基于SINS/BDS/彈道的組合導(dǎo)航

殷佳偉，朱建良，薄煜明

(南京理工大學(xué) 自動化學(xué)院，南京 210094)

導(dǎo)彈是一種攻擊距離遠(yuǎn)、殺傷力強(qiáng)、殺傷范圍廣的武器，具有重大戰(zhàn)略意義，對導(dǎo)航系統(tǒng)的穩(wěn)定性和精確性均提出了較高的要求[1]。如今運(yùn)用較為廣泛、技術(shù)較為成熟的組合導(dǎo)航模式為慣導(dǎo)/衛(wèi)星組合導(dǎo)航，具有較好的導(dǎo)航定位效果。

慣導(dǎo)/衛(wèi)星組合導(dǎo)航系統(tǒng)通過卡爾曼濾波器進(jìn)行數(shù)據(jù)融合，而濾波器能正確輸出的前提是收到衛(wèi)星數(shù)據(jù)和慣導(dǎo)數(shù)據(jù)[2]。

捷聯(lián)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)(Strapdown Inertial Navigation System, SINS )所需成本較低，同時可以獨(dú)立工作并且能得到較為詳細(xì)的導(dǎo)航信息。然而通過慣導(dǎo)解算得到的定位數(shù)據(jù)存在累積誤差，會隨時間發(fā)散，不利于長期工作狀態(tài)[3]。

全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)(Global Navigation Satellite System, GNSS)恰好彌補(bǔ)了慣導(dǎo)系統(tǒng)的缺點(diǎn)，不僅誤差不會隨時間發(fā)散，而且數(shù)據(jù)的精度也相對較高。目前我國的北斗導(dǎo)航衛(wèi)星系統(tǒng)(BeiDou Navigation Satellite System, BDS)已經(jīng)實(shí)現(xiàn)全球組網(wǎng)，能提供一定精度的定位數(shù)據(jù)。不過在導(dǎo)彈發(fā)射這種高動態(tài)環(huán)境下，衛(wèi)星信號極易受到干擾或者可能長時間處于失鎖狀態(tài)，此時組合導(dǎo)航系統(tǒng)就無法正常工作了。因此需要對衛(wèi)星信號缺失情況下的組合導(dǎo)航系統(tǒng)進(jìn)行研究，使得系統(tǒng)在衛(wèi)星信號缺失時仍能得到相對精確的定位數(shù)據(jù)。

在基于SINS/BDS的組合導(dǎo)航系統(tǒng)中，當(dāng)BDS信號缺失，系統(tǒng)就退化為純慣導(dǎo)系統(tǒng)，導(dǎo)航誤差逐漸發(fā)散[4]。目前解決方法主要有利用曲線擬合來估計慣導(dǎo)的誤差曲線、利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測誤差等。Li等[5]采用基于支持向量機(jī)(Support Vector Machine, SVM)的回歸曲線擬合方法將慣導(dǎo)的誤差曲線進(jìn)行了擬合，從而對慣導(dǎo)的輸出誤差進(jìn)行修正。Chen等[6]利用時間序列對慣導(dǎo)的輸出誤差進(jìn)行建模，利用該誤差模型對慣導(dǎo)進(jìn)行修正，得到正確定位數(shù)據(jù)。但上述方法一般適用于靜態(tài)誤差特性系統(tǒng)，不太適用于本文研究的組合導(dǎo)航系統(tǒng)。趙雪峰[7]分別設(shè)計了BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以及Elman神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，預(yù)測出慣導(dǎo)系統(tǒng)的輸出誤差，利用該預(yù)測值對慣導(dǎo)系統(tǒng)進(jìn)行修正，得到了衛(wèi)星信號缺失下的定位數(shù)據(jù)。Semeniuk[8]構(gòu)建了徑向基函數(shù)( Radial Basis Function, RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對慣導(dǎo)的誤差進(jìn)行預(yù)測；Noureldin[9]設(shè)計了輸入延遲動態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來對慣導(dǎo)的輸出誤差進(jìn)行訓(xùn)練，提高了位置預(yù)測精度。但上述神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法需要離線進(jìn)行大量訓(xùn)練與預(yù)測，實(shí)時性問題有待進(jìn)一步研究。

