兩個合作保險公司的最優分紅問題

冀宇軒 劉國欣

(河北工業大學理學院，天津，300401)

1 引言

風險模型最早由Lundberg提出，并由Cramer進行嚴格化.早期風險理論的主要研究問題是破產概率.1957年，De Finetti[1]在第15屆國際精算學大會（紐約）上提出了最優分紅問題，即最大化破產前期望折現分紅，給出了一種更加“現實”的穩定性判據，并在簡單的離散風險模型下研究了最優分紅策略問題，證明了最優分紅策略是障礙（barrier）策略，即當公司盈余額超過某一水平時，超出部分應全部進行分紅.1969年，Gerber[2]用相關離散問題取極限的方法證明了在復合Poisson模型下，公司的最優分紅策略一般為波段（band）策略.其后30多年的時間里最優分紅策略問題的研究進展緩慢，直至上世紀90年代隨機控制理論和方法的突破為最優分紅策略研究提供了有效的工具.正如Borch在1967年的倫敦皇家統計學會會議上的報告指出的，隨機控制理論好像是為精算學量身定做的數學工具.關于復合泊松模型的分紅問題先驅性的工作見Buhlmann[3]和Gerber[4].直到今天，最優分紅問題已經發展成一個需要分析、概率和隨機控制學科交叉的豐富且富于挑戰性的研究領域.關于最優分紅問題的發展現狀,可參見Schmidli[5]與Azcue和Muler[6]的兩本專著及其參考文獻.

近些年，二維風險模型的最優分紅問題引起了廣泛興趣.二維問題可以更好地反應兩個公司或一個公司中兩個項目之間的關系，具有更加實際的意義.Asmussen和Albrecher[7]中詳細地介紹了二維經典風險模型及相應破產問題及分紅問題.Albrecher等[8]研究了二維經典風險模型下兩個合作的保險公司的最優分紅問題，但他們限定兩個公司的盈余過程是相互獨立的.

本文同樣研究二維經典風險模型下兩個合作保險公司的最優分紅問題，但去掉了兩個公司的盈余過程是相互獨立的限制.本文首先給出模型,建立相應的二維最優分紅問題.其次，給出值函數的基本性質，特別是給出可行策略的分析刻畫，使我們可以更好地利用PDMP理論.最后，利用Liu等在[9]中給出的測度值生成元理論得到測度值DPE，證明了驗證定理.

2 模型與分紅問題

假設兩個保險公司的盈余過程分別為

其中,x和y是各自的初始盈余?p1和p2是各自的保費收入率是公司k的第i次索賠大小,k=1,2,服從共同的聯合分布F(x,y).Nt是強度為λ的泊松過程.假定Nt和隨機變量是相互獨立的.

兩個保險公司的合作準則為:如果公司一的當前盈余為負，只要公司二可以支付公司一的實際赤字,即支付赤字后自己不會破產，就應立即支付公司一的赤字?反之亦然.當一個公司的當前盈余為負且另一個公司無法支付它的赤字,那么這個公司立即破產,另一個盈余為正的公司繼續運營.

其中

表示在時刻t,為了支付公司一的虧損,由公司二轉移給公司一的累積盈余,

表示在時刻t,為了支付公司一的虧損,由公司二轉移給公司一的累積盈余.上式中I{·}表示示性函數.

定義ˉτ為破產時刻,表示有一個保險公司資產小于0,或兩個公司資產都小于0的時刻,嚴格地說，

用Πx,y表示初始盈余時,所有的可行分紅策略的集合.在初始盈余水平的前提條件下,我們可以寫出該問題的最優值函數,如下:

其中,

上式中δ>0是折現因子，分別為公司一與公司二單獨運營時的最優分紅值函數.

3 值函數性質與策略刻畫

命題1?x,y>0,最優值函數V(x,y)有良好定義,且滿足

命題2最優值函數V(x,y)分別關于x,y是單調遞增的,局部Lipschitz連續,且滿足?(x,y)∈有

和

上述命題的證明與Albrecher等[10]類似.

設?是一個有左右極限的路徑的集合,(?,F,P)是具有由過程{(Xt,Yt)}生成的σ-代數流{Ft}的完備概率空間.定義一個推移算子θt:對s,t∈R+，ω∈?,有θt?ωt=ωs+t.對?x,y≥0,Ux,y為可測函數α:的集合,滿足:

（1）α(x,y,t)關于t非降,左連右極,α(x,y,0)=0?

（2）α1(x,y,t)

定理1分紅策略L∈Πx,y可行當且僅當存在兩個可測函數α1(x,y,t)和α2(x,y,t),對以及Fτn×B(R+)-可測函數使得

其中ˉα(t)=(α1(x,y,t),α2(x,y,t)).τi表示第i個索賠的到達時刻.稱為馬氏策略.若受控盈余過程是時齊的強馬氏過程,則相應的可行策略L稱為平穩馬氏策略.

定義1若受控盈余過程是強馬氏過程,則相應的可行策略

令M為Borel?可測函數l:的集合,滿足

定理2可行策略為平穩馬氏策略當且僅當存在函數l1,l2∈M,滿足

定理1與定理2的證明分別類似于Liu等[11]中命題2.1與定理2.4的證明.

4 測度值動態規劃方程

定理3(動態規劃原理(DPP))對?x,y≥0,任意停時T,有

證明由于自然流{Ft}為跳流,因此對任意停時T,存在t,使 得因此僅對固定時刻t≥0證明.

令

由最優值函數定義,有V(x,y)≤v(x,y,t).

再證V(x,y)≥v(x,y,t).任意給定ε>0,取一個可行策略使得

故V(x,y)≥v(x,y,t).

綜上,V(x,y)=v(x,y,t).使得V(x,y)=則?x,y≥0,?t>0有

定理4(動態規劃方程(DPE))假定存在一個可行策略

其中,

證明由動態規劃原理,得

由Stieltjes積分分部積分公式及（4.3）可得

其中,

綜合（4.4）和（4.5）式可得

5 驗證定理

定理5(驗證定理)假設可測函數v是測度值DPE的解,滿足?x,y,t≥0,

證明對任意滿足(3.1)的可行策略由Stieltjes分部積分公式，有

其中

為零初值鞅.由(5.3)可得

由于v是測度值DPE的解,因此所以有

令t→∞得,因此

從(4.2)和(5.1)可得,Hˉα?v(x,y,t)=0,因此

令t→∞得,因此

證畢.