隨機彈射結合DNA 編碼的圖像加密算法

司宇晨，滕 琳，孟 娟

（1.大連海洋大學信息工程學院；2.設施部重點實驗室；3.遼寧省海洋信息技術重點實驗室；4.大連海事大學信息科學技術學院，遼寧 大連 116023）

0 引言

隨著大數據時代的到來，越來越多的人開始重視信息數據安全，而圖像作為當前信息傳輸的主要途徑其重要性不言而喻［1］。圖像傳輸安全是一項非常重要且必要的任務，由于數字信息的特征，其在傳播時極易遭到他人的截取和篡改，傳統的加密算法已不能滿足當前圖像加密需求。混沌系統有著良好的初值敏感性、隨機性和不確定性，在圖像加密領域有著良好應用前景。因此，許多基于混沌系統的圖像加密算法應運而生［2-5］。

DNA 編碼是由計算機技術和生物學結合而產生的一個新學科，由于DNA 的特性，DNA 編碼可以擁有8 種編碼方式和3 種運算規則，因其強大的并行計算能力和高復雜度在信息加密中有著獨特優勢［6］。Zhang 等［7］提出一種基于DNA 編碼雙重混沌映射的圖像加密算法，但加密算法不可逆；Ping 等［8］提出一種運用Henon 混沌映射的圖像像素位置置亂算法，但是沒有考慮像素值擴散，系統復雜度低；Wu 等［9］提出一種典型加密算法，但其密鑰與明文無關，易于明文攻擊攻破。

針對上述圖像加密算法的不足，本文提出一種基于混沌系統控制隨機彈射矩陣與DNA 編碼相結合的圖像加密算法。首先運用哈希算法獲取混沌系統初始值，其次對明文圖像進行分層處理及Arnold 置亂，然后利用對置亂后的圖像進行分塊以及DNA 編碼，最后與隨機彈射矩陣進行DNA 運算，將三層分量合并后生成密文圖像。通過仿真測試表明，該算法擁有大密鑰空間及高抗攻擊性，安全性能更強。

1 基本理論

1.1 Logistics 混沌系統

一維Logistics 混沌映射也稱作蟲口模型，它也是眾多混沌系統中較為常用的一種。20 世紀50 年代，許多科學家利用此方程推斷種群變化特征，因為此系統在動力學方面有十分復雜的特征，因此在信息保密方面有較多應用。Lo?gistic 的數學表達式如式（1）所示。

其中a為參數，{xn}為生成的混沌序列，當x∈(0,1)，a∈(3.569 945 6,4]時，Logistics 系統呈混沌狀態。

1.2 MD5 算法

MD5 算法是一種被廣泛用于加密的散列函數，對明文像素改變一位像素值，散列值就會發生很大改變，且運算結果不可逆。MD5 算法也可以理解成信息摘要的一種實現，它可以從任意長度的明文字符串生成128 位的哈希值；即運用明文圖像和MD5 算法生成128 位（16 字節）的散列值U。本文將128位的散列值U分成16 個子塊（k1,k2,k3,…k16），如式（2）所示，將其處理后，可作為混沌系統的初始值，其作為密鑰與明文圖像相關聯，也極大加強了安全系數。

1.3 隨機彈射矩陣

本文提出隨機彈射矩陣，首先選取與明文圖像相同大小零矩陣，運用明文圖像結合MD5 算法設定Logistics 系統初值x，如式（1），定義其公式如式（3）所示，其中⊕代表異或運算。參數a=3.678 9，獲取Logistic 混映射連續迭代生成的偽隨機序列然后去除前3 000 次，使其達到充分迭代，選取長度為M的序列將生成序列經過式（4）轉化為0～π的弧度值。

選取點（1，1）為初始位置進行彈射，碰壁后取與矩陣邊的夾角進行折射，若彈射至4 個頂點，則返回初始位置，繼續進行。統計出路徑經過每個單元格的次數，用來生成隨機矩陣R。圖1 為隨機彈射示意圖，其中A 為初始點。

Fig.1 Random ejection diagram圖1 隨機彈射示意圖

1.4 Arnold 置亂

Arnold 也稱為貓映射，由俄國數學家Vladimir Igorev?ich Arnold 提出［10］。Arnold 變換是一種在固定區域內反復迭代拉伸、折疊的映射，其原理主要是沿圖像x軸方向錯切變換，再做y軸方向的錯切變換，最后進行回填。一副M*N的數字圖像的二維Arnold 變換定義為：

其中，x、y表示變換前圖中像素位置，xn+1、yn+1表示變換后的像素位置，a、b為參數，n表示當前變換次數，N為圖像的長或寬。

1.5 Chen 超混沌系統

陳氏混沌系統（Chen Chaotic System）是在20 世紀末被提出的一種新的混沌系統，動力學方程如式（6）所示。

其中，a、b、c、d、r分別為超混沌系統的參數，當a=35,b=3,c=12,d=7,r∈[0.085,0.798]時，Chen 超混沌系統呈混沌狀態。將a=35,b=3,c=12,d=7,r=0.6 代入Chen超混沌系統式（2），用龍格庫塔法［11］求出4 個混沌序列，圖2（a-d）為混沌系統4 個引子相圖。