為此，本文提出了一種基于SINS/BDS/彈道的組合導(dǎo)航方案，在已有SINS/BDS組合導(dǎo)航系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，利用彈道信息進(jìn)一步進(jìn)行約束，確保在衛(wèi)星信號異常情況下的正確導(dǎo)航數(shù)據(jù)輸出。

1 基于SINS/BDS/彈道的組合導(dǎo)航方案設(shè)計

本文提出的基于SINS/BDS/彈道的導(dǎo)航系統(tǒng)組合模式方案如圖 1所示。當(dāng)BDS可用時，采用常規(guī)的SINS/BDS組合導(dǎo)航方案，本文不再贅述。當(dāng)檢測到衛(wèi)星信號失常，此時就利用彈道信息進(jìn)行誤差修正，本文將重點(diǎn)介紹該過程。彈道模型提供的彈體狀態(tài)信息無法長時間保證精度，時間越長，精度越低，因此需要進(jìn)行彈道更新。工作模式為：根據(jù)導(dǎo)彈初始狀態(tài)以及運(yùn)動模型生成彈道軌跡，得出軌跡點(diǎn)上的姿態(tài)、速度和位置數(shù)據(jù)。同時通過彈道解算得到位置、速度量，將兩種方式得到的位置、速度作差，作為觀測量進(jìn)行卡爾曼濾波，得到導(dǎo)航誤差估計值，進(jìn)行輸出校正。為了確保彈道的準(zhǔn)確性，每隔5 s以當(dāng)前時刻校正過的彈體位置、速度、姿態(tài)信息作為初始量，重新構(gòu)建彈道，再與慣導(dǎo)系統(tǒng)進(jìn)行組合濾波。將兩種組合方式進(jìn)行融合，就形成了基于SINS/BDS/彈道的組合導(dǎo)航系統(tǒng)。

2 彈道模型

由于炮彈出口速度大，初始擾動對炮彈的外彈道會產(chǎn)生很大影響。同時，炮彈在飛行過程中速度同樣很大，極易改變其所受的大氣作用力以及力矩。為了能夠體現(xiàn)這些影響因素，需要采用改進(jìn)的彈道方程組來建立外彈道模型。

2.1 坐標(biāo)系定義

為了方便建立外彈道模型，本文運(yùn)用了地面坐標(biāo)系O-xyz、彈體坐標(biāo)系O-x1y1z1以及彈道坐標(biāo)系O-x2y2z2。具體描述如下：

(a)地面坐標(biāo)系O-xyz

地面坐標(biāo)系與地球表面固連，是慣性系，以炮彈發(fā)射點(diǎn)作為坐標(biāo)系原點(diǎn)O。坐標(biāo)軸Ox、Oy、Oz分別指向東、北、天。

(b)彈體坐標(biāo)系O-x1y1z1

彈體坐標(biāo)系原點(diǎn)O為炮彈質(zhì)心，Ox1軸與彈體縱向中心軸一致，以彈體前部為正；Oy1軸垂直于Ox1軸所在的彈丸縱剖面，Oz1軸垂直于O-x1y1平面，方向向上為正，并且O-x1y1z1構(gòu)成右手直角坐標(biāo)系。

(c)彈道坐標(biāo)系O-x2y2z2

彈道坐標(biāo)系與速度V固連，原點(diǎn)O為炮彈的瞬時質(zhì)心，Ox2軸始終與彈丸速度矢量V重合，Oz2軸位于包含速度矢量V的鉛垂面內(nèi)且垂直于Ox2軸，向上為正；Ox2、Oy2、Oz2三軸構(gòu)成右手直角坐標(biāo)系。

2.2 外彈道數(shù)學(xué)模型

選取某炮彈彈丸作為研究對象，其質(zhì)量為m，發(fā)射時的飛行速度為V，彈丸相對于質(zhì)心的動量矩為H，充分考慮大氣密度模型和氣動力模型。即不僅要考慮空氣密度隨飛行過程中高度的改變而變化，還要考慮氣動系數(shù)隨著飛行過程中速度的改變而變化。據(jù)此建立外彈道六自由度模型方程組。

2.2.1質(zhì)心動力學(xué)方程組

其中，v為彈丸速度，θ2為彈道傾角，θa為彈道偏角。Fx2，F(xiàn)y2，F(xiàn)z2為炮彈彈丸合外力分別在彈道坐標(biāo)系O-x2y2z2三個坐標(biāo)軸上的分量，忽略地球自轉(zhuǎn)影響，具體表示如式(2)所示。

式中，θ2為彈道傾角，γv為速度傾斜角，X、Y、Z分別為氣動阻力、馬格努斯力和升力，分別為如式(3)所示。

其中，ρ為空氣密度，v為彈丸速度，s為彈丸面積，cx，cy，cz分別為氣動阻力系數(shù)、馬格努斯力系數(shù)和升力系數(shù)。

2.2.2繞質(zhì)心運(yùn)動的動力學(xué)方程組

式中，Jx1，Jy1，Jz1分別為彈丸轉(zhuǎn)動慣量在彈體坐標(biāo)系O-x1y1z1中3個坐標(biāo)軸上的分量，ωx1，ωy1，ωz1分別為彈體坐標(biāo)系下的彈丸滾轉(zhuǎn)角速度、俯仰角速度和偏航角速度，Mx1，My1，Mz1分別為彈體坐標(biāo)系下的滾轉(zhuǎn)力矩、俯仰力矩和偏航力矩。彈丸所受滾轉(zhuǎn)力矩Mx1、俯仰力矩My1和偏航力矩Mz1分別如式(5)所示。

其中，ρ為空氣密度，v為彈丸速度，s為彈丸面積，l為彈丸長度。

2.2.3質(zhì)心運(yùn)動學(xué)方程組

在地面坐標(biāo)系O-xyz中，彈丸的運(yùn)動學(xué)方程如式(6)所示。

2.2.4繞質(zhì)心運(yùn)動學(xué)方程組

彈丸繞質(zhì)心運(yùn)動可分解為繞3個坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動，在地面坐標(biāo)系O-xyz下，彈丸繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的運(yùn)動學(xué)方程如式(7)所示。

綜上，上述方程組成了炮彈外彈道的數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用龍格庫塔法求解一階微分方程，得到外彈道方程的位置、速度信息，將其提供給慣性導(dǎo)航系統(tǒng)進(jìn)行誤差修正。

3 炮彈組合導(dǎo)航系統(tǒng)建模

3.1 組合導(dǎo)航系統(tǒng)模型的建立

炮彈狀態(tài)方程由加速度誤差、速度誤差、位置誤差和姿態(tài)角誤差方程組成。狀態(tài)方程如式(8)所示。

其中，F(xiàn)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，G為系統(tǒng)噪聲轉(zhuǎn)移矩陣，W為系統(tǒng)噪聲，狀態(tài)變量X如式(9)所示。

X=[δPδVδA▽ε]T

(9)

式中變量分別為3個方向的位置誤差、速度誤差和姿態(tài)角誤差、3個加速度計零偏、3個陀螺儀零漂。

在衛(wèi)星信號缺失時，以當(dāng)前運(yùn)動狀態(tài)值作為初始量構(gòu)建彈道，通過解算以及坐標(biāo)轉(zhuǎn)換得到導(dǎo)航坐標(biāo)系下的位置與速度。此時，觀測量選取位置與速度誤差量，量測方程如式(13)所示。

式中，H為量測轉(zhuǎn)移矩陣，如式(14)所示，V為量測噪聲。

3.2 卡爾曼濾波器

上述是構(gòu)建卡爾曼濾波器所需的系統(tǒng)方程和量測方程。對于本文所考慮的彈道輔助慣導(dǎo)系統(tǒng)，卡爾曼濾波方程采用如下形式。

3.2.1濾波器預(yù)測步驟

在每次測量值更新之后，利用現(xiàn)有的最優(yōu)位置、速度以及姿態(tài)的誤差估計值對慣導(dǎo)系統(tǒng)進(jìn)行校正。協(xié)方差矩陣在時間上是向前預(yù)測的，公式如式(15)所示。

其中，Φk是將系統(tǒng)誤差方程離散化后的tk時刻系統(tǒng)轉(zhuǎn)移矩陣；Pk+1/k代表的是在tk時刻所預(yù)測的tk+1時刻協(xié)方差矩陣的期望，它最初為對角矩陣，單個元素是根據(jù)發(fā)射前傳遞給導(dǎo)彈慣導(dǎo)系統(tǒng)的初始姿態(tài)角、速度和位置誤差的期望方差選擇的；Qk為系統(tǒng)噪聲矩陣，是根據(jù)加速度和角速率的慣性測量值的期望噪聲級別設(shè)置的。

3.2.2濾波器的更新

慣導(dǎo)系統(tǒng)狀態(tài)的誤差估值可通過式(16)推導(dǎo)得出。

δxk+1/k+1=Kk+1δzk+1

(16)

協(xié)方差矩陣根據(jù)式(17)進(jìn)行更新。

Pk+1/k+1=[I-Kk+1Hk+1]Pk+1/k

(17)

式中，R是測量噪聲，矩陣的元素根據(jù)預(yù)期的陀螺儀和加速度計測量噪聲級別進(jìn)行設(shè)置。

3.2.3慣導(dǎo)系統(tǒng)修正

每次測量值更新后，利用當(dāng)前的最優(yōu)誤差估值立即修正慣性導(dǎo)航狀態(tài)量，修正方程如下：

1)速度和位置修正。速度和位置可以通過慣性系統(tǒng)對這兩個量的估值與估值誤差簡單相減來修正，如式(19)所示。

4 仿真驗(yàn)證及性能分析

4.1 仿真方案設(shè)計

利用Matlab軟件對前文設(shè)計的導(dǎo)航方案進(jìn)行仿真分析，并驗(yàn)證其正確性和有效性。為了比較本文提出的SINS/BDS/彈道的組合導(dǎo)航方案與SINS/BDS的組合導(dǎo)航方案的效果，仿真時將20～50 s內(nèi)的BDS信號設(shè)置為異常狀態(tài)，運(yùn)用兩種導(dǎo)航方案進(jìn)行仿真。在使用本文方案進(jìn)行仿真時，由于彈道提供的位置和速度的精度會隨著時間降低，因此仿真時采用每隔5 s更新一次彈道的方案。具體過程為：首先，設(shè)置初始條件后，對生成的彈道模型進(jìn)行解算，得到彈丸的瞬時速度、位置以及姿態(tài)角，同時根據(jù)慣導(dǎo)數(shù)據(jù)進(jìn)行慣導(dǎo)解算也能得到彈丸瞬時位置、速度以及姿態(tài)角，將這兩種方式得到的位置和速度值作差，以此作為量測量進(jìn)行卡爾曼濾波，進(jìn)而對位置、速度和姿態(tài)進(jìn)行修正。經(jīng)過5 s后，利用當(dāng)前最優(yōu)狀態(tài)量更新彈道，然后重復(fù)上述過程。

4.2 仿真條件

初始位置：緯度為32.028°N，經(jīng)度為118.847°E；初始姿態(tài)：橫滾角與航向角均為0°，俯仰角為45°；初始速度：大小為550 m/s。

慣性器件誤差：SINS陀螺儀零偏穩(wěn)定性1°/h,隨機(jī)零偏為0.2°/h，一階馬爾科夫噪聲驅(qū)動白噪聲均方差0.2°/h，相關(guān)時間為3600 s；加速度計零偏穩(wěn)定性為80 μg，隨機(jī)偏置40 μg，一階馬爾科夫噪聲驅(qū)動白噪聲均方差40 μg，相關(guān)時間為3600 s，慣性器件數(shù)據(jù)輸出周期0.01 s。

彈道解算：采用龍格庫塔法，步長設(shè)為0.01進(jìn)行解算，得到的狀態(tài)量的輸出周期為0.01 s，濾波周期設(shè)為0.01 s。仿真運(yùn)行時間63 s。

4.3 仿真結(jié)果與分析

圖 2～圖 4為現(xiàn)有的SINS/BDS組合導(dǎo)航結(jié)果和基于SINS/BDS/彈道的多源組合導(dǎo)航解算的結(jié)果對比圖。從仿真圖中可以看到，在初始20 s內(nèi)，BDS信號正常，此時兩種方案的導(dǎo)航性能相差不大。在20～50 s內(nèi)，BDS信號受到干擾，導(dǎo)致BDS定位數(shù)據(jù)誤差增大，此時對慣導(dǎo)系統(tǒng)累積誤差的修正效果逐漸變差，使得SINS/BDS組合導(dǎo)航系統(tǒng)的導(dǎo)航誤差逐漸發(fā)散；而本文所用的基于SINS/BDS/彈道的多源導(dǎo)航方案在這種情況下依靠彈道提供的位置速度信息對導(dǎo)航結(jié)果進(jìn)行修正，因此導(dǎo)航信息得到了較好的校正，誤差在可接受范圍內(nèi)波動。50 s之后，BDS信號恢復(fù)正常，兩種方案的導(dǎo)航效果又基本相差無幾了。由此可見，本文提出的導(dǎo)航方案確實(shí)提升了SINS/BDS組合導(dǎo)航系統(tǒng)的可靠性與魯棒性，在衛(wèi)星信號長時間異常時仍然能保持相當(dāng)?shù)膶?dǎo)航精度。

(a)北方向 (b)東方向 (c)天方向

(a)俯仰角 (b)橫滾角 (c)偏航角

(a)北方向 (b)東方向 (c)天方向

為了進(jìn)一步比較兩種方案的導(dǎo)航效果，列出了位置、速度以及姿態(tài)誤差的均方差，如表 1所示。

表1 導(dǎo)航方案均方差結(jié)果

根據(jù)表1中的數(shù)據(jù)及仿真結(jié)果圖可以看出，本文的導(dǎo)航方案的均方誤差小于原有的SINS/BDS組合導(dǎo)航方案，主要是因?yàn)樵贐DS信號失常期間，原有的組合導(dǎo)航方案對慣導(dǎo)系統(tǒng)累積誤差的修正效果不夠，導(dǎo)致誤差發(fā)散，而本文所提方案在這期間依靠彈道信息來進(jìn)行誤差修正，使得導(dǎo)航信息保持了一定精度，提升了原有SINS/BDS組合導(dǎo)航系統(tǒng)的可靠性和魯棒性。

5 結(jié)論

本文對基于SINS/BDS的組合導(dǎo)航系統(tǒng)進(jìn)行了一定改進(jìn)，在不增加硬件的條件下，利用彈道模型提供位置、速度信息，提出了一種基于SINS/BDS/彈道的多源組合導(dǎo)航方案，解決了SINS/BDS組合導(dǎo)航系統(tǒng)在衛(wèi)星信號長時間異常期間的誤差發(fā)散問題，提升了組合導(dǎo)航系統(tǒng)的可靠性和魯棒性。