指的是指令位置的一階導數乘上相應增益系數疊加到速度控制指令中，可提高系統的響應速度。加速度前饋補償指的是取指令位置的二階導數乘上相應增益系數疊加到加速度控制指令中，能夠有效抑制速度前饋產生的超調。本文對跟蹤誤差波動較大的工件軸C軸和徑向進給軸X軸，均采用“速度/加速度前饋+PID/PI”的伺服控制模型，如圖4所示。

圖4 “速度/加速度前饋+PID/PI”控制模型

3 粒子群優化算法

3.1 粒子群算法及優化原理

粒子群算法（Particle Swarm Optimization，PSO）[10]是研究鳥群遷徙覓食行為的一種智能的全局優化算法，最早由Kennedy博士和Eberhart教授于1995年提出。算法中，每個粒子相當于鳥群中的鳥（潛在解），通常采用3項指標（位置、速度及適應度值）來表示粒子狀態是否有效。在搜索區間粒子進行尋優時，通過得到的適應度值更新個體極值Pbest和群體極值Gbest，并對個體的位置和速度進行更新。

根據粒子群算法和優化原理，粒子自身速度和位置更新公式為：

式中：xt、xt+1分別為粒子第t、t+1次迭代時的位置；vt、vt+1分別為粒子第t、t+1次迭代時的速度；ω為慣性權重；c1、c2為加速常數；r1、r2為[0,1]上的隨機數；Pt為粒子當前的最優位置；Gt為整個粒子群的最優位置。

3.2 性能指標

在粒子群算法中，以適應度值的好壞來評價該粒子的優劣。在控制工程領域中，常用的時間乘以誤差絕對值積分（Integrated Time Absolute Error，ITAE）指標在實際應用中可實現對系統動靜態性能的綜合評價[11]。因此，本文選擇ITAE作為基于粒子群優化的目標適應度函數。ITAE的數值越小，表示控制的系統性能越好，其指標格式一般為：

在進給伺服系統中，誤差e(t)指位置跟蹤誤差。

3.3 粒子群算法優化過程

首先，對粒子群移動范圍進行合理設定，粒子表示PID控制器的參數；其次，完成相應算法程序的編寫，隨機產生初始粒子群，并在Matlab/Simulink中運行被控系統仿真模型得到相應的性能指標（適應度值），根據式（4）計算并更新粒子的速度、位置；最后，對迭代次數與終止條件是否滿足進行判斷，決定是否再次循環。

4 仿真結果及分析

為了測試粒子群算法優化的前饋PID控制器的動態性能，根據單軸伺服驅動PID控制器控制原理，在Matlab中搭建Simulink仿真模型，如圖5所示。根據粒子群算法編寫程序文件，搭建粒子群算法優化帶前饋的PID控制器的Simulink仿真模型，如圖6所示。C軸和X軸輸入信號均取x(t)=sin(t)的正弦信號，仿真時間設為6.28 s。C軸與X軸驅動軸基本參數，如表1所示。

表1 C軸與X軸驅動軸基本參數

圖5 傳統PID控制器仿真模型

圖6 基于粒子群算法優化帶前饋PID控制器仿真模型

經計算，設置C軸和X軸初始帶前饋PID控制參數，如表2所示。

表2 初始帶前饋PID控制參數

粒子群算法參數設定：慣性權重ω=0.9；學習因子為C1=C2=2；維 數 為7（有Kp、Ki、Kd、Kfv、Kpv、Kiv、Kfa這7個待優化參數）；粒子群規模在此次課題研究中將其設定為100；最大迭代次數將其設定為200；速度范圍為 [-1，1]，C軸7個待優化參數的搜索區間分別為[0，50]、 [0，0.2]、[0，5]、[0，0.02]、[0，50]、[0，15]、[0，0.02]。X軸7個待優化參數的搜索區間分別為[0，300]、[0，5]、[0，5]、 [0，0.02]、[0，200]、[0，15]、[0，0.02]。其中，非線性摩擦值Tc=0.016（通過對進給驅動系統進行無偏差參數辨識得到[12]）。

通過在Matlab/Simulink中迭代仿真，得到優化后的控制參數，如表3所示。C軸和X軸的適應度函數迭代曲線分別如圖7和圖8所示。

表3 經粒子群算法優化后PID控制參數

圖7 C軸適應度函數的迭代曲線圖

圖8 X軸適應度函數的迭代曲線圖

C軸PID控制器正弦響應曲線、跟蹤誤差圖分別如圖9和圖10所示，C軸粒子群優化前饋PID控制器的正弦響應曲線、跟蹤誤差圖分別如圖11和圖12所示。

圖9 C軸PID控制器正弦響應曲線

圖10 C軸PID控制器正弦跟蹤誤差圖

圖11 C軸粒子群優化前饋PID控制器的正弦響應曲線

圖12 C軸粒子群優化前饋PID控制器的正弦跟蹤誤差圖

X軸PID控制器正弦響應曲線、跟蹤誤差圖分別如 圖13和圖14所示，X軸粒子群優化前饋PID控制器的正弦響應曲線、跟蹤誤差圖分別如圖15和圖16所示。

圖13 X軸的PID控制器正弦響應曲線與跟蹤誤差圖

圖14 X軸的PID控制器正弦響應曲線與跟蹤誤差圖

圖15 X軸粒子群優化前饋PID控制器的正弦響應曲線

圖16 X軸粒子群優化前饋PID控制器的正弦跟蹤誤差圖

經200次迭代后，C軸和X軸經過粒子群優化前饋PID控制的跟蹤誤差接近正弦狀。通過傳統PID控制和粒子群優化前饋PID控制的跟蹤誤差仿真結果對比得知，C軸的跟蹤誤差值由5.85×10-4rad下降到3.96×10-4rad，X軸的跟蹤誤差值由7.2 μm下降到4.36 μm，粒子群優化的前饋PID控制明顯減小了系統的跟蹤誤差，提高了系統的跟蹤性能。

5 結語

本文研究了基于粒子群算法優化數控滾齒機床工件軸和徑向進給軸控制器參數的方法，構建了前饋與反饋相結合的伺服系統控制模型并進行了仿真，驗證了此方法可以減少工件軸和徑向進給軸的跟蹤誤差，提高兩軸的跟蹤性能，獲得了較好的控制效果。