Fig.2 Attractor phase diagram of Chen hyperchaotic system圖2 Chen 超混沌系統吸引子相圖

1.6 DNA 序列

在生物學中，DNA 的全稱是脫氧核糖核酸，因其存在4種堿基：A、T、C、G 分別是腺嘌呤、胸腺嘧啶、鳥嘌呤、胞嘧啶，它們之間有互補配對原則，因而也常常被用在二進制的互補關系中。如果用兩位二進制表示堿基之間的編碼方式，共可分為24 種編碼方式，但是滿足堿基互補配對原則的只有8 種編碼方式如表1 所示。

Table 1 DNA coding rule表1 DNA 編碼規則

系統運用到的DNA 運算規則有3 種，分別是DNA 加法運算、DNA 減法運算和DNA 異或運算。運算規則如表2—表4 所示。

Table 2 DNA addition rules表2 DNA 加法規則

Table 3 DNA subtraction rules表3 DNA 減法規則

Table 4 DNA XOR rule表4 DNA 異或規則

以上3 種運算規則是基于第一種編碼規則而呈現，當然不同的編碼規則所得到的運算結果不同。

2 加密算法

本文提出的圖像加密算法主要是將圖像分為3 個二維矩陣，對每個二維矩陣經過置亂、分塊、DNA 編碼處理后與隨機彈射矩陣進行DNA 運算。Logistics 混沌系統決定隨機彈射矩陣的生成，Chen 超混沌系統決定每一個子塊的編碼解碼及DNA 運算方式。兩個混沌系統的初值都與原始圖像關聯，很大程度地提升了算法安全性。具體加密流程如下：

（1）輸入M×N的彩色明文圖像P，進行R、G、B 分層，并按式（7）轉化為3 個二維矩陣。

（2）取U生成k1、k3、k5、k7的值，設定Logistics 系統（式（1））初值x1如式（8）所示，獲取Logistic 混映射連續迭代生成的偽隨機序列｛Jx｝如式（9）所示，去除前3 000 次，使其達到充分迭代，對分層后的圖像進行Arnold 置亂，規定P1置亂迭代次數為｛J1｝，P2置亂迭代次數為｛J100｝，P3置亂迭代次數為｛J1000｝，其中N為圖像的邊長。

（3）將置亂后的P1P2P33 個分量的二維矩陣進行分塊，為使P1P2P3都能夠分為均勻的塊，因此對其進行補零操作，t為分塊數，具體補零方法如式（10）所示。

（4）對Chen 氏混沌系統設定初值，運用龍格庫塔法［11］算出Chen 氏超混沌系統的解，得到4個序列。其中，初值設定方法由式（11）計算得出。取U生成k1、k2、k3、k4的值做異或運算作為{Xi}的初 值。依次類推，{Yi}的初值由U的k5、k6、k7、k8子塊決定，{Zi}的初值由U的k9、k10、k11、k12子塊決定，{Wi}的值由U的k13、k14、k15、k16子塊決定。

（5）取{Xi}和{Yi}分別控制P1、P2、P3和隨機彈射矩陣R 的編碼方式，將{Xi}、{Yi}分別由式（12）轉化為1～8 之間的整數，用來決定DNA 的8 種編碼方式，P1、P2、P3中，第i個子塊的編碼方式為Xi，隨機矩陣R 中，第i個子塊的編碼方式為Yi。按照{Zi}控制編碼后的P1、P2、P3與隨機彈射矩陣R 的運算方式，同理將{Zi}中所有序列值按式（12）轉化為0～2 之間的整數，當Zi=0 時，DNA 運算方式為加法；Zi=1 時，運算方式為減法；Zi=2 時，運算方式為異或。

（6）為提高算法加密效果，將運算后每個子塊與前一個子塊再進行一次DNA 運算，達到充分擴散效果后，對經過運算的矩陣按式（13）中{Wi}的值進行解碼，因為解碼是編碼的逆運算，因此解碼方式也有8 種。

（7）將解碼后的三層分量合并，形成密文圖像。

本文提出的加密算法解密過程是加密算法的逆運算，在密鑰正確的情況下，即可恢復出明文圖像，但在DNA 運算時要注意減法和加法置換。加密算法流程如圖3 所示。

Fig.3 Brief flow of image encryption圖3 圖像加密簡要流程

3 實驗結果與分析

該算法是在Intel Core（TM）i5-9300H CPU@ 2.40GHz、8G RAM、win10 64 位操作系統、Matlab R2018a 下實驗環境下完成。選取512×512 的Lena、Baboon、Airplane 圖作為測試圖像。其中，隨機彈射矩陣和分量置亂的Logistics 映射初始值由MD5 算法獲取，μ 取3.79。對Chen 超混沌系統取a=35,b=3,c=12,d=7,r=0.6。加密效果如圖4（a-i）所示。

Fig.4 Contrast image encryption before and after圖4 圖像加密前后對比

通過圖像加密前后對比圖可以看出，密文圖像與明文圖像毫無關聯，掩蓋了明文信息，而解密效果展現了明文的全部信息，說明該加密算法可行且效果良好。

3.1 直方圖分析

直方圖可以有效地分析圖像中每個像素值出現的頻率，因此像素值分布越均勻，說明該圖像所有像素值出現的頻率越均衡，可利用信息越少。圖5 是以Lena 圖為例R、G、B 3 個通道加密前后直方圖的對比圖。

Fig.5 Histogram comparison before and after encryption圖5 加密前后直方圖對比

可以得知，加密前3 個通道的直方圖，分布不均且波動性強，而加密后3 個通道的直方圖分布均衡，具有近乎相同的分布趨勢，因此本加密算法也可以很好地抵抗針對圖像統計分析方法的攻擊。

3.2 相鄰像素相關性分析

自然圖片的相鄰像素具有很強的相關性。以Lena 圖為例，選取加密后的Lena 圖的水平、垂直、對角線3 個方向，隨機選擇1 000 相鄰像素進行相關性測試，式（12）—式（13）結果如表5 所示，計算公式如式（14）所示。

Table 5 Correlation of horizontal，vertical and diagonal adjacent pixels表5 水平、垂直、對角線相鄰像素相關性

其中，x、y表示明文圖像與密文圖像相鄰像素值，N表示選擇參與的像素點總數，E（x）、D（x）、cov（x、y）分別表示計算公式的期望、方差、協方差，rxy表示相鄰像素點的相關系數。

可以看出，明文圖像的相鄰像素相關系數十分接近1，這說明相鄰像素相關性很強，而本文提出的加密算法加密后各通道的相鄰像素相關系數比另外兩種算法系數更接近于0，說明各相鄰像素之間的關系幾乎被消除。

以Airplane 圖為例，圖6 是加密前后R 通道的水平、垂直、對角線3 個方向的明文和密文隨機點像素灰度值。可以看出，加密圖像的相鄰像素之間的相關性顯著降低，說明該方案具有良好的安全性。

Fig.6 Comparison of pixel values before and after encryption of airplane R channel圖6 airplane R 通道加密前后像素值對比

3.3 信息熵

信息熵可以反映出圖像的混亂程度，信息熵的值越接近8，意味著圖像的隨機程度越高，不確定性越大，可利用信息越少。計算公式如式（15）所示。

其中，p（i）表示信號i出現的概率。本文L 值為512，選取Lana 圖經測試后，圖像各通道的信息熵如表6 所示。

Table 6 Information entropy表6 信息熵

由表6 可得，本文加密算法經加密后的信息熵更接近于8，能夠有效抵御統計攻擊。

3.4 抗差分攻擊

使用本文提出的加密算法對明文圖像進行加密，然后改變明文中的一個像素進行重新加密，兩次加密圖像之間的像素關系可用兩個標準衡量，即像素數改變率（Number of Pixels Change Rate，NPCR）和歸一化像素平均值（Unified Average Changing Inrensity，UACI）。NPCR 的 理 想 值 是99.609 4%，UACI 的理想值是33.463 5%，在實際數值不同的實驗環境下會有上下浮動。計算方式如式（16）—式（17）所示。

其中，圖像寬度由m表示，高度由n表示，表7 是運用本文算法對改變一位像素的兩張Lena 圖進行加密后的明文敏感性對比。可以看出，本文算法的NPCR 和UACI 接近于理想值，這是因為本文采用的混沌序列初值來源于明文通過MD5 算法提供的散列值并加以運算得到的，即使一位像素發生變化，它也可以有效地改變混沌序列的初值，這種方法極大提升了明文的敏感性，這也說明本文提出的加密算法具有很強的抗差分攻擊能力。

Table 7 Contrast of plaintext sensitivity表7 明文敏感性對比

4 結語

本文提出了一種基于混沌控制隨機彈射矩陣和DNA序列的圖像加密算法，該算法首先利用明文圖像和MD5 算法產生混沌映射的初值，然后運用Logistic 映射生成混沌序列轉化成控制質點彈射的角度值，統計質點經過每個位置的次數，生成隨機彈射矩陣；接著將分層后的明文圖像進行Arnold 置亂，對置亂后的圖像和隨機彈射矩陣進行分塊、DNA 編碼后作DNA 運算，合并后生成密文圖像。在此基礎上，通過直方圖分析、信息熵值分析、抗差分測試分析等實驗，表明本文提出的圖像加密算法具有很強的安全性和實用性，具有很好的應用前景。但在加密效率方面還存在一定的提升空間，今后可針對此方面進行合理優化